Partie d'un sujet zéro - La correction de l’hypermétropie - Corrigé 2020

Un défaut visuel : l’hypermétropie

Oui, il est cohérent que l’élève soit diagnostiquée hypermétrope, puisqu’elle rencontre des difficultés pour voir correctement de près et la brochure dans la salle d’attente indique bien que l’hypermétropie se traduit par une vision floue des objets proches.

Voici le schéma de l’image $A^\prime B^\prime$ de l’objet $AB$ à travers la lentille convergent $L_1$ :

Astuce

Prenons en compte les échelles données :

• horizontalement $1\ \text{cm}\ (\text{image}) \leftrightarrow 2\ \text{cm}\ (\text{réalité})$, pour une échelle $\frac 1 2$ ;
• verticalement $1\ \text{cm}\ (\text{image}) \leftrightarrow 0,25\ \text{cm}\ (\text{réalité})$, pour une échelle $4$.

Donc l’objet $AB$ a une hauteur de $1\ \text{cm}$, soit $0,25\times 4 = 1\ \text{cm}$, la distance entre $AB$ et le centre optique $O$ est de $12,5\ \text{cm}$, soit $\dfrac{25\times 1}{2} = 12,5\ \text{cm}$ (produit en croix) et pour finir la distance focale $f_1 ^{\prime}$ est de $2\ \text{cm}$ en réalité donc elle est égale à $1\ \text{cm}$ sur la figure.

Les rayons convergent vers un même point d’intersection situé après la lentille $L_1$, ils convergent en l’image $B^\prime$ de $B$ et on obtient l’image $A^\prime$ de $A$ en projetant ce point $B^\prime$ sur l’axe optique $O$. L’image ainsi obtenue est réelle.

Pour revoir la construction d’une image par une lentille convergente, dirigez-vous vers la partie 2 du cours vergence, image, grandissement et relation de conjugaison.

Sur le schéma réalisé, l’image $A^\prime B^\prime$ est mesurée vers le bas et est égale à $0,3\ \text{cm}$ et nous avons que l’échelle horizontale est de $1\ \text{cm}$ pour $0,25\ \text{cm}$ en réalité, alors :
$\overline{A^{\prime}B^{\prime}}= -0,3\times 0,25 = \boxed{-0,075\ \text{cm}}$

Ainsi l’image $A^\prime B^\prime$ de l’objet $AB$ par la lentille $L_1$ est formée après la lentille. Elle est inversée par rapport à son objet et est plus petite que son objet. Ceci est attendu puisque $L_1$ est une lentille convergente et que l’objet se trouve avant le foyer objet.

Nous pouvons aussi calculer le grandissement de cette lentille :
$\gamma = \dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}} = \dfrac{-0,075}{1} = -0,075$.

• $\gamma < 0$, alors l’image est bien inversée.

Astuce

L’image donnée par une lentille convergente est réelle si l’objet est situé avant le foyer objet et une image réelle est toujours inversée.

Pour réviser la notion d’image réelle, regardez la partie 2.b. du cours vergence, image, grandissement et relation de conjugaison.

La relation de conjugaison permet de déterminer la position de l’image sur l’axe optique, donc pour une lentille mince la relation est : $$\begin{aligned} \frac{1}{\overline{OA^\prime}}-\frac{1}{\overline{OA}}&=\frac{1}{f_1^\prime}\\ \frac{1}{\overline{OA^\prime}}&=\frac{1}{{f_1}^\prime}+ \frac{1}{\overline{OA}}\\ \overline{OA^\prime}&=\frac{1}{\frac{1}{{f_1}^\prime}+\frac{1}{\overline{OA}}}\\ \end{aligned}$$

• Application numérique :

$$\begin{aligned} \overline{OA^\prime}&=\dfrac{1}{\frac{1}{{f_1}^\prime}+\frac{1}{\overline{OA}}}\\ &=\dfrac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{-25}}\\ &=\dfrac{1}{\frac{23}{50}}\\ &\approx 2,17\ \text{cm}\\ \end{aligned}$$

• L’image se positionne donc à $\boxed{2,17\ \text{cm}}$ de $O$ sur l’axe optique.

Astuce

Pour réviser la formule de la relation de conjugaison, regardez la partie 3.b. du cours vergence, image, grandissement et relation de conjugaison.

Tout d’abord, pour que l’image semble claire et nette pour l’observateur, il faut que l’image se forme sur la rétine, c’est-à-dire que l’image $A^\prime$ se positionne sur le foyer image $F^\prime$ à $2\ \text{cm}$ du centre optique $O$.
Or, comme nous le montre le schéma et le calcul, l’image $A^\prime$ de $A$ par la lentille convergente ne se situe pas à $2\ \text{cm}$ de $O$, elle se crée après la rétine. Ainsi, l’image ne peut pas apparaître nette, et l’élève verra la lettre floue.

Astuce

Dans le cas de l’hypermétropie, l’image se forme après la rétine, c’est-à-dire que l’œil hypermétrope n’est pas assez convergent et l’image est donc floue. Pour corriger cela, il faut placer une lentille convergente devant l’œil et l’image sera plus nette.

Correction de l’hypermétropie

Nous avons à disposition plusieurs valeurs expérimentales de la distance $OA^\prime$ en fonction de $OA$.
La relation de conjugaison pour la lentille mince est : $\frac{1}{\overline{OA^\prime}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f^\prime}$

• Donc $f^\prime=\dfrac{1}{\frac{1}{\overline{OA^\prime}}-\frac{1}{\overline{OA}}}$

Il est donc possible de déterminer la distance focale $f^\prime$ de la lentille. Pour minimiser les incertitudes, nous ferons une moyenne de toutes les valeurs calculées.
Voici la distance focale calculée pour chaque résultat :

• Ainsi :
  $\begin{aligned}f^\prime &= \dfrac{0,46+0,43+0,43+0,43+0,41}{5}\\ &=0,432\ \text{m}\end{aligned}$

La distance focale de la lentille mince convergente modélisant ce verre correcteur est donc de $0,43\ \text{m}$ soit $\boxed{43\ \text{cm}}$.

Ce résultat est cohérent avec la théorie puisque la lentille utilisée possède une vergence de $+2,25$ dioptries, or la vergence est l’inverse de la distance focale.

• $f^\prime_{\text{theorique}} = \dfrac{1}{2,25}\approx 0,44\ \text{m}$

Astuce

Pour réviser la notion de distance focale, regardez la partie 2.a. du cours vergence, image, grandissement et relation de conjugaison.

L’hypermétropie résulte d’une image qui se forme après la rétine. Donc en portant des lunettes composées de lentilles convergentes, l’association entre les lentilles des lunettes et le cristallin permettra d’ajuster l’image pour qu’elle se forme sur la rétine et ainsi l’observateur aura une image nette.

Astuce

La lentille des lunettes possède une distance focale élevée, ainsi un objet de prêt se situera après son foyer objet et donc l’image par la lentille sera virtuelle, plus grande que l’objet et surtout plus loin. L’œil hypermétrope n’a pas de problème à s’ajuster pour avoir une image nette d’un objet lointain.
Pour une lentille convergente, si l’objet se trouve après le foyer objet, l’image sera virtuelle. Cette image est toujours dans le même sens que l’objet.

Échographie oculaire

Les ondes utilisées pour réaliser ce diagnostic sont des ultrasons et donc des ondes mécaniques.

Astuce

Les ultrasons ne sont pas perceptibles par l’oreille humaine.
Une onde mécanique (son, ondes sismiques…) ne se propager que dans un milieu matériel. Par exemple le son ne peut pas se propager dans le vide.

Pour revoir les différents types d’ondes, regardez la partie 1.c. du cours définition des ondes.

La longueur d’onde $\lambda$ (en $\text{m}$) d’une onde se propageant à la célérité $c$ (en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$), avec une période $T$ (en $\text{s}$) et une fréquence $f$ (en $\text{Hz}$) est donnée par l’expression suivante :

• $\lambda=c\times T$, soit
• $\begin{aligned} \lambda&=\dfrac{c}{f}\\ &=\dfrac{1532}{10\times 10^6}\\ &=\boxed{1,53\times 10^{-4}\ \text{m}} \end{aligned}$

Lorsqu’elles traversent l’humeur vitrée, les ondes ultrasonores ont une vitesse de $1\ 532\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ et une longueur d’onde de $1,53\times 10^{-4}\ \text{m}$.

Astuce

Pour revoir la notion de longeur d’onde, regardez la partie 2.d. du cours définition des ondes.

Les quatre échos obtenus sont dus à l’aller-retour entre la sonde émettant les ultrasons et les parties qui ont la plus grande capacité à réfléchir les ondes (parties blanches sur la figure 2).
Donc :

• le premier signal correspond à l’aller-retour des ondes entre la sonde et la cornée. Comme indiqué, le gel permet aux ondes de pénétrer l’œil sans être réfléchis, ainsi les ondes traversent la cornée ;
• le deuxième signal correspond à l’aller-retour des ondes entre la sonde et le début du cristallin, c’est-à-dire des ondes qui ont traversé la cornée et l’humeur aqueuse ;
• le troisième signal correspond à l’aller-retour des ondes entre la sonde et la fin du cristallin, c’est-à-dire des ondes qui ont traversé la cornée, l’humeur aqueuse et le cristallin ;
• le quatrième signal correspond à l’aller-retour des ondes entre la sonde et la rétine, c’est-à-dire des ondes qui ont traversé la cornée, l’humeur aqueuse, le cristallin et l’humeur vitrée.

Le schéma suivant appuie l’explication :

Astuce

Pour revoir la notion de propagation d’une onde, regardez la partie 3.a. du cours définition des ondes.

Afin de déterminer si l’œil est hypermétrope ou pas, il faut calculer sa longueur axiale. Si cette dernière est inférieure à $22\ \text{mm}$, il s’agira d’un œil hypermétrope.

La longueur axiale est la distance entre le début de la cornée et la rétine. À l’aide des quatre échos, il est possible de calculer cette distance. Pour cela on assimile à chaque écho la distance parcourue par l’onde (voir explication question 3.3). Les données expérimentales à notre disposition sont les durées nécessaires à la réception des ondes, mais aussi pour connaître le temps nécessaire à l’onde pour traverser une fois la distance, il faut diviser ces temps par $2$.

Nous savons que la vitesse de propagation d’une onde $v$ (en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$) en fonction de la distance parcourue $d$ (en $\text{m}$) et le temps du parcours $t$ (en $\text{s}$) est donnée par l’expression suivante :

• $v=\dfrac{d}{t}$
• $d=v\times t$

Ainsi pour chaque écho, on peut déterminer la distance parcourue.

• Premier écho : les ondes ont traversé la cornée en $0,3\ \mu \text{s}$.

$\begin{aligned} d_1&= v\times t \\ &= 1620 \times (0,3 \times 10^{-6})\\ &= 0,486 \times 10^{-3}\\ &= 4,86\times 10^{-4}\ \text{m}\\ &= 0,486\ \text{mm} \end{aligned}$

• L’épaisseur de la cornée $(d_1)$ est donc de $\boxed{0,486\ \text{mm}}$.
• Deuxième écho : les ondes ont traversé la cornée puis l’humeur aqueuse en $1,8\ \mu \text{s}$.
  Mais ces ondes ont besoin de $0,3\ \mu \text{s}$ pour parcourir la cornée, ainsi elles mettent $1,8 - 0,3=1,5\ \mu \text{s}$ pour traverser uniquement l’humeur aqueuse.

$d_2 = d_1 + d_2^\prime$ avec $d_2^\prime$ l’épaisseur de l’humeur aqueuse.

$\begin{aligned} d_2^\prime &= v\times t \\ &= 1532 \times (1,5 \times10^{-6}) \\ &= 2,298\times 10^{-3}\ \text{m}\\ &\approx 2,298\ \text{mm} \end{aligned}$

• Donc $d_2 = d_1 + d_2^\prime = 0,486 + 2,298 = 2,784\ \text{mm}$
• L’épaisseur de la cornée et de l’humeur aqueuse $(d_2)$ est donc de $\boxed{2,784\ \text{mm}}$.
• Troisième écho : les ondes ont traversé la cornée, l’humeur aqueuse puis le cristallin en $4,6\ \mu \text{s}$.
  Mais ces ondes ont besoin de $1,8\ \mu \text{s}$ pour parcourir la cornée et l’humeur aqueuse, ainsi elles mettent $4,6-1,8=2,8\ \mu \text{s}$ pour traverser uniquement le cristallin.

$d_3 = d_2 + d_3^\prime$ avec $d_3^\prime$ l’épaisseur du cristallin.

$\begin{aligned} d_3^\prime &= v\times t \\ &= 1641 \times (2,8 \times 10^{-6}) \\ &= 4,595 \times 10^{-3}\text{m}\\ &\approx 4,595\ \text{mm} \end{aligned}$

• Donc $d_3 = d_2 + d_3^\prime = 2,784 + 4,595 = 7,379\ \text{mm}$
• L’épaisseur de la cornée, de l’humeur aqueuse et du cristallin $(d_3)$ est donc de $\boxed{7,379\ \text{mm}}$.
• Quatrième écho : les ondes ont traversé la cornée, l’humeur aqueuse, le cristallin puis l’humeur vitrée en $13,5\ \mu \text{s}$.
  Mais ces ondes ont besoin de $4,6\ \mu \text{s}$ pour parcourir la cornée, l’humeur aqueuse et le cristallin ainsi elles mettent $13,5 - 4,6=8,9\ \mu \text{s}$ pour traverser uniquement l’humeur vitrée.

$d_4 = d_3 + d_4^\prime$ avec $d_4^\prime$ l’épaisseur de l’humeur vitrée.

$\begin{aligned} d_4^\prime &= v\times t \\ &= 1532 \times (8,9 \times 10^{-6}) \\ &= 13,6 \times 10^{-3}\text{m}\\ &= 13,6\ \text{mm} \end{aligned}$

• Donc $d_4= d_3 + d_4^\prime = 7,379 + 13,6 = 20,98\ \text{mm} \approx 21\ \text{mm}$
• Ainsi la longueur axiale de l’œil examinée mesure $\boxed{21\ \text{mm}}$ donc inférieur à $22\ \text{mm}$.
  L’œil examiné est un œil hypermétrope.