Sujet bac 2023 2 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Lien vers l’énoncé : Sujet bac 2023 jour 2

Exercice 1 (5 points)

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.

On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs. Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

• la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\frac 25$ ;
• si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\frac 7{10}$ ;
• la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\frac {12}{25}$.

On considère les événements suivants :

• $A$ : « Le joueur choisit le monde A » ;
• $B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
• $G$ : « Le joueur gagne la partie ».

1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :

• $\frac 7{10}$
• $\frac 3{25}$
• $\frac 7{25}$
• $\frac {24}{125}$

On cherche la probabilité $P(A\cap G)$ : $$\begin{aligned} P(A\cap G)&=P(A)\times P_A(G) \\ &=\dfrac 25\times \dfrac 7{10} \\ &=\boxed{\dfrac 7{25}} \end{aligned}$$

• Réponse c.

2. La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :

• $\frac 15$
• $\frac 13$
• $\frac 7{15}$
• $\frac 5{12}$

On a : $$ P_B(G)=\dfrac {P(B\cap G)}{P(B)}$$

Or, d’après la formule des probabilités totales, on peut écrire : $$P(G)=P(A\cap G)+P(B\cap G)$$ D’où : $$\begin{aligned} P(B\cap G)&=P(G)-P(A\cap G) \\ &=\dfrac{12}{25}-\dfrac 7{25} \\ &=\dfrac 5{25} \\ &=\dfrac 15 \end{aligned}$$

On obtient donc : $$\begin{aligned} P_B(G)&=\dfrac {P(B\cap G)}{P(B)} \\ &=\dfrac{\frac 15}{\frac 35} \\ &=\boxed{\dfrac 13} \end{aligned}$$

• Réponse b.

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\frac {12}{25}$.

Ici, il convient d’introduire une variable aléatoire $X$, qui compte le nombre de parties gagnées (succès) pour $10$ parties. Comme on assimile la situation à des tirages avec remise, on peut considérer que les épreuves sont indépendantes (et identiques).

• $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\frac {12}{25}$.

3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à :

• $0,859$
• $0,671$
• $0,188$
• $0,187$

On cherche ici la probabilité $P(X=6)$.
Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\frac {12}{25}$, on a : $$\begin{aligned} P(X=6)&=\begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac {12}{25}\right)^6\times \left(1-\dfrac {12}{25}\right)^{10-6} \\ &=\begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac {12}{25}\right)^6\times \left(\dfrac {13}{25}\right)^4 \\ &\approx \boxed{0,188} \end{aligned}$$

• Réponse c.

4. On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :

• $n= 2$
• $n = 3$
• $n= 4$
• $n = 5$

Ici, on cherche $n$ tel que $P(X\leq n)\approx 0,207$.

Pour cela, on teste avec la calculatrice les différentes valeurs proposées jusqu’à trouver le résultat voulu : $$\begin{aligned} P(X\leq 2)&\approx 0,070 \\ P(X\leq 3)&\approx 0,207 \end{aligned}$$

On a donc $\boxed{n=3}$.

• Réponse b.

5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :

• $1-\left(\frac{12}{25}\right)^{10}$
• $\left(\frac {13}{25}\right)^{10}$
• $\left(\frac {12}{25}\right)^{10}$
• $1-\left(\frac{13}{25}\right)^{10}$

On passe ici par l’événement $\lbrace X=0 \rbrace$ (le joueur ne gagne aucune partie), événement contraire de $\lbrace X\geq 1 \rbrace$ (le joueur gagne au moins une partie). On a : $$\begin{aligned} P(X=0)&=\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac {12}{25}\right)^0\times \left(1-\dfrac {12}{25}\right)^{10-0} \\ &=1\times 1\times \left(\dfrac {13}{25}\right)^{10} \\ &=\left(\dfrac {13}{25}\right)^{10} \end{aligned}$$

On obtient ainsi : $$\begin{aligned} P(X\geq 1)&=1-P(X=0) \\ &=\boxed{1-\left(\dfrac {13}{25}\right)^{10}} \end{aligned}$$

• Réponse d.

Exercice 2 (5 points)

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.
Au début de l’étude la population est de $100\,000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel, le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400\,000$.

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60\,\%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0= 0,1$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 0,1\times 1,6^n$$

D’un mois au suivant, le nombre d’insectes augmente de $60\,\%$, ce qui revient à multiplier par $1,6$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=1,6\,u_n$$ La suite $(u_n)$ est donc géométrique, de premier terme $u_0=0,1$ et de raison $q=1,6$. On sait qu’on a alors, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=u_0\times q^n $$

• On trouve alors bien : $$\boxed{u_n=0,1\times 1,6^n}$$

2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

On cherche à calculer : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\lim\limits_{n \to +\infty} (0,1\times 1,6^n)$$

D’après les propriétés de la limite de $(q^n)$, avec ici $q=1,6$ strictement supérieur à $1$ : $$\lim\limits_{n \to +\infty} 1,6^n=+\infty$$

• Donc, par produit des limites : $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty}$$

3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0,4$.

On résout l’inéquation : $$\begin{aligned} u_n > 0,4 &\Leftrightarrow 0,1\times 1,6^n > 0,4 \\ &\Leftrightarrow 1,6^n > 4 \\ &\Leftrightarrow \ln{(1,6^n)} > \ln{(4)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par stricte croissance de $\ln$ sur $\mathbb R^{*+}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n\ln{(1,6)} > \ln{(4)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [pour $a > 0$ et $n$ entier, $\ln{(a^n)}=n\ln{(a)}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n > \dfrac{\ln{(4)}}{\ln{(1,6)}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$1,6 > 1$, donc $\ln{(1,6)} > 0$]}}} \end{aligned}$$

• Comme $\frac{\ln{(4)}}{\ln{(1,6)}}\approx 2,95$, le plus petit entier à partir duquel l’inégalité est vérifiée est $\boxed{n=3}$.

4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Pour préserver l’équilibre du milieu naturel, le nombre d’insectes ne doit pas excéder $400\,000$, soit $0,4$ million.
Or, d’après la question précédente, à partir de $n=3$, $u_n > 0,4$. Autrement dit, le seuil de $0,4$ million d’insectes est déjà dépassé au bout de trois mois.

• Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel ne sera donc pas préservé.

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $(v_n)$, définie par : $v_0= 0,1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$v_{n+1}= 1,6v_n - 1,6v_n^2$$ où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.

Dans ce nouveau modèle, le nombre d’insectes au bout d’un mois est donné, en million, par $v_1$, que l’on calcule avec la relation de récurrence donnée : $$\begin{aligned} v_1&=1,6\,v_0-1,6\,v_0^2 \\ &=1,6\times 0,1-1,6\times 0,1^2 \\ &=\boxed{0,144} \end{aligned}$$

• Le nombre d’insectes présents au bout d’un mois est de $0,144$ million, soit $144\,000$.

2. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$ par : $$f(x) = 1,6x - 1,6x^2$$ a. Résoudre l’équation $f(x)=x$.

On résout l’équation : $$\begin{aligned} f(x)=x &\Leftrightarrow 1,6x-1,6x^2=x \\ &\Leftrightarrow 0,6x-1,6x^2=0 \\ &\Leftrightarrow x(0,6-1,6x)=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 \quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou}} \quad 0,6-1,6x=0 \\ &\Leftrightarrow x= 0 \quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou}} \quad x=\dfrac {0,6}{1,6}=\dfrac 6{16}=\dfrac 3{8} \end{aligned}$$

• L’équation admet donc pour ensemble solution : $$\boxed{\mathcal S=\left\lbrace 0\ ;\, \dfrac 38\right\rbrace}$$

b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$.

Comme fonction polynôme du second degré, $f$ est dérivable sur $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$. En notant $f^{\prime}$ sa dérivée, on a, pour tout $x\in \left[0\ ;\, \frac 12\right]$ : $$f^{\prime}(x)=1,6-3,2x$$

Or, pour $x\in \left[0\ ;\, \frac 12\right]$, on a $x\leq \frac 12$ et donc $-3,2x \geq -1,6$, puis : $$1,6-3,2x \geq 0$$

Ainsi, pour tout $x\in \left[0\ ;\, \frac 12\right]$, $f^{\prime}(x) \geq 0$.

• La fonction $f$ est donc bien croissante sur $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$.

3.a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$0\leq v_n\leq v_{n+1}\leq \dfrac 12$$

On veut démontrer, pour tout entier naturel $n$, la proposition que l’on note $P(n)$ :
$$0\leq v_n\leq v_{n+1}\leq \dfrac 12$$

Initialisation

On vérifie les inégalités pour $n=0$.
On a $v_0=0,1$ et $v_1=0,144$, donc on a bien : $$0\leq v_0\leq v_{0+1}\leq \dfrac 12$$

Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité

On suppose qu’il existe un rang $k\geq 0$ tel que $P(k)$ est vraie : $$0\leq v_k\leq v_{k+1}\leq \dfrac 12$$

On sait que la fonction $f:x\mapsto 1,6x-1,6x^2$ est croissante sur $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$. On peut donc l’appliquer aux membres des inégalités sans changer leurs sens : $$f(0)\leq f(v_k)\leq f(v_{k+1})\leq f\left(\dfrac 12\right)$$

Or, on a :

• $f(0)=1,6\times 0-1,6\times 0^2=0$ ;
• $f(v_k)=1,6v_k-1,6v_k^2=v_{k+1}$ ;
• $f(v_{k+1})=1,6v_{k+1}-1,6v_{k+1}^2=v_{k+2}$ ;
• $f\left(\frac 12\right)=1,6\times \frac 12-1,6\times \left(\frac 12\right)^2=0,4$.

Comme $0,4 < \frac 12$, on peut écrire : $$0\leq v_{k+1}\leq v_{k+2}\leq \dfrac 12$$

Ainsi, si $P(k)$ est vraie, alors $P(k+1)$ est aussi vraie. Cela prouve que la proposition est héréditaire à partir du rang $0$.

Conclusion

On a montré que la proposition est vraie au rang $0$ et que, à partir de ce rang, elle est héréditaire.

• On peut donc conclure que la proposition $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ :
  $$\boxed{0\leq v_n\leq v_{n+1}\leq \dfrac 12}$$

b. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente.

• On a montré que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \leq v_{n+1}$.
  Donc la suite $(v_n)$ est croissante.
• On a aussi montré que, pour tout entier naturel $n$, $v_n\leq \frac 12$.
  Donc la suite $(v_n)$ est majorée.

Ainsi, la suite $(v_n)$ est croissante et majorée.

• Donc, d’après le théorème de convergence monotone, la suite $(v_n)$ est convergente.

On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.

c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont, d’après la question B.2.a, $0$ et $\frac 38=0,375$.
Or, la suite $(v_n)$ est croissante, et $v_0 = 0,1$. Donc $\ell \geq 0,1$.
La seule valeur possible pour $\ell$ est donc $\frac 38$.

• La suite $(v_n)$ converge donc vers $\ell=\frac 38$.

Cela signifie que, dans ce modèle, le nombre d’insectes tendra vers $0,375$ million, soit $375\,000$, ce qui est inférieur au seuil de $400\,000$.

• Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera préservé.

4. On donne ci-dessous la fonction $\purple{\text{seuil}}$, écrite en langage Python.

a. Qu’observe-t-on si on saisit $\purple{\text{seuil(0.4)}}$ ?

On voit que la fonction $\purple{\text{seuil}}$ de paramètre $\text{a}$ calcule successivement les termes de la suite $(v_n)$ et s’arrête dès que le dernier terme calculé est supérieur ou égal à la valeur entrée en paramètre. Elle renvoie alors le rang de ce terme.
Or, on a montré dans la question précédente que $(v_n)$ est croissante et converge vers $\ell=0,375$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n \leq 0,375$.
Il n’existe donc pas d’entier naturel $n$ tel que $v_n\geq 0,4$.

• Si on saisit $\purple{\text{seuil(0.4)}}$, alors le programme ne sortira jamais de la boucle $\purple{\text{while}}$ et tournera indéfiniment. C’est donc une boucle infinie.

b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\purple{\text{seuil(0.35)}}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

La saisie de $\purple{\text{seuil(0.35)}}$ renverra le rang du premier terme de $(u_n)$ qui est supérieur ou égal à $0,35$.
Pour connaître la valeur retournée, on « tabule » la suite sur la calculatrice en entrant la valeur de $v_0=0,1$ et la relation de récurrence : $$v_{n+1}= 1,6v_n - 1,6v_n^2$$

Lien vers fiches méthode : https://www.schoolmouv.fr/eleves/savoir-faire/suite-recurrente/fiche-calculatrice et https://www.schoolmouv.fr/eleves/savoir-faire/suite-recurrente-ti/fiche-calculatrice

On voit alors que $v_5\approx 0,338$ et $v_6\approx 0,358$.
Donc, le premier terme supérieur ou égal à $0,35$ est $v_6$.

• La valeur renvoyée par la saisie de $\purple{\text{seuil(0.35)}}$ est donc $\boxed 6$.
• Dans le contexte de l’exercice, cela signifie que, selon ce modèle, il suffira de six mois pour qu’il y ait plus de $350\,000$ insectes.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, on considère :

• le plan $\mathcal P_1$ dont une équation cartésienne est : $$2x+y-z+2=0$$
• le plan $\mathcal P_2$ passant par le point $B\,(1\ ;\, 1\ ;\, 2)$ et dont un vecteur normal est : $$\overrightarrow{n_2\,}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}$$

1.a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{n_1\,}$ normal au plan $\mathcal P_1$.

• Un vecteur normal au plan $\mathcal P_1: 2x+y-z+2=0$ est : $$\boxed{\overrightarrow{n_1\,}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}}$$

b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
Montrer que les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont perpendiculaires.

On a, d’après la question précédente et l’énoncé : $$\overrightarrow{n_1\,}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{n_2\,}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}$$

On calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs : $$\begin{aligned} \overrightarrow{n_1\,}\cdot \overrightarrow{n_2\,}&=2\times 1+1\times (-1)+(-1)\times 1 \\ &=2-1-1 \\ &=0 \end{aligned}$$

Les vecteurs $\overrightarrow{n_1\,}$, normal à $\mathcal P_1$, et $\overrightarrow{n_2\,}$, normal à $\mathcal P_2$, sont donc orthogonaux.

• D’après la propriété rappelée dans l’énoncé, les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont donc perpendiculaires.

2.a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal P_2$.

$\overrightarrow{n_2\,}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal P_2$.
Une équation cartésienne de $\mathcal P_2$ est alors de la forme :

On détermine $d$ avec les coordonnées de $B\,(1\ ;\, 1\ ;\, 2)$, qui appartient à $\mathcal P_2$ : $$1-1+2+d=0\Leftrightarrow d=-2$$

• Ainsi, une équation cartésienne du plan $\mathcal P_2$ est : $$\boxed{x-y+z-2=0}$$

b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=0 \\ y=-2+t & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=t \end{cases}$$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$.

On a montré que $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont perpendiculaires, ils sont donc sécants et leur intersection est une droite. $$\begin{aligned} M(x\ ;\, y\ ;\, z)\in \mathcal P_1\cap \mathcal P_2 &\Leftrightarrow \begin{cases} 2x+y-z+2=0 & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{(E_1)}} \\ x-y+z-2=0 & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{(E_2)}} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 3x=0 & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{(E_1+E_2)}} \\ x-y+z-2=0 & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{(E_2)}} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 & \\ -y+z-2=0 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 & \\ y=z-2 \end{cases} \end{aligned}$$

On peut alors introduire un paramètre réel $t$ : $$M(x\ ;\, y\ ;\, z)\in \mathcal P_1\cap \mathcal P_2 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=t-2 & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=t \end{cases}$$

On retrouve la représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

• $\Delta$ est bien l’intersection des plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$.

On considère le point $A\,(1\ ;\, 1\ ;\, 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal P_1$ ni à $\mathcal P_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

3. On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0\ ;\, -2 + t\ ;\, t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
a. Montrer que, pour tout réel $t$ : $$AM_t=\sqrt{2t^2-8t+11}$$

Comme on travaille dans un repère orthonormé, on a, pour tout réel $t$ : $$\begin{aligned} AM_t&=\sqrt{(x_{M_t}-x_A)^2+(y_{M_t}-y_A)^2+(z_{M_t}-z_A)^2} \\ &=\sqrt{(0-1)^2+(-2+t-1)^2+(t-1)^2} \\ &=\sqrt{1+(t-3)^2+(t-1)^2} \\ &=\sqrt{1+t^2-6t+9+t^2-2t+1} \\ &=\boxed{\sqrt{2t^2-8t+11}} \end{aligned}$$

• On retrouve bien l’expression donnée dans l’énoncé.

b. En déduire que $AH =\sqrt 3$.

Comme $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $\Delta$, $H$ est le point de $\Delta$ le plus proche de $A$. La longueur $AH$ est donc la longueur minimale $AM_t$, avec $M_t$ un point de $\Delta$.
On cherche alors le minimum de la fonction $t\mapsto \sqrt{2t^2-8t+11}$.
Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb R^+$, ce minimum et celui de la fonction $t\mapsto 2t^2-8t+11$ sont atteints pour la même valeur.

La fonction $t\mapsto 2t^2-8t+11$ atteint un minimum en : $$t=-\dfrac{-8}{2\times 2}=2$$

Le minimum de la fonction $t\mapsto \sqrt{2t^2-8t+11}$ est donc aussi atteint en $t=2$, et il vaut : $$\sqrt{2\times 2^2-8\times 2+11}=\sqrt{8-16+11}=\sqrt{3}$$

• Ainsi, on a bien : $$\boxed{AH=\sqrt 3}$$

4. On note $\mathcal D_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal P_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal P_1$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal D_1$.

La droite $\mathcal D_1$ est orthogonale au plan $\mathcal P_1$, donc un vecteur directeur de $\mathcal D_1$ est un vecteur normal de $\mathcal P_1$, ici $\overrightarrow{n_1\,}$ : $$\overrightarrow{n_1\,}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ De plus, $\mathcal D_1$ passe par le point $A\,(1\ ;\, 1\ ;\, 1)$.

$\mathcal D_1$ admet donc, pour représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=2\times t+1 \\ y=1\times t+1 & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=-1\times t+1 \end{cases}$$

• On obtient finalement : $$\boxed{\mathcal D_1:\begin{cases} x=2t+1 \\ y=t+1 & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=-t+1 \end{cases}}$$

b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées : $$\left(-\dfrac 13\ ;\, \dfrac 13\ ;\, \dfrac 53\right)$$

$H_1$ est le point d’intersection (unique) de $\mathcal D_1$ et $\mathcal P_1$.
Ses coordonnées sont solutions du système d’équations : $$\mathcal D_1\cap \mathcal P_1:\begin{cases} x=2t+1 \\ y=t+1 \\ z=-t+1 \\ 2x+y-z+2=0\end{cases}$$

On remplace dans la dernière égalité $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ : $$\begin{aligned} 2\times (2t+1)+(t+1)-(-t+1)+2=0 &\Leftrightarrow 4t+2+t+1+t-1+2=0 \\ &\Leftrightarrow 6t+4=0 \\ &\Leftrightarrow t=-\dfrac 46=-\dfrac 23 \end{aligned}$$

On obtient alors : $$\begin{cases} x=2\times \left(-\dfrac 23\right) +1=-\dfrac 43+1=-\dfrac 13 \\ y=-\dfrac 23+1=\dfrac 13 \\ z=-\left(-\dfrac 23\right) +1=\dfrac 53 \\ t=-\dfrac 23\end{cases}$$

• On trouve bien :
  $$\boxed{H_1\left(-\dfrac 13\ ;\, \dfrac 13\ ;\, \dfrac 53\right)}$$

5. Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal P_2$.
On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\frac 43\ ;\, \frac 23\ ;\, \frac 43\right)$ et que $H$ a pour coordonnées $(0\ ;\, 0\ ;\, 2)$.
Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.

Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.

• Montrons que $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.

Le vecteur $\overrightarrow{AH_1\ }$ a pour coordonnées : $$\begin{pmatrix} \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} -\dfrac 13-1 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \dfrac 13-1 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \dfrac 53-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} -\dfrac 43 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} -\dfrac 23 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \dfrac 23 \end{pmatrix}$$

Le vecteur $\overrightarrow{H_2H\ }$ a pour coordonnées : $$\begin{pmatrix} \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} 0-\dfrac 43 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} 0-\dfrac 23 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} 2-\dfrac 43 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} -\dfrac 43 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} -\dfrac 23 \\ \vphantom{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \dfrac 23 \end{pmatrix}$$

On a ainsi $\overrightarrow{AH_1\ }=\overrightarrow{H_2H\ }$.
Donc le quadrilatère $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.

• Montrons que $AH_1HH_2$ possède un angle droit.

$H$ et $H_1$ appartiennent à $\mathcal P_1$, donc la droite $(HH_1)$ est incluse dans $\mathcal P_1$.
En outre, la droite $\mathcal D_1$, qui est la droite $(AH_1)$, est orthogonale à $\mathcal P_1$, elle est donc perpendiculaire à toute droite de $\mathcal P_1$, et en particulier à $(HH_1)$. Donc à l’intersection de ces deux droites, $\widehat{AH_1H}$ est un angle droit.

Ainsi, le quadrilatère $AH_1HH_2$ est un parallélogramme qui possède un angle droit.

• $AH_1HH_2$ est donc un rectangle.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \ln {(1 + \text{e}^{-x})}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\ ;\, \vec \imath,\,\vec \jmath)$. La courbe $\mathcal C$ est tracée ci-dessous.

1.a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

On cherche à calculer : $$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} \ln {(1 + \text{e}^{-x})}$$

On a : $\lim\limits_{x \to -\infty} -x=+\infty$.
On sait que : $\lim\limits_{X \to +\infty} \text{e}^X=+\infty$.
Donc, par composition des limites : $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{-x}=+\infty$.

Ensuite, par somme des limites, on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} (1+\text{e}^{-x})=+\infty$.
On sait que : $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln{(X)}=+\infty$.

• Finalement, par composition des limites : $$\boxed{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty}$$

b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.

On cherche à calculer : $$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} \ln {(1 + \text{e}^{-x})}$$

On a : $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x}=0$.
Donc, par somme des limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} (1+\text{e}^{-x})=1$. On obtient ainsi : $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ln{(1)}=0}$$

• Graphiquement, cela signifie que $\mathcal C$, la courbe représentative de $f$, admet la droite d’équation $y=0$, soit l’axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$.

c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
Calculer $f^{\prime}(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$ : $$f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}$$

La fonction $f$, dérivable sur $\mathbb R$, est de la forme $\ln{(u)}$, avec, pour tout réel $x$ :

La dérivée $f^{\prime}$ est alors de la forme $\frac{u^{\prime}}u$, et on obtient, pour tout réel $x$ : $$\boxed{f^{\prime}(x)=\dfrac{-\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^{-x}}}$$

Pour obtenir l’expression demandée par l’énoncé, on multiplie numérateur et dénominateur par $\text{e}^x$ (qui ne s’annule pas sur $\mathbb R$).
On a alors, pour tout réel $x$ : $$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&= \dfrac{-\text{e}^{-x}\times \text{e}^x}{(1+\text{e}^{-x})\times \text{e}^x} \\ &=\dfrac{-1}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}\times \text{e}^x} \\ &=\boxed{\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}} \end{aligned}$$

d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.

Pour tout réel $x$, $\text{e}^x > 0$, donc : $1+\text{e}^x > 0$, et $\frac{-1}{1+\text{e}^x} < 0$.
Ainsi, $f^{\prime}(x)$ est strictement négatif, et $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
On rappelle aussi qu’on a déterminé aux questions 1.a. et 1.b : $$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =+\infty\qquad \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$$

• On obtient alors le tableau suivant :

2. On note $\mathcal T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal C$ en son point d’abscisse $0$.
a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal T_0$.

On sait que $\mathcal T_0$, tangente à $\mathcal C$ en son point d’abscisse $0$, a pour équation réduite : $$y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$$

On calcule donc : $$\begin{aligned} f^{\prime}(0)&=\dfrac{-1}{1+\text{e}^0} =-\dfrac 12 \\ f(0)&=\ln{(1+\text{e}^{-0})}=\ln{(2)} \end{aligned}$$

• La tangente $\mathcal T_0$ a donc pour équation réduite : $$\boxed{y=-\dfrac 12x+\ln{(2)}}$$

b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb R$.

On a, pour tout réel $x$ : $$f^{\prime}(x)= \dfrac{-1}{1+\text{e}^x}$$

La fonction $f^{\prime}$, comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb R$ dont la dénominateur ne s’annule pas, est dérivable sur $\mathbb R$. Et pour tout réel $x$ : $$\begin{aligned} f^{\prime\prime}(x)&=\dfrac{0\times (1+\text{e}^x)-(-1)\times \text{e}^x}{{(1+\text{e}^x)}^2} \\ &=\dfrac{\text{e}^x}{{(1+\text{e}^x)}^2} \end{aligned}$$

Pour tout réel $x$, numérateur et dénominateur de $f^{\prime\prime}(x)$ sont strictement positifs.
Donc $f^{\prime\prime}(x)$ est strictement positif.

• Ainsi, la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb R$.

c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $$f(x)\geq -\dfrac 12x+\ln{(2)}$$

On vient de montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb R$.
Sa courbe représentative $\mathcal C$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes, et en particulier de $\mathcal T_0:y=-\frac 12x+\ln{(2)}$.

• On a donc, pour tout réel $x$ : $$\boxed{f(x) \geq -\dfrac 12x+\ln{(2)}}$$

3. Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal C$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc :

a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $$f(x)-f(-x)=-x$$

Pour tout réel $x$, on a : $$\begin{aligned} f(x)-f(-x)&=\ln{(1+\text{e}^{-x})}-\ln{(1+\text{e}^{-(-x)})} \\ &=\ln\left(\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^x}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [pour $a > 0$ et $b > 0$, $\ln{(a)}-\ln{(b)}=\ln\left(\frac ab\right)$]}}} \\ &=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{-x}\times \text{e}^x+\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^x}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en utilisant $1=\text{e}^{-x}\times\text{e}^x$]}}} \\ &=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{-x}(\text{e}^x+1)}{1+\text{e}^x}\right) \\ &=\ln{(\text{e}^{-x})} \\ &=-x \end{aligned}$$

b. En déduire que les droites $\mathcal T_0$ et $(M_aN_a)$ sont parallèles.

Soit $a$ un réel différent de $0$. La droite $(M_aN_a)$ a pour coefficient directeur, que l’on note $m$ : $$\begin{aligned} m&=\dfrac{f(x_{N_a})- f(x_{M_a})}{x_{N_a}- x_{M_a}} \\ &=\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} \end{aligned}$$

Or, d’après ce qu’on a montré dans la question précédente : $$f(a)-f(-a)=-a$$

On obtient alors : $$m=\dfrac{-a}{2a}=-\dfrac 12$$

Les droites $(M_aN_a)$ et $\mathcal T_0:-\frac 12x+\ln{(2)}$ ont ainsi le même coefficient directeur, égal à $-\frac 12$.

• Elles sont donc parallèles.