Sujet bac S - Annale physique-chimie 2019 - Corrigé spécialité

Extraction de la trimyristine à partir de la noix de muscade

1.1. Afin d’extraire la trimyristine, il est préférable d’utiliser le dichlorométhane plutôt que l’éthanol, car :

• la trimyristine est plus soluble dans le dichlorométhane que dans l’éthanol ;
• la température d’ébullition du dichlorométhane est de $40\degree\text{C}$ alors que celle de l’éthanol est de $78\degree \text{C}$. Cela implique qu’il faudra moins chauffer la solution que si nous avions pris l’éthanol pour faire évaporer le solvant.

1.2. Dans l’étape 3, la trimyristine est soluble à chaud mais pas à froid. Ainsi, lorsqu’on place le ballon dans un bain d’eau glacée au cours du refroidissement, la trimyristine cristallise ce qui explique la formation d’un solide blanc.

1.3. La masse trimyristine obtenue est de $4,75\ \text{g}$ pour $20\ \text{g}$ de noix de muscade, soit un pourcentage massique de $\dfrac{4,75}{20}\times 100\approx \boxed{24\ \%}$.
Ce résultat est en accord avec le pourcentage indiqué qui est compris entre $20\ \%$ et $25\ \%$.

Obtention de l’acide myristique

2.1. La formule semi-développée du glycérol est la suivante :

2.2. D’après les données l’acide myristatique, dont son acide conjuguée a pour formule $\text{R-COO}^-$, a pour formule $\text{C}_{14}\text{H}_{28}\text{O}_2$. Or, dans le groupe $\text{COOH}$, nous avons $2$ atomes d’oxygènes, $1$ atome de carbone et $1$ atome d’hydrogène. Nous pouvons donc déduire que $\boxed{\text{R}=\text{C}_{13}\text{H}_{27}}$.

2.3.

Le mécanisme de cette première étape est une réaction d’addition.

2.4. Avec un $\text{pH}$ proche de $1$ inférieur au $\text{p}K\text{a}$ du couple, nous pouvons dire que c’est la forme acide qui prédomine.

2.5.1. En introduisant $4,75\ \text{g}$ de trimyristine, nous obtenons $n(\text{trimyristine})=\frac{4,75}{723} = 6,57\times 10^{-3}\ \text{mol}$ de trimyristine.
Sachant que $1$ mole de trimyristine produit $3$ moles d’ions myristate, alors $n(\text{R-COOH})=3n(\text{trimyristine})$ soit :

$\begin{aligned} n(\text{R-COOH})&= 3\times\frac{4,75}{723}\\ &= 1,97\times 10^{-2}\ \text{mol} \end{aligned}$

À l’issue de la synthèse, on pourrait donc obtenir une quantité de matière maximale de $\boxed{1,97\times 10^{-2}\ \text{mol}}$ d’acide mystrique.

2.5.2. Sachant que nous avons obtenu $3,36\ \text{g}$ d’acide myristique, soit $\frac{3,36}{228} = 1,47\times 10^{-2}\ \text{mol}$. Nous pouvons donc écrire :
$\dfrac{1,47\times 10^{-2}}{1,97\times 10^{-2}} \approx 75\ \%$.

Le rendement de la synthèse est de $\boxed{75\ \%}$.

Détermination par titrage de la pureté de l’acide myristique obtenu

3.1. $$\boxed{\text{R-COOH} + \text{HO}^- \to \text{R-COO}^- + \text{H}_2\text{O}}$$ La réaction est totale car c’est une réaction de titrage.

3.2. Dans la solution $S_1$, nous avons dissous $m_{\text{ech}}=1,14\ \text{g}$ dans un volume $V_0= 100\ \text{mL}$, alors :

$C_m=\dfrac{m_{\text{ech}}}{V_0}=\dfrac{1,14}{100\times 10^{-3}}=11,4\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$

Nous pouvons donc en conclure que la concentration massique d’acide myristique de la solution titrée vaut $\boxed{11,4\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}}$.

3.3. En prenant en compte les résultats du titrage, nous pouvons écrire à l’équivalence :
$C_1\times V_1=C_2\times V_E$
Soit, $C_1=\dfrac{C_2\times V_E}{V_1}$

De plus, $C_1=\dfrac{n_{\text{exp}}}{V_0}$ avec $n_{\text{exp}}=\dfrac{m_{\text{exp}}}{M(\text{acide myristique})}$.

Donc, si nous isolons $m_{\text{exp}}$ avec les données que nous avons, nous obtenons :

$\begin{aligned} m_{\text{exp}}&=\dfrac{C_2\times V_E\times M(\text{acide myristique})\times V_0}{V_1}\\&= \dfrac{5\times 10^{-2}\times 9,6\times 10^{-3}\times 228\times 100\times 10^{-3}}{10\times 10^{-3}}\\&= 1,1\ \text{g} \end{aligned}$

La masse vaut donc $\boxed{m_{\text{exp}}= 1,1\ \text{g}}$.

3.4. Avec les données numériques, on calcule l’incertitude relative $\dfrac{\text{U}(m_{\text{exp}})}{m_{\text{exp}}} = 7,53\times 10^{-3}$. Soit une incertitude absolue de $\text{U}(m_{\text{exp}})= 0,008\ \text{g}$.
Donc $\boxed{m_{\text{exp}}=1,10±0,008\ \text{g}}$.
La masse initialement dissoute étant de $1,14\ \text{g}$ à $±0,01\ \text{g}$, la masse déterminée expérimentalement n’est pas dans l’intervalle de confiance de la masse de l’échantillon.

• L’acide obtenu contient donc des impuretés à l’issue de l’extraction.

3.5. Selon la définition du degré de pureté :
$d =\dfrac{m_\text{exp}}{m_\text{ech}}= \dfrac{1,1}{1,14} \approx 0,96$

Soit un degré de pureté de $\boxed{96\ \%}$.

• Données :
• débit massique d’éjection de gaz du moteur Vulcain noté est $D_m(\text{V})$ ;
• débit massique d’éjection de gaz de chaque booster noté est $D_m(\text{b})$.

Estimation de la poussée

1.1. Avec un débit massique de $270\ \text{kg}\cdot\text{s}^{-1}$, le moteur Vulcain éjecte $648\ \text{kg}$ de gaz, tandis qu’avec un débit massique de $1,8\times 10^3\ \text{kg}\cdot\text{s}^{-1}$ chacun des deux boosters éjectent $4\ 320\ \text{kg}$ de gaz. Soit, la masse totale des gaz éjectés $m_g$ :

$\begin{aligned} m_g&=(D_m(\text{V})+ 2D_m(\text{b}))\times \Delta t\\&= (270+2\times 1,8\times 10^3)\times 2,40\\&\approx 9\ 288\ \text{t} \end{aligned}$

Donc la masse totale des gaz éjectés est de $\boxed{9,3\ \text{tonnes}}$.

• Cette masse représente $1,2\ \%$ de la masse totale de la fusée au décollage.

1.2. Afin d’estimer la valeur $y_5$, la chronophotographie nous permet de mesurer la distance $y_5$ égale à $4,6\ \text{cm}$ par comparaison la distance $y_1$ égale à $3,3\ \text{cm}$.
Alors nous pouvons poser le calcul suivant :
$y_5=30,1\times \frac{4,6}{3,3}\approx 41,96\ \text{m}$

Soit $y_5= \boxed{42\ \text{m}}$.

1.3.1. $v_2$ est estimer en calculant :

$\begin{aligned} v_2&=\dfrac{(y_3-y_1)}{(t_3-t_1)}\\&= \dfrac{33,3-30,1}{1,0-0,20}\\&= 4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}$

Soit $\boxed{v_2 = 4,0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$, vitesse cohérente avec la valeur lue sur la figure 4 à $t=0,6\ \text{s}$.

1.3.2. Graphiquement, nous observons sur la figure 4, représentant la vitesse de la fusée au cours du temps, une droite passant par l’origine notée $v_y=f(t)$. En calculant son coefficient directeur nous obtenons $a_y\approx 6,8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

De plus l’accélération est définie par la dérivée de la vitesse par rapport au temps, soit $\vec{a}=\dfrac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t}$. Elle est égale au coefficient directeur de la droite $f(t)$, soit une accélération de $6,8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$, proche de $7\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ .

1.3.3. Sachant que la fusée décolle sont mouvement reste vertical et le vecteur accélération a donc une direction verticale. Ensuite, l’axe vertical est dirigé vers le haut et la vitesse de la fusée augmente alors la direction de l’accélération est donc vers le haut.

• Le vecteur accélération de la fusée a donc une direction verticale et un sens dirigé vers le haut.

1.4. La fusée n’est soumise qu’à la poussée et à son poids (vertical vers le bas). La somme des deux est égale au produit de la masse par le vecteur accélération, selon la seconde loi de Newton.

• C’est donc un vecteur vertical dirigé vers le haut.

On en déduit que la poussée est représentée par un vecteur vertical dirigé vers le haut de norme supérieure au poids.

• C’est donc le schéma 1 qui est compatible avec le décollage de la fusée.

1.5. Afin de déterminer la valeur de la force de poussée $\vec{F}$, nous appliquons la seconde loi de Newton :
$\vec{F}+\vec{P}=M\cdot\vec{a}$
Soit $\vec{F} =M\cdot\vec{a}-\vec{P}$, avec $M$ la masse ponctuelle de la fusée.

En projetant suivant $\vec{u_y}$ et sachant que $\vec{P}=-m\cdot g$, nous obtenons :
$\boxed{F =M\times(a+g)}$

$F = 765\times 10^3 \times (7+9,8) = 1,26\times 10^7\ \text{N}$.

Alors la force de poussée vaut $\boxed{12\ 600\ \text{kN}}$, résultat compatible avec les valeurs données dans l’énoncé où la poussée est comprise entre $12\ 000\ \text{kN}$ et $13\ 000\ \text{kN}$.

Estimation de la puissance totale développée par la fusée Ariane 5 au début du décollage

Le travail $W$ de la force de poussée $\vec{F}$ est défini par la relation suivante :
$W=F\times \Delta l$
Avec $\Delta l=46,5-30,1=16,4\ \text{m}$ et $F =12\ 600\ \text{kN}$.

De plus, le travail $W$ correspond a une puissance moyenne $P_m$ sur le chemin suivi $\Delta t$ :
$W=P\times \Delta t$
Avec $\Delta t=2,2-0,2=2,0\ \text{s}$.

Alors,
$\begin{aligned} P_m&=\dfrac{W}{\Delta t}\\&= \dfrac{12\ 600\times 10^3\times 16,4}{2,0}\\&\approx 1,03\times 10^8\ \text{W} \end{aligned}$

La puissance moyenne fournie à la fusée par les réacteurs est donc de l’ordre de $\boxed{103\ \text{MW}}$.
Sachant que ce travail est fourni à $10\ \%$ par le moteur Vulcain et $90\ \%$ par les boosters, on trouve que le moteur Vulcain fournit $10\ \text{MW}$ tandis que les boosters fournissent $90\ \text{MW}$. Ces valeurs sont donc bien cohérentes avec les données du texte d’introduction.

Question préliminaire
1. L’analyse dimensionnelle du membre de droite de $f =0 ,16\sqrt{\dfrac{E_A}{\rho_A}} \times \dfrac{d}{L^2}$ est effectuée en remplaçant les grandeurs par les unités et nous remplaçons $0,16$ par la valeur $1$ soit :

$$\begin{aligned} \left[0 ,16\sqrt{\dfrac{E_A}{\rho_A}} \times \dfrac{d}{L^2}\right]&= \sqrt{ \dfrac{[M][L]^3}{[LT]^2[M]}} \times \dfrac{[L]}{[L]^2} \\ &=\boxed{\dfrac{1}{[T]}} \\ \end{aligned}$$

Ce qui est bien homogène à une fréquence.

Dans l’expression (1), $E_A$, $\rho_A$ et $d$ sont des constantes, nous pouvons donc dire que $(1)\Leftrightarrow \dfrac{f}{\frac{1}{L^2}}$.
Vérifions cette expression dans le tableau 1 :

Nous remarquons que les résultats obtenus sont constants, donc la formule (1) est bien compatible avec les mesures du tableau.

Le tracé de $f$ en fonction de $\dfrac{1}{L^2}$ confirme la proportionnalité.

2. Graphiquement, à $25\degree \text{C}$ nous pouvons déterminer la vitesse du son qui est de $v_{\text{son}}=346\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Puis, selon la relation $f=\dfrac{v}{\lambda}\Leftrightarrow \lambda=\dfrac{v}{f}$ on obtient :
$\begin{aligned} \lambda &= \dfrac{346}{440}\\ &= \boxed{78,6\ \text{m}} \end{aligned}$

Problème

Étudions dans un premier temps la longueur $L$ du diapason, afin de savoir de combien devenons nous réduire la longueur des branches du diapason.
Les diapasons 2, 3 et 4 ont une fréquence trop basse, mais nous savons que $f=\dfrac{1}{L^2}$, donc si $L$ diminue alors $f$ augmente.
En prenant en compte les valeurs obtenues de notre tableau de la question 1 avec $f=440\ \text{Hz}$, nous obtenons une longueur pour les diapasons 2, 3 et 4 de $L = 0,113\ \text{m}$. Cette valeur nous permet de dire qu’il faut réduire la longueur des 3 diapasons de $\boxed{11,3\ \text{cm}}$.

Maintenant étudions la largeur $d$ des branches. Le diapason 1 a une fréquence trop élevée, mais nous savons que la fréquence est proportionnelle à la largeur soit $\dfrac{f}{d}$, donc si $d$ diminue alors $f$ diminue également.
D’après l’expression (1), en reprenant les valeurs de bases $d=7\ \text{mm}$ et $f=440\ \text{Hz}$, nous pouvons écrire : $\dfrac{d_1}{d}=\dfrac{f}{f_1}$.
Soit $d_1=\dfrac{d\times f}{f_1}$, avec $f_1=485\ \text{Hz}$.

Alors $d_1=\dfrac{7\times 440}{485}\approx6,35$

Il faut donc diminuer la largeur $d$ des branches du diapason 1 pour obtenir $\boxed{6,35\ \text{mm}}$.

Pour finir, afin d’amplifier le son nous allons calculer la longueur de la caisse de résonance. D’après l’énoncé, la cavité interne de la caisse de résonnance doit être un mutliple entier impair de $\dfrac{\lambda}{4}$.
Avec ${\lambda}=78,6\ \text{cm}$, nous obtenons : $\boxed{D = 19,65\ \text{cm}}$.