Partie d'un sujet zéro - Étude d’un véhicule électrique - Corrigé 2020

Étude de la charge du véhicule électrique avec une borne de recharge

L’énergie massique maximale de la batterie de la voiture $E_{\text{max}}$ est son énergie utilisable. D’après le tableau des caractéristiques du véhicule électrique, $E_{\text{max}}= 41\ \text{kWh}$ et $m_{\text{batterie}} = 305\ \text{kg}$.
$$E_{\text{massique max}}= \dfrac{E_{\text{max}}}{m_{\text{batterie}}}\approx \dfrac{41 \times 10^3}{305} \approx 134\ \text{Wh}\cdot \text{Kg}^{-1}$$ L’énergie massique maximale est donc égale à $\boxed{134\ \text{Wh}\cdot \text{Kg}^{-1}}$ faisant référence à une grande énergie massique justifiée par la fourchette donnée par l’énoncé, comprise entre $90$ et $180\ \text{Wh}\cdot \text{Kg}^{-1}$.

Dans un premier temps la formule du $\text{SOC}$ est :

$$\text{SOC} = \dfrac{\text{\'energie emmagasin\'ee par la batterie}}{\text{\'energie maximale que peut emmagasiner la batterie}}$$

Alors
$\begin{aligned} \text{\'energie emmagasin\'ee} &= \text{SOC} \times \text{\'energie maximale que peut emmagasiner la batterie}\\ &= \text{SOC} \times 41 \end{aligned}$

• $\text{\'energie emmagasin\'ee initiale} =20\ \% \times 41 = 8,1\ \text{KWh}$
• $\text{\'energie emmagasin\'ee finale} = 80\ \% \times 41 = 32,8\ \text{KWh}$

$$\begin{aligned}\text{\'energie emmagasin\'ee finale} - \text{\'energie emmagasin\'ee initiale} &=32,8-8,1\\ &=24,7\\ &\approx \boxed{25\ \text{KWh}}\end{aligned}$$ Ainsi en chargeant la batterie de la voiture d’un $\text{SOC}$ de $20\ \%$ à $80\ \%$ l’énergie emmagasinée est de $25\ \text{KWh}$.

Le rendement de la charge est l’énergie emmagasinée par la batterie sur l’énergie fournie par la borne multiplié par $100$.

Un $\text{SOC}$ de $20\ \%$ correspond à $1,4\ \text{h}$ de charge et un $\text{SOC}$ de $80\ \%$ correspond à $5,5\ \text{h}$ de charge.

Ainsi pour passer d’un $\text{SOC}$ de $20\ \%$ à un $\text{SOC}$ de $80\ \%$, il faut charger la voiture pendant :
$5,5 - 1,4 = \boxed{4,1\ \text{h}}$

Nous savons que cette borne fournie une puissance constante de $7,4\ \text{KW}$, alors l’énergie produite par la borne est de :

$\begin{aligned} P\times \Delta t&= 4,1 \times 7,4\\ &\boxed{\approx30\ \text{KWh}} \end{aligned}$

Donc le rendement de la charge est de : $\dfrac{25}{30} \times 100 = \boxed{83\ \%}$

L’énergie fournie par la borne n’est donc pas entièrement emmagasinée par la batterie.

Astuce

Pour revoir la notion de puissance fournie et de rendement, consultez la partie 3.a. et 3.c. du cours sur l'énergie électrique.

L’énergie perdue à l’extérieur est égale à l’énergie fournie par la borne de recharge moins l’énergie emmagasinée par la batterie :

$E_{\text{milieu ext}} = E_{\text{borne}}- E_{\text{batterie}} = 30 - 25 = \boxed{5\ \text{KWh}}$

Cette dissipation d’énergie produite au sein de la résistance $R$ par effet joule est calculée avec la puissance dissipée $P_\text{J}$, reliant à la résistance $R$ et à l’intensité $I$ par la relation suivante :

$\boxed{P_\text{J}=R\times I^2}$

• $E_\text{J} = R_{\text{charge}} \times I^2 \times \Delta t$

$\begin{aligned} R_{\text{charge}} &= \dfrac{E_\text{J}}{\Delta t \times I^2}\\ &\approx \dfrac{5 \times 10^3}{4,1 \times 32,0^2}\\ &\approx \boxed{1,2\ \Omega} \end{aligned}$

La résistance est assez faible, limitant ainsi les pertes énergétiques.

Astuce

Définition la notion d’effet Joule et les formules utilisées, conusltez la partie 2 du cours sur l’énergie électrique.

Décharge de la batterie du véhicule électrique lors de son utilisation

Étude d’un programme de calculateur

Ce programme permet de calculer la distance parcourue en fonction de la vitesse moyenne entrée à la ligne 1, avec une batterie considérée comme chargée à $100\ \%$ au départ. Ainsi, il précisera la distance à parcourir possible ou non en fonction de la vitesse moyenne avec la charge restante à l’arrivée.

Pour tenir compte de l’état de charge de la voiture il faudrait :

• ajouter à la ligne 3 l’instruction suivante :
  SOC=float(input("Entrez l’état de charge de la batterie en pourcentage"))
• remplacer l’instruction de la ligne 5 par :
  d=(-2.913*v+530.2)xSOC/100

Étude mécanique du déplacement de la voiture

À la vitesse de $100\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ la puissance la plus faible est la puissance de roulement qui vaut $5,0\ \text{kW}$. Ensuite, la puissance aérodynamique est alors $2$ fois supérieure à la puissance de roulement et vaut $10,0\ \text{kW}$. Enfin, la puissance mécanique utilisée par la voiture est supérieure à la somme de la puissance de roulement et de la puissance aérodynamique et vaut alors $17\ \text{kW}$.

La voiture parcourt une distance $d$ avec une vitesse de $100\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ durant $5$ minutes. Nous savons que $v=\dfrac{d}{t}$, donc  :

$d=v\times t = 100 \times \dfrac{5}{60} \approx \boxed{8,3\ \text{km}}$

Durant les $5$ minutes de trajet avec une vitesse de $100\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$, la voiture parcourt $8,3\ \text{km}$.

Nous pouvons lire sur le graphe de l’évolution des puissances en fonction de la vitesse, qu’à $100\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ la puissance aérodynamisme (courbe bleue) est de $10\ \text{kW}$. Ainsi, nous pouvons calculer l’énergie dissipée par les frottements fluides en multipliant la puissance $P$ par la durée :

$\begin{aligned} E&= P\times \Delta t\\ &= 10 \times10^3 \times 3,6 \times 10^3 \times \dfrac{5}{60}\\ &= \boxed{3,0\times 10^6\ \text{J}} \end{aligned}$

Ainsi l’énergie dissipée par les frottements fluides sont de $3,0\times 10^6\ \text{J}$.
De plus, les forces de frottements ont la même direction que le mouvement, mais de sens opposé.

Le travail $W_{\text{frot}}$ de la force de frottements s’exprime en fonction de l’intensité $f_{\text{frot}}$ : $W_{\text{frot}} = f_{\text{frot}} \times d \times \cos (180\degree)$

• $f_{\text{frot}} = - \dfrac{W_{\text{frot}}}{d}$

Or le travail d’une force est l’énergie fournie lors d’un déplacement, alors : $W_{\text{frot}} = - E = - 3,0 \times 10^6\ \text{J}$

Le résultat est négatif car les forces de frottements aérodynamiques sont résistantes au mouvement de la voiture. Ainsi, le travail de ces forces est négatif, contrairement aux forces motrices qui elles ont un travail positif.

$\begin{aligned} f_{\text{frot}}&= \dfrac{- (-3,0 \times 10^6)}{8,3 \times 10^3}\\ &\approx 361,4\ \text{J}\cdot \text{m}^{-1}\\ &\approx \boxed{361,4\ \text{N}} \end{aligned}$

L’intensité des forces de frottements est donc de $361,4\ \text{N}$.

Astuce

Pour revoir la notion de puissance fournie, consultez la partie 3.a. du cours sur l’énergie électrique.

Pour revoir la notion de travail d’une force, consultez le cours sur l’énergie mécanique.