Sujet bac ES - Annale mathématiques 2019 - Corrigé

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Exercice 1

1. FAUX

$p_S\left(\bar{R}\right)=\dfrac{p\left(\bar{R} \cap S \right)}{p(S)} = \dfrac{0,3\times 0,2}{0,7\times 0,4+0,3\times 0,2}=\dfrac{0,06}{0,34}=\dfrac{6}{34}=\dfrac{3}{17}\approx 18$

2. FAUX

$E(X)=\dfrac{k+18}{2}$ donc $\dfrac{k+18}{2}=12$ donc $ k=2\times 12-18=6$ donc $k<9$

3. VRAI

$\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{e} \right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$

$\Leftrightarrow \ln\left(2\times\dfrac{x^2}{\frac{x^5}{e}} \right)=\ln(2x)+5$

$\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{2e}{x^3} \right)=\ln(2x)+5$

$\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{2e}{x^3} \right)-\ln(2x)=5$

$\Leftrightarrow\dfrac{e}{x^4}=e^5$

$\Leftrightarrow x^4=\dfrac{e}{e^5}$

$\Leftrightarrow x^4=\dfrac{1}{e^4}$

$\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{1}{e^4}\right)^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}$

4. FAUX

Il y a deux tangentes horizontales car la dérivée s’annule deux fois ($0$ est une valeur intermédiaire entre $-5$ et $30$ et $0$ est une valeur intermédiaire entre $-5$ et $20$).

5. VRAI

La fonction est convexe sur $[5;15]$ car $f '$ est croissante sur $[5;15]$.

Exercice 2

1. a) $u_{n+1}= 0,96u_n+ 22$ car baisser de $4\ \%$ revient à multiplier par $0,96$ et Laurence replante $22$ pommiers.

1. b) $u_{1}= 0,96\times 300+ 22=310$

$u_{2}= 0,96\times 310+ 22\approx 320$

Donc en 2020, le nombre de pommiers par hectare sera de $320$.

2. a)
$N \longleftarrow 0$

$U\longleftarrow 300$

Tant que $U<400$

$N \longleftarrow N+1$

$U\longleftarrow 0,96\times U+22$

Fin Tant que

2. b) Grâce au mode récurrence de la calculatrice, on trouve $N= 13$.

3. a)
$\begin{aligned} v_{n+1}&=u_{n+1}-550 \\ v_{n+1}&= 0,96u_n+22-550 \\ v_{n+1}&= 0,96u_n-528\\ v_{n+1}&= 0,96(v_n+550)-528\\ v_{n+1}&=0,96v_n+528-528\\ v_{n+1}&=0,96v_n \end{aligned}$

3. b) $v_n=v_0\times q^n=-250\times 0,96^{n}$ donc $u_n=v_n+550= -250\times 0,96^n+550$

3. c) $u_7=550-250\times 0,96^7\approx 362$

3. d)
$\begin{aligned} u_n&> 400 \\ 550-250\times 0,96^n &\ge 400\\ -250\times0,96^n &\ge 400-550 \\ -250\times0,96^n &\ge -150 \\ 0,96^n &\le \dfrac{-150}{-250} \\ \ln 0,96^n&\le \ln0,6 \\ n \ln 0,96 &\le \ln 0,6 \\ n &\ge \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \\ n &\ge 12,51\end{aligned}$

Donc c’est à partir du rang $13$, on retrouve le résultat de la question 2. b).

Exercice 3

Partie A

1. $p(D<8)=p(-10^{99}<D<8)\approx 0,11$

2. $p(8<D< 26)\approx 0,85$

3. On reconnaît l’intervalle $2\sigma$ car $15, 5 - 2 \times 6 = 3, 5$ et $15, 5 + 2 \times 6 = 27, 5$

Partie B

1. On considère $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $p = 0,25$ et $n = 10$.
Succès : « Sébastien effectue le relevé » donc $p = 0,25$
On choisit $10$ relevés donc $n = 10$

2. $P(X=4)\approx 0,15$

3. $p(X\ge 2)=1-p(X \le 1)=1-0,24=0,76$

Partie C
L’intervalle de fluctuation est $\left[ f -\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
L’amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\begin{aligned} \dfrac{2}{\sqrt{n}}&<0,1 \\ \dfrac{\sqrt{n}}{2}&> \dfrac{1}{0,1} \\ \sqrt{n} &> \dfrac{2}{0,1} \\ n&> \left( \dfrac{2}{0,1}\right)^2 \\ n &> 400 \end{aligned}$

Il faut effectuer $401$ relevés.

Partie A

1. $f(0)\approx 115 $ et $f(60)\approx 70$

2. Déterminer $f^{\prime \prime}(7)=0$ car le point $A$ est le point d’inflexion.

3. a) Il faut hachurer la surface entre la courbe, l’axe des abscisses et les 2 droites verticales $x = 0$ et $x = 60$.

3. b) Un rectangle correspond à $200$ unités d’aires. Dans la partie hachurée, il y a au moins $20$ rectangles donc l’aire est supérieure à $200\times 20 = 4000$ unités d’aires. L’estimation n’est donc pas correcte.

Partie B

1.
$\begin{aligned} f^\prime(x)&=0+14\times e^{\frac{-x}{5}} +(14x+42)\times \left(\dfrac{-1}{5}\right) e^{\frac{-x}{5}} \\ f^\prime(x)&=14 e^{\frac{-x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times 14xe^{\frac{-x}{5}}- \dfrac{1}{5}\times 42e^{\frac{-x}{5}}\\ f^\prime(x)&=e^{\frac{-x}{5}} \left(14-\dfrac{14}{5}x-\dfrac{42}{5}\right)\\ f^\prime(x)&=e^{\frac{-x}{5}} \left(\dfrac{-14}{5}x+\dfrac{28}{5}\right)\\ f^\prime(x)&=\dfrac 1 5 e^{\frac{-x}{5}} (-14x+28) \end{aligned}$

2.
a) et b)

3. On a $f^{\prime \prime}=14 e^{-\frac{x}{5}} \left(\dfrac{x-7}{25}\right)$

On en déduit que la fonction est convexe sur $[7;60]$.

4.

a) Il faut vérifier que $G^\prime(x)=g(x)$
$\begin{aligned} G^\prime(x)&=-70\times e^{-\frac{x}{5}}+(-70x-560)\times \left(\dfrac{-1}{5}\right)e^{-\frac{x}{5}}\\ &=-70e^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times (-70)xe^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times (-560)e^{-\frac{x}{5}}\\ &=e^{-\frac{x}{5}}\left(-70+\dfrac{70}{5}x+\dfrac{560}{5}\right)\\ &=e^{-\frac{x}{5}}(14x+42)\\ &=g(x) \end{aligned}$

b) Une primitive de $f$ est : $F(x)=70x+G(x)$.

c)
$\begin{aligned} \int_{0}^{60} f(x)\text d x&=F(60)-F(0)\\ &=\left[70\times 60 + (-70\times60 - 560)e^{-\frac{60}{5}}\right]-\left[70\times 0 + (-70\times0 - 560)e^{-\frac{0}{5}}\right]\\ &=\left[4200-4670e^{-12}\right]-[-560]\\ &=4200+560-4670e^{-12}\\ &=4760 - 4760e^{-12\ \mathbb{F}}\\ &\approx4760 \end{aligned}$

Partie C

$4760\times 4 + 5400 = 24\ 440$
$24\ 440\ \text{cm}^2 =2,444\ \text{m}^2$
$\dfrac{1}{4}\times = 2,5$

$2,444<2,5$ donc il aura suffisamment de vernis.