Sujet 2 - enseignement scientifique - corrigé

Exercice 1 : Des instruments, des notes et des gammes

PARTIE 1 : Des instruments et des notes

Le $la3$ a pour fréquence associée $441\,\text{Hz}$. Le $la4$ appartient à l’octave au-dessus : il faut donc multiplier la fréquence par $2$.
Ainsi, la fréquence du $la4$ est : $f=441\times 2=882\,\text{Hz}$

On va démontrer que la période (et donc la fréquence) de chaque signal est différente.

• Figure 1 :
  Période : $3T=11,5\times 0,001=0,0115\,\text s$, soit $T=0,00383\,\text s$
• Figure 2 :
  Période : $4T=10,2\times 0,001=0,0102\,\text s$, soit $T=0,00255\,\text s$

Les périodes et les fréquences des signaux étant effectivement différentes dans les deux cas, les fréquences des signaux le sont aussi. Donc il s’agit bien de deux notes différentes.

Astuce

Une note correspond à une fréquence précise. Si deux fréquences sont différentes, alors les notes le sont aussi.
De la lecture de la période $T$ (en secondes) de chaque signal se déduit par calcul la valeur de la fréquence $f=\dfrac{1}{T}$ qui s’exprime en hertz.
Pour obtenir une lecture de la période la plus précise possible, il faut lire la durée d’un nombre maximal de périodes sur chaque signal. Ici, on prend trois périodes pour le signal 1 et quatre périodes pour le signal 2.

• Figure 1 : Fréquence : $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,00383}\approx 261\,\text{Hz}$
• Figure 2 : Fréquence : $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,00255}\approx 392\,\text{Hz}$

La fréquence associée au signal sonore de la figure 1 est $261\,\text{Hz}$, ce qui correspond à la note $do3$ d’après le document 1.
La fréquence associée au signal sonore de la figure 2 est $392\,\text{Hz}$, ce qui correspond à la note $sol3$ d’après le document 1.

PARTIE 2 : Des notes et des gammes

• Premier cas : si $1<f<\dfrac{4}{3}$
  On multiplie la double inégalité par $\dfrac{3}{2}$ :
  $\dfrac{3}{2}\times 1<\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}$, ce qui donne $\dfrac{3}{2}<\dfrac{3}{2}\times f<2$
• $\dfrac{3}{2}\times f$ est donc bien compris entre $1$ et $2$.
• Deuxième cas : si $\dfrac{4}{3}<f<2$
  On multiplie la double inégalité par $\dfrac{3}{2}$ :
  $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}<\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}\times 2$, ce qui donne $2<\dfrac{3}{2}\times f<3$
• On a donc bien $2<\dfrac{3}{2}\times f$.

On multiplie ensuite la double inégalité par $\dfrac{1}{2}$ :
$\dfrac{1}{2}\times 2<\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{1}{2}\times 3$, ce qui donne $1<\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}<2$

• $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f$ est donc bien compris entre $1$ et $2$.

Astuce

Il est important de bien lire l’algorithme pour le comprendre :

Algorithme	Description de l’algorithme
$f\leftarrow 1$	On affecte la valeur $1$ à $f$
$f\leftarrow\dfrac{3}{2}\times f$	On multiplie $f$ par $\dfrac{3}{2}$
$n\leftarrow 1$	On affecte la valeur $1$ à $n$
Tant que $f\ne 1$ faire $n\leftarrow n+1$ $f\leftarrow f\times\dfrac{3}{2}$	Tant que $f\ne 1$, ajouter $1$ à $n$ et multiplier $f$ par $\dfrac{3}{2}$
Si $f\geq 2$ alors $f\leftarrow f\times\dfrac{1}{2}$	Si la nouvelle valeur de $f$ est supérieure ou égale à $2$, alors diviser la nouvelle valeur de $f$ par $\dfrac{1}{2}$
Fin Si Fin Tant que	Si $f=1$, alors arrêter l’algorithme

Cet algorithme permet de donner les valeurs exactes des fréquences des 12 premières quintes. On remarque que toutes les fréquences sont comprises entre $1$ et $2$.

Ainsi, pour passer de la note 0 à la note 1, on multiplie donc par $\dfrac{3}{2}$  ; pour passer de la note 1 à la note 2, on multiplie par $\dfrac{3}{2}$ puis par $\dfrac{1}{2}$, pour passer de la note 2 à la note 3, on multiplie par $\dfrac{3}{2}$, etc.

L’algorithme se termine si $f =1$ exactement. On remarque qu’aucune fréquence du tableau est égale à $1$.

Résoudre l’équation $\dfrac{3^m}{2^n}=1$ avec $m$ et $n$ entiers naturels non nuls est équivalent à résoudre $3^m=2^n$ avec $m$ et $n$ entiers naturels non nuls.

• $3$ est un nombre impair, donc $3^m$ est une multiplication de nombres impairs qui donne un résultat impair.
• $2$ est un nombre pair donc $2^n$ est une multiplication de nombres pairs qui donne un résultat pair.
• Un nombre pair ne peut être égal à un nombre impair : l’égalité $3^m=2^n$ est impossible. Il n’existe donc pas d’entier naturels $m$ et $n$ non nuls, tels que $\dfrac{3^m}{2^n}=1$.

Astuce

Il faut bien faire attention aux conditions de résolution d’une telle équation. L’égalité $3^m=2^n$ est possible si $m=n=0$, mais ici $m$ et $n$ sont déterminés comme des entiers naturels non nuls, ce qui est contradictoire.

L’algorithme ne s’arrête pas, puisque la condition d’arrêt qui est $f=\dfrac{3^m}{2^n}=1$ n’est jamais vérifiée.

D’après le tableau de la question 4, on remarque que la fréquence du numéro 12 (qui est la 13^e note) a pour valeur approchée $1,01$, ce qui est très proche de $1$. On peut donc considérer qu’au bout de la 13^e note, on retourne à la note de départ.
On peut ainsi construire une suite finie de notes (12 notes) réparties dans une octave (une gamme).

Astuce

Faire attention au tableau de valeurs.

Numéro de la note	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Fréquence (fraction irréductible)	$1$	$\dfrac{3}{2}$	$\dfrac{3^2}{2^3}$	$\dfrac{3^3}{2^4}$	$\dfrac{3^4}{2^6}$	$\dfrac{3^5}{2^7}$	$\dfrac{3^6}{2^9}$	$\dfrac{3^7}{2^{11}}$	$\dfrac{3^8}{2^{12}}$	$\dfrac{3^9}{2^{14}}$	$\dfrac{3^{10}}{2^{15}}$	$\dfrac{3^{11}}{2^{17}}$	$\dfrac{3^{12}}{2^{19}}$
Fréquence (valeur approchée à $10^{-2}$ près)	$1$	$1,50$	$1,13$	$1,69$	$1,27$	$1,90$	$1,42$	$1,07$	$1,60$	$1,20$	$1,80$	$1,35$	$1,01$

Même si les numéros de la quinte sont dans l’ordre croissant, les valeurs approchées des fréquences ne le sont pas : on a bien douze notes de qu’il faudra ensuite ranger dans l’ordre croissant pour obtenir la gamme.

Globalement, les fréquences de la gamme de Pythagore diffèrent des fréquences du piano, même si dans deux cas elles sont identiques (la fréquence fondamentale de la note $do$ et le $sol$).
Il ne s’agit donc pas de la même gamme.

On calcule les rapports suivants à partir de la gamme de Pythagore :
$\dfrac{do\sharp}{do}=\dfrac{280}{262}=1,07$ et $\dfrac{ré}{do\sharp}=\dfrac{295}{280}=1,05$

On constate que les rapports sont différents : il n’y a pas de suite logique (suite géométrique) entre les valeurs des trois notes $do$, $do\sharp$ et $ré\sharp$ de la gamme de Pythagore.

Astuce

Calculer le ou les coefficients multiplicateurs entre trois termes consécutifs revient à chercher une relation entre eux, à savoir déterminer si les termes sont associés à une suite géométrique. Dans ce cas, on obtiendra une gamme dite tempérée, sinon on a une gamme de Pythagore.
Dans la gamme de Pythagore, les intervalles entre les notes ne sont pas parfaitement égaux : cette différence de rapport entre les notes est nommée comma pythagoricien.

On calcule les rapports suivants à partir de la gamme du piano :
$\dfrac{do\sharp}{do}=\dfrac{278}{262}=1,06$ et $\dfrac{ré}{do\sharp}=\dfrac{294}{278}=1,06$

On constate que les rapports sont identiques au centième près : il y a une suite logique (suite géométrique) entre les valeurs des trois notes $do$, $do\sharp$ et $ré\sharp$ de la gamme du piano.

La gamme utilisée est la gamme tempérée.
Dans la gamme tempérée, l’intervalle séparant deux notes successives, appelé demi-ton, est toujours le même et vaut $2^{\frac{1}{12}}$, soit environ $1,06$.

Astuce

La gamme tempérée a pour but de résoudre le problème posé par le comma pythagoricien en élaborant des intervalles constants entre les notes.
Il a fallu attendre la fin du XVII^e siècle pour qu’une gamme comportant 12 intervalles égaux soit pensée et élaborée par le mathématicien Andreas Werckmeister.

Exercice 2 : Différentes méthodes de datation au service de la géologie

PARTIE 1 : L’histoire de la détermination de l’âge de la Terre

Astuce

Vous pouvez choisir ici l’argument parmi plusieurs de vos connaissances, qu’il soit biologique ou géologique. On peut donc par exemple prendre au choix l’un des arguments suivants présentés (un argument géologique, un argument biologique).
Il est toujours intéressant de pouvoir citer des dates ou des noms.

Au XVIII^e siècle, Edmund Halley donne un âge de la Terre supérieur à $36\,000$ ans grâce à l’étude de la teneur en sel des océans. Il se base sur le fait que le sel est issu de l’érosion des continents et il tient compte du débit des fleuves transportant ces particules.

OU

Vers 1850, la découverte du phénomène de fossilisation, mécanisme lent, et des fossiles humains par James Hutton permet d’étudier la succession des fossiles et leur datation. De cette manière, Hutton prouve qu’il est inconcevable que la Terre n’ait que $6\,000$ ans, comme le stipulait le modèle créationniste du Moyen Âge et de la Renaissance.

Pour Buffon, la Terre, qui était une boule de feu à son origine, a refroidi pour donner le globe actuel. Pour lui, ce refroidissement se poursuit. Si, comme un boulet incandescent, la Terre refroidit jusqu’à devenir totalement froide, les températures terrestres ne seront plus suffisantes pour que la vie se maintienne sur la planète.

PARTIE 2 : La datation des peintures rupestres de la grotte Chauvet par le carbone 14 ($^{14}\text{C}$)

D’après le document 2, les oxydes minéraux sont constitués des atomes $\text{Fe}$, $\text{O}$ et $\text{Mn}$, alors que, d’après le document 3, le charbon de bois contient de la cellulose, composée des atomes $\text{C}$, $\text{H}$ et $\text{O}$.
Or, la méthode de datation au carbone 14 s’appuie sur la désintégration des éléments carbone ($\text{C}$) dans un matériau. Donc, seuls les éléments contenant cet atome peuvent faire l’objet d’une datation, en l’occurrence ici le charbon de bois.

Le mécanisme biologique qui permet la synthèse de glucose s’appelle la photosynthèse. Voici son équation :
$6\text{CO}_2+6\text{H}_2\text{O}\rightarrow\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6+6\text{O}_2$
Soit, $\text{dioxyde de carbone}+\text{eau}\rightarrow\text{glucose}+\text{oxygène}$

La photosynthèse se déroule dans les parties vertes des feuilles.
Le $\text{CO}_2$ est absorbé par les feuilles, l’eau est absorbée par les racines et remonte dans les vaisseaux de la plante vers les feuilles. Grâce à la lumière et la chlorophylle, la réaction chimique de la photosynthèse se réalise et du glucose est synthétisé. L’oxygène produit en même temps est rejeté par les feuilles.

Astuce

Il faut bien vérifier que les coefficients stœchiométriques sont exacts, c’est-à-dire qu’il faut équilibrer l’équation, en comptant le nombre d’atomes de part et d’autre de l’équation. Ce nombre doit donc être équivalent des deux côtés : « Rien ne se perd, rien ne se créé, tout se transforme ».

• La date de désintégration d’un noyau individuel de $^{14}\text C$ dont on connaît la date de création (prise comme origine) est :

• La durée nécessaire à la désintégration radioactive de la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon dépend :

La demi-vie d’un élément radioactif est la durée pour laquelle la moitié des noyaux radioactifs auront subi une désintégration.
Dans le graphique, je constate que $50\,\%$ des noyaux sont encore présents au bout de $5\,700$ ans. Donc la demi-vie du carbone 14 est d’environ $5\,700$ ans.

Attention

Il ne faut pas oublier que l’annexe est à rendre avec la copie : il faut donc exploiter le graphique donné en annexe.

Astuce

Il ne s’agit pas de donner une valeur précise, mais une estimation. Pour donner une estimation la plus juste possible, il faut bien lire le graphique donné en annexe et tracer les traits de construction de la lecture graphique qui justifieront la réponse donnée.

Dans l’énoncé de la question 5, il est précisé que les traits réalisés avec des fragments de charbon de bois prélevés sur les peintures ont des valeurs $\text{P}/\text{P}0$ comprises entre $1,5\,\%$ et $2,5\,\%$. Les mouchages de torche réalisé ont des valeurs comprises entre $3,5\,\%$ et $4,5\,\%$. En plaçant ces valeurs sur le graphique, je conclue que les dessins réalisés avec les charbons de bois peuvent être datés d’un âge compris entre $30\,500$ et $34\,500$ ans environ, alors que ceux réalisés avec le mouchage de torche ont un âge compris entre $25\,500$ et $34\,500$ ans environ.

Astuce

Il faut penser à tracer les traits de lecture sur le zoom du graphique en partant des valeurs données par l’énoncé et en les plaçant sur l’axe des ordonnées, puis en notant la valeur $x$ à laquelle elles correspondent suivant la courbe :