Sujet bac 2023 1 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Lien vers l’énoncé : Sujet bac 2023 jour 1

Exercice 1 (5 points)

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.
On sait que :

• $20\,\%$ des machines sont sous garantie ;
• $0,2\,\%$ des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
• $8,2\,\%$ des machines sont défectueuses.

Astuce

Pour commencer, on peut, au brouillon, récapituler les probabilités données dans l’énoncé :

• $20\,\%$ des machines sont sous garantie, donc :
  $$p(G)=0,2$$ et on peut en déduire  : $$p(\overline G)=1-p(G)=0,8$$
• $0,2\,\%$ des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie, donc : $$p(G\cap D)=0,002$$
• $8,2\,\%$ des machines sont défectueuses, donc :
  $$p(D)=0,082$$

On peut aussi, comme le propose l’énoncé, représenter la situation en complétant l’arbre donné :

Arbre de probabilités complété

Dans la suite de l’exercice, on utilisera, le cas échéant, les informations notées dans cette astuce.

1. La probabilité $p_G(D)$ de l’événement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :

• $0,002$
• $0,01$
• $0,024$
• $0,2$

On a :
$$\begin{aligned} p_G(D)&=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)} \\ &=\dfrac {0,002}{0,2} \\ &=\boxed{0,01} \end{aligned}$$

• Réponse b.

2. La probabilité $p(\overline G\cap D)$ est égale à :

• $0,01$
• $0,08$
• $0,1$
• $0,21$

D’après la formule des probabilités totales, on a : $$p(D)=p(G\cap D)+p(\overline G\cap D)$$ D’où : $$\begin{aligned} p(\overline G\cap D)&= p(D)-p(G\cap D) \\ &= 0,082-0,002 \\ &= \boxed{0,08} \end{aligned}$$

• Réponse b.

3. La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{-3}$ près, à :

• $0,01$
• $0,024$
• $0,082$
• $0,1$

On cherche la probabilité, sachant que la machine est défectueuse, qu’elle soit sous garantie, soit $p_D(G)$ : $$\begin{aligned} p_D(G)&= \dfrac{p(G\cap D)}{p(D)} \\ &= \dfrac {0,002}{0,082} \\ &\approx \boxed{0,024} \end{aligned}$$

• Réponse b.

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l’entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.

4. Dans cette question, on prend $n = 50$. La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de :

• $0,136$
• $0,789$
• $0,864$
• $0,924$

Ici, on fait bien attention à l’inégalité stricte présente dans la probabilité demandée, et on se sert de la calculatrice.

Rappel

Fiches méthode calculatrice pour la loi binomiale : sur TI et sur Casio.

On prend pour paramètres de la loi binomiale $n=50$ et $p=0,082$, et on effectue au choix l’un des deux calculs suivants: $$\begin{aligned} p(X > 2)&=p(X \geq 3) \\ &\approx \boxed{0,789} \\ \\ p(X > 2)&=1-p(X \leq 2) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $\lbrace X \leq 2\rbrace$ l’événement contraire de $\lbrace X > 2\rbrace$]}}} \\ &\approx 1-0,211 \\ &\approx \boxed{0,789} \end{aligned}$$

• Réponse b.

5. On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :

• $5$
• $6$
• $10$
• $11$

Dire que toutes les machines choisies fonctionnent correctement revient à dire qu’aucune machine n’est défectueuse, ce qui correspond donc à l’événement $\lbrace X=0 \rbrace$. On cherche alors le plus grand entier $n$ tel que $p(X=0) > 0,4$.
Or, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,082$, donc : $$\begin{aligned} p(X=0)&=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}\times 0,082^0\times (1-0,082)^{n-0} \\ &=1\times 1\times 0,918^n \\ &=0,918^n \end{aligned}$$

On résout donc l’équation : $$\begin{aligned} p(X=0) > 0,4 &\Leftrightarrow 0,918^n > 0,4 \\ &\Leftrightarrow \ln{(0,918^n)} > \ln{(0,4)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par stricte croissance de $\ln$ sur $\mathbb R^{*+}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n\ln{(0,918)} > \ln{(0,4)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [pour $a > 0$ et $n$ entier, $\ln{(a^n)}=n\ln{(a)}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n < \dfrac{\ln{(0,4)}}{\ln{(0,918)}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$0,918 < 1$, donc $\ln{(0,918)} < 0$]}}} \end{aligned}$$

Comme $\frac{\ln{(0,4)}}{\ln{(0,918)}}\approx 10,71$, le plus grand entier qui satisfait l’inégalité est $\boxed{n=10}$.

• Réponse c.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ;\, +\infty[$ par $f(x)=x^2-8\ln{(x)}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que $f$ est dérivable sur $]0\ ;\, +\infty[$, on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

Astuce

On peut commencer par tracer sur la calculatrice la représentation graphique de $f$. Cela permettra de vérifier au moins la cohérence des résultats avec la courbe.

Représentation graphique de la fonction f

1. Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$.

La fonction $f$ est définie sur $]0\ ;\, +\infty[$, donc on s’intéresse à la limite $x \to 0$ quand $x>0$.
On a, d’une part : $\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} x^2=0$.
D’autre part, on sait que $\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} \ln{(x)}=-\infty$. Donc, par produit des limites : $\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} -8\ln{(x)}=+\infty$.

• Ainsi, par somme des limites : $$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} f(x)&= \lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} \big(x^2-8\ln{(x)}\big) \\ &=\boxed{+\infty}\end{aligned}$$

2. On admet que, pour tout $x > 0$ : $$f(x)=x^2\left(1-8\dfrac{\ln{(x)}}{x^2}\right)$$ En déduire la limite : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.

On a, d’une part : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$.
D’autre part, on sait que, par croissance comparée des fonctions logarithme népérien et carré, $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln{(x)}}{x^2}=0$. Donc, par opérations sur les limites : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-8\dfrac{\ln{(x)}}{x^2}\right)=1$$

• Ainsi, par produit des limites : $$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2\left(1-8\dfrac{\ln{(x)}}{x^2}\right) \\ &=\boxed{+\infty} \end{aligned}$$

3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0\ ;\, +\infty[$ : $$f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-4)}x$$

En reprenant l’expression initiale de $f(x)$, on a, pour tout réel $x\in\ ]0\ ;\, +\infty[$ : $$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=2x-8\times \dfrac 1x \\ &=\dfrac{2x^2-8}x \end{aligned}$$

• On obtient bien, pour tout réel $x\in\ ]0\ ;\, +\infty[$ : $$f^{\prime}(x)=\boxed{\dfrac{2(x^2-4)}x}$$

4. Étudier les variations de $f$ sur $]0\ ;\, +\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.
On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0\ ;\, +\infty[$.

Pour tout $x\in\ ]0\ ;\, +\infty[$, on a aussi, en reconnaissant une identité remarquable : $$f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x+2)(x-2)}x$$

Or, pour tout réel $x\in\ ]0\ ;\, +\infty[$, $2$, $(x+2)$ et $x$ sont strictement positifs. Donc $f^{\prime}(x)$ est du signe de $(x-2)$, qui est :

• nul pour $x=2$ ;
• strictement négatif pour $x\in \ ]0\ ;\, 2[$ ;
• strictement positif pour $x\in \ ]2\ ;\, +\infty[$.

On peut dresser le tableau de variations de $f$, après avoir calculé :
$$\begin{aligned} f(2)&=2^2-8\ln{(2)} \\ &=4-8\ln{(2)} \end{aligned}$$

On rappelle aussi qu’on a déterminé, aux questions 1 et 2 :
$$\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} f(x)=+\infty \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$$

5. Démontrer que, sur l’intervalle $]0\ ;\, 2]$, l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).

Astuce

Quand on doit montrer qu’une équation admet des solutions sur un intervalle, on pense au théorème des valeurs intermédiaires.
Quand, de plus, on doit démontrer l’unicité de la solution, on utilise son corollaire, qui permettra de conclure immédiatement après avoir vérifié les conditions d’application.

• $f$ est dérivable sur $]0\ ;\, +\infty[$, elle es donc continue sur $]0\ ;\, +\infty[$, et aussi sur $]0\ ;\, 2]$.
• On a montré que $f$ est strictement décroissante sur $]0\ ;\, 2]$.
• Enfin, on a calculé :
  $$\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} f(x)=+\infty \qquad f(2)= 4-8\ln{(2)}\approx -1,55$$ Donc $0 \in [f(2)\ ;\, +\infty[$.
• Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet sur $]0\ ;\, 2]$ une unique solution, que l’on note $\alpha$.

6. On admet que, sur l’intervalle $[2\ ;\, +\infty[$, l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
En déduire le signe de $f$ sur l’intervalle $]0\ ;\, +\infty[$.

On précise, dans son tableau de variations, que $f$ s’annule en $x=\alpha$ et $x=\beta$, ce qui permet d’en déduire le signe de $f(x)$ :

• On peut donc conclure que la fonction $f$ est :
• positive sur les intervalles $]0\ ;\, \alpha]$ et $[\beta\ ;\, +\infty[$ ;
• négative sur l’intervalle $[\alpha\ ;\, \beta]$.

7. Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0\ ;\, +\infty[$ par : $$g_k(x)=x^2-8\ln{(x)}+k$$ En s’aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l’intervalle $]0\ ;\, +\infty[$.

On remarque qu’on a, pour tout réel $x\in ]0\ ;\, +\infty[$, $g_k(x)=f(x)+k$.
On a ainsi, quelle que soit la valeur de $k$, $f^{\prime}(x)=g_k^{\prime}(x)$ (car la dérivée d’une fonction constante $x\mapsto k$ est nulle). Donc les fonctions $f$ et $g_k$ ont les mêmes variations.
$g_k$ atteint alors un minimum en $x=2$, qui vaut $g_k(2)=4-8\ln{(2)}+k$.

Ainsi, pour que $g_k$ soit positive sur $]0\ ;\, +\infty[$, il faut que $\big(4-8\ln{(2)}+k\big)$ soit positif, soit : $$4-8\ln{(2)}+k \geq 0 \Leftrightarrow \boxed{k\geq 4-8\ln{(2)}}$$

• La plus petite valeur de $k$ pour laquelle $g_k$ est positive est donc $\big(4-8\ln{(2)} \big)$.

Exercice 3 (5 points)

Une entreprise a créé une foire aux questions (« FAQ ») sur son site Internet.
On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

• $90\,\%$ des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
• $130$ nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n\text{-ième}$ mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite $(u_n)$ définie par :

1. Calculer $u_2$ et $u_3$, et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.

On se sert de la relation de récurrence pour calculer successivement $u_2$ et $u_3$ : $$\begin{aligned} u_2&=0,9\times u_1+1,3 \\ &=2\times 3+1,3 \\ &=\boxed 4 \\ \\ u_2&=0,9\times u_2+1,3 \\ &=2\times 4+1,3 \\ &=\boxed {4,9} \end{aligned}$$

• Le deuxième mois, il y a $400$ questions sur la FAQ. Puis, le troisième mois, $490$ questions y sont présentes.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$ : $$u_n = 13 - \dfrac{100}9\times 0,9^n$$

On veut démontrer, pour tout entier $n\geq 1$, la proposition que l’on note $P(n)$ :
$$u_n = 13 - \dfrac{100}9\times 0,9^n$$

Initialisation

On vérifie la proposition au rang $1$ :
$$\begin{aligned} 13 - \dfrac{100}9\times 0,9^1 &=13-10 \\ &=3 \\ &=u_1 \end{aligned}$$

Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité

On suppose qu’il existe un rang $k \geq 1$ tel que $P(k)$ est vraie :
$$u_k=13-\dfrac{100}9\times 0,9^k$$

Astuce

Il est conseillé de noter, par exemple au brouillon, ce que l’on souhaite démontrer, pour orienter le raisonnement à mener.
Ici, on souhaite montrer que $P(k+1)$ est aussi vraie, on veut donc montrer qu’on a : $$u_{k+1}=13-\dfrac{100}9\times 0,9^{k+1}$$

On a alors :
$$\begin{aligned} u_{k+1}&=0,9\times u_k+1,3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la relation de récurrence de $(u_n)$]}}} \\ &=0,9\times \left(13-\dfrac{100}9\times 0,9^k \right)+1,3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après l’hypothèse de récurrence]}}} \\ &=11,7-\dfrac{100}9\times 0,9^{k+1}+1,3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en développant le premier terme]}}} \\ &=13-\dfrac{100}9\times 0,9^{k+1} \end{aligned}$$

Ainsi, si $P(k)$ est vraie, alors $P(k+1)$ est aussi vraie. Cela prouve que la proposition est héréditaire à partir du rang $1$.

Conclusion

On a montré que la proposition est vraie au rang $1$ et que, à partir de ce rang, elle est héréditaire.
On peut donc conclure que la proposition $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$ :
$$u_n=13-\dfrac{100}9\times 0,9^n$$

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

On étudie le signe de $(u_{n+1}-u_n)$, en se servant de la formule explicite déterminée dans la question précédente. Pour tout $n\geq 1$ : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\left(13 - \dfrac{100}9\times 0,9^{n+1}\right)-\left(13 - \dfrac{100}9\times 0,9^n \right) \\ &=\dfrac{100}9\times 0,9^n\times (-0,9+1) \\ &=\dfrac{100}9\times 0,1\times 0,9^n \\ &=\dfrac{10}9\times 0,9^n \end{aligned}$$

On a $0,9^n$ strictement positif pour tout entier $n\geq 1$. Donc, comme $\frac{10}9$ est aussi strictement positif, $(u_{n+1}-u_n)$ est strictement positif.

• La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4. On considère le programme ci-dessous, écrit en langage Python.

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\purple{\text{seuil(8.5)}}$ et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

On voit que la fonction calcule successivement les termes de la suite $(u_n)$ et s’arrête dès que le dernier terme calculé est strictement supérieur à la valeur entrée en paramètre. Elle renvoie alors le rang de ce terme.
La saisie de $\purple{\text{seuil(8.5)}}$ renvoie donc le rang $n$ du premier terme strictement supérieur à $8,5$. Pour connaître ce rang, on résout donc l’inéquation : $$\begin{aligned} u_n > 8,5 &\Leftrightarrow 13-\dfrac{100}9\times 0,9^n > 8,5 \\ &\Leftrightarrow 13 - 8,5 > \dfrac{100}9\times 0,9^n \\ &\Leftrightarrow \dfrac{100}9\times 0,9^n < 4,5 \\ &\Leftrightarrow 0,9^n < \dfrac 9{100}\times 4,5 \\ &\Leftrightarrow 0,9^n < 0,405 \\ &\Leftrightarrow \ln{(0,9^n)} < \ln{(0,405)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par stricte croissance de $\ln$ sur $\mathbb R^{*+}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n\ln{(0,9)} < \ln{(0,405)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [pour $a > 0$ et $n$ entier, $\ln{(a^n)}=n\ln{(a)}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n > \dfrac{\ln{(0,405)}}{\ln{(0,9)}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$0,9 < 1$, donc $\ln{(0,9)} < 0$]}}} \end{aligned}$$

Comme $\frac{\ln{(0,405)}}{\ln{(0,9)}}\approx 8,58$, le plus petit entier qui satisfait l’inégalité est $\boxed{n=9}$.

• La saisie de $\purple{\text{seuil(8.5)}}$ renvoie donc la valeur de $9$.

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par : $$v_n = 9 - 6\times \text{e}^{-0,19\times (n-1)}$$ Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n\text{-ième}$ mois sur la FAQ.

1. Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.

On calcule les deux termes en se servant de la formule explicite : $$\begin{aligned} v_1&= 9 - 6\times \text{e}^{-0,19\times (1-1)} \\ &=9-6\times \text{e}^0 \\ &=\boxed 3 \\ \\ v_2&= 9 - 6\times \text{e}^{-0,19\times (2-1)} \\ &=9-6\times \text{e}^{-0,19} \\ &\approx \boxed{4,04} \end{aligned}$$

2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$.

On résout l’équation : $$\begin{aligned} v_n > 8,5 &\Leftrightarrow 9 - 6\times \text{e}^{-0,19\times (n-1)} > 8,5 \\ &\Leftrightarrow 9-8,5 > 6\times \text{e}^{-0,19\times (n-1)} \\ &\Leftrightarrow 6\times \text{e}^{-0,19\times (n-1)} < 0,5 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{-0,19\times (n-1)} < \dfrac 1{12} \\ &\Leftrightarrow \ln\left(\text{e}^{-0,19\times (n-1)}\right) < \ln\left(\dfrac 1{12}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par stricte croissance de $\ln$ sur $\mathbb R^{*+}$]}}} \\ &\Leftrightarrow -0,19\times (n-1) < \ln\left(\dfrac 1{12}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques]}}} \\ &\Leftrightarrow -0,19\times (n-1) < -\ln{(12)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [pour $a > 0$, $\ln\left(\frac 1a\right)=-\ln{(a)}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n-1 > \dfrac{-\ln{(12)}}{-0,19} \\ &\Leftrightarrow n > 1 + \dfrac{\ln{(12)}}{0,19} \end{aligned}$$

Comme $\left(1 + \frac{\ln{(12)}}{0,19}\right)\approx 14,08$, le plus petit entier $n$ qui vérifie cette inégalité est $15$.

• Autrement dit, le terme de rang $15$ est le premier terme de la suite strictement supérieur à $8,5$.

Partie C : Comparaison des deux modèles

1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de $850$ questions sont présentes sur la FAQ. Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ? Justifier votre réponse.

• D’après la question A.4, dans le premier modèle (avec la suite $(u_n)$), le seuil de $850$ questions est franchi le $9\text{-ième}$ mois.
• D’après la question B.2, dans le second modèle (avec la suite $(v_n)$), ce seuil de $850$ questions est franchi le $15\text{-ième}$ mois.
• C’est donc le premier modèle qui conduit à procéder le plus tôt à la modification de la présentation de la FAQ.

2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?

Étudier le nombre de questions à long terme selon le modèle revient à déterminer les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$, puis à les comparer.

Premier modèle

On cherche à calculer : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \left(13-\dfrac{100}9\times 0,9^n \right)$$

D’après les propriétés de la limite de $(q^n)$, avec ici $q=0,9$ strictement compris entre $-1$ et $1$ : $$\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$$

Donc, par opérations sur les limites, on obtient : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=13$$

Second modèle

On cherche à calculer : $$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \left(9 - 6\times \text{e}^{-0,19\times (n-1)}\right)$$

On a : $\lim\limits_{n \to +\infty} \big(-0,19\times (n-1)\big)=-\infty$.
Or, on sait que $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$.
Donc, par composition des limites : $$\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^{-0,19\times (n-1)}=0$$

Finalement, par opérations sur les limites, on obtient : $$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=9$$

Conclusion

À long terme :

• dans le premier modèle, le nombre de questions tendra vers $1\,300$ ;
• dans le second, le nombre de questions tendra vers $900$.
• Il y aura plus de questions, à long terme, dans le premier modèle que dans le second.

Exercice 4 (5 points)

Astuce

Si on le souhaite, on peut, rapidement et directement sur la figure donnée, représenter les vecteurs du repère considéré, et mettre en couleur la droite $(EC)$ et le plan $(GBD)$ dont il est question.

Repère dans le cube ABCDEFGH avec la droite (EC) et le plan (GBD)

1. Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$.

On se sert de la figure pour lire les coordonnées demandées dans le repère $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ })$ : $$E\,(0\ ;\, 0\ ;\, 1)\qquad C\,(1\ ;\, 1\ ;\, 0)\qquad G\,(1\ ;\, 1\ ;\, 1)$$

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.

Rappel

Dans un repère orthonormé, soit $(d)$ une droite passant par $M\,(x_M\ ;\, y_M\ ;\, z_M)$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de $(d)$ est alors : $$\begin{cases} x=\alpha t+x_M \\ y=\beta t + y_M & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=\gamma t + z_M \end{cases}$$

La droite $(EC)$, par exemple, passe par $E\,(0\ ;\, 0\ ;\, 1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{EC\ }$, de coordonnées : $$\begin{pmatrix} 1-0 \\ 1-0 \\ 0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$(EC)$ admet donc, pour représentation paramètre : $$\begin{cases} x=1\times t+0 \\ y=1\times t + 0 & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=-1\times t + 1 \end{cases}$$

• On obtient finalement : $$(EC):\begin{cases} x=t \\ y=t & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=-t + 1 \end{cases}$$

3. Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.

Rappel

Pour montrer qu’une droite est orthogonale à un plan, on peut montrer qu’un de ses vecteurs directeurs est orthogonal aux deux vecteurs d’une base de ce plan.

On a calculé, dans la question précédente : $$\overrightarrow{EC\ }\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Par ailleurs, les vecteurs $\overrightarrow{GB\ }$ et $\overrightarrow{GD\ }$, par exemple, sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(GBD)$, ils forment donc une base de $(GBD)$.
On a $G\,(1\ ;\, 1\ ;\, 1)$ et on lit : $B\,(1\ ;\, 0\ ;\, 0)$ et $D\,(0\ ;\, 1\ ;\, 0)$. Donc :

• $\overrightarrow{GB\ }$ a pour coordonnées : $$\begin{pmatrix} 1-1 \\ 0-1 \\ 0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
• $\overrightarrow{GD\ }$ a pour coordonnées : $$\begin{pmatrix} 0-1 \\ 1-1 \\ 0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

On calcule les produits scalaires suivants (on travaille dans un repère orthonormé) : $$\begin{aligned} \overrightarrow{EC\ }\cdot \overrightarrow{GB\ }&=1\times 0+1\times (-1)+(-1)\times (-1) \\ &=0-1+1 \\ &=0 \\ \\ \overrightarrow{EC\ }\cdot \overrightarrow{GD\ }&=1\times (-1)+1\times 0+(-1)\times (-1) \\ &=-1+0+1 \\ &=0 \\ \end{aligned}$$

Le vecteur $\overrightarrow{EC\ }$ est donc orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{GB\ }$ et $\overrightarrow{GD\ }$, qui forment une base de $(GBD)$.

• La droite $(EC)$ est donc orthogonale au plan $(GBD)$.

4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x+y-z-1=0$.

Rappel

Dans un repère orthonormé, soit un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et passant par un point $M$ de coordonnées connues.
Une équation cartésienne de $(P)$ est alors : $ax+by+cz+d=0$, où $d$ est un réel que l’on détermine grâce aux coordonnées de $M$.

$(EC)$ est orthogonale à $(GBD)$, donc $\overrightarrow{EC\ }\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, vecteur directeur de $(EC)$, est normal au plan $(GBD)$.
Une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est alors de la forme :

On détermine $d$ avec, par exemple, les coordonnées de $B\,(1\ ;\, 0\ ;\, 0)$, qui appartient à $(GBD)$ : $$1+0-0+d=0 \Leftrightarrow d=-1$$

• Ainsi, une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est bien : $$x+y-z-1=0$$

b. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\frac 23\ ;\, \frac 23\ ;\, \frac 13\right)$.

Comme $(EC)$ est orthogonale à $(GBD)$, la droite et le plan sont sécants en un seul point $I$, dont on cherche les coordonnées.
Les coordonnées de $I$ sont solutions du système d’équations : $$\begin{cases} x=t \\ y= t \\ z=-t+1 \\ x+y-z-1=0 \end{cases}$$

On remplace dans la dernière égalité $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ : $$\begin{aligned} t+t-(-t+1)-1=0 &\Leftrightarrow 3t-2=0 \\ &\Leftrightarrow t=\dfrac 23 \end{aligned}$$

On obtient alors : $$\begin{cases} x=\frac 23 \\ y=\frac 23 \\ z=-\frac 23+1=\frac 13 \\ t=\frac 23 \end{cases}$$

• On obtient donc bien : $$I\left(\dfrac 23\ ;\, \dfrac 23\ ;\, \dfrac 13\right)$$

c. En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\frac {2\sqrt 3}3$.

$(EC)$ est orthogonale à $(GBD)$, et $I$ est leur point d’intersection. Donc $I$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $(GBD)$. Et la distance du point $E$ à $(GBD)$ est alors donnée par la longueur $EI$.
Comme on travaille dans un repère orthonormé : $$\begin{aligned} EI&=\sqrt{(x_I-x_E)^2+(y_I-y_E)^2+(z_I-z_E)^2} \\ &=\sqrt{\left(\dfrac 23-0\right)^2+\left(\dfrac 23-0\right)^2+\left(\dfrac 13-1\right)^2} \\ &=\sqrt{\dfrac 49+\dfrac 49+\dfrac 49} \\ &=\sqrt{\dfrac {12}9} \\ &=\dfrac{\sqrt{4\times 3}}{\sqrt 9} \\ &=\boxed{\dfrac{2\sqrt 3}3} \end{aligned}$$

• La distance du point $E$ au plan vaut donc bien $\frac{2\sqrt 3}3$.

5. a. Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.

Les côtés du triangle $BDG$, $[BD]$, $[DG]$ et $[BG]$, sont les diagonales respectives des carrés $ABCD$, $DCGH$ et $BCFG$, qui sont des faces d’un même cube et sont donc de mêmes dimensions.

• Donc $[BD]$, $[DG]$ et $[BG]$ sont de même longueur, et $BDG$ est équilatéral.

b. Calculer l’aire du triangle $BDG$. On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$.

Comme $J$ est le milieu de $[BD]$ et que $BDG$ est un triangle équilatéral, $(JG)$ est la hauteur de $BDG$ issue de $G$. L’aire de $BDG$, que l’on note $\mathcal A$, est alors égale à : $$\mathcal A=\dfrac 12\times BD\times JG$$

$[BD]$ est la diagonale d’un carré de côté $1$. Par le théorème de Pythagore, sa longueur vaut $BD=\sqrt 2$.

$J$ étant le milieu de $[BD]$, avec $B\,(1\ ;\, 0\ ;\, 0)$ et $D\,(0\ ;\, 1\ ;\, 0)$, on a : $$J\left(\dfrac 12\ ;\, \dfrac 12\ ;\, 0\right)$$

On peut donc calculer, toujours parce qu’on travaille dans un repère orthonormé : $$\begin{aligned} JG&=\sqrt{\left(1-\dfrac 12\right)^2+\left(1-\dfrac 12\right)^2+\left(1-0\right)^2} \\ &=\sqrt{\dfrac 14+\dfrac 14+1} \\ &=\sqrt{\dfrac 64} \\ &=\dfrac{\sqrt 6}2 \end{aligned}$$

• L’aire de $BDG$ vaut ainsi : $$\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12\times \sqrt 2 \times \dfrac {\sqrt 6}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{12}}4 \\ &=\dfrac{2\sqrt 3}4 \\ &=\boxed{\dfrac{\sqrt 3}2} \end{aligned}$$

6. Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\frac 13$.

$GBD$, d’aire $\mathcal A=\frac{\sqrt 3}2$, est une base du tétraèdre $EGBD$, de hauteur associée $EI=\frac{2\sqrt 3}3$.
Le volume de $EGBD$, que l’on note $\mathcal V$, vaut donc : $$\begin{aligned} \mathcal V&=\dfrac 13\times \mathcal A\times EI \\ &=\dfrac 13\times \dfrac{\sqrt 3}2\times \dfrac{2\sqrt 3}3 \\ &=\dfrac 13\times \dfrac{2\times 3}{2\times 3} \\ &=\boxed{\dfrac 13} \end{aligned}$$

• Le volume du tétraèdre $EGBD$ est donc bien égal à $\frac 13$.