Sujet spécimen 2020-3 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

• La bonne réponse est : « $f^\prime(x) = 2x + 1$ ».

Rappel

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
Alors : $(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$.

Ensuite, pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto x^n$ a pour dérivée : $x\mapsto nx^{n-1}$

Question 2

• La bonne réponse est : « $2^{11} - 1$ ».

Nous reconnaissons la somme des $11$ premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons $(u_n)_{n\in \mathbb N}$, de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=1$.

• En effet, nous avons :

$$\green 1 + \purple 2 + \blue {2^2} + \red{2^3} + … + \textcolor{#FFA500}{2^{10}}=\underbrace{\green 1}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u_0 \phantom 2}}} + \underbrace{\purple {2\times 1}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u_1=2u_0}}} +\underbrace{\blue {2\times 2}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u_2=2u_1}}}+\underbrace{\red {2\times 2^2}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u_3=2u_2}}}+…+\underbrace{\textcolor{#FFA500}{2\times 2^9}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u_{10}=2u_9}}}$$

Attention

Il y a bien $11$ termes, il ne faut pas oublier de compter $u_0$. Le détail de la formule donnée plus haut permet de vous en rendre compte.

Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

$$\begin{aligned} S&= \text{premier terme}\times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q} \\ &= 1 \times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \\ &=2^{11}-1 \end{aligned}$$

Question 3

• La bonne réponse est : « $S = -2$ et $P = -8$ ».

D’après la propriété sur la somme et le produit des racines : si on a un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$, $b$ et $c$ des réels), de discriminant positif, alors :

• la somme $S$ de ses racines est égale à : $-\frac ba$ ;
• le produit $P$ de ses racines est égal à : $\frac ca$.
• Nous l’appliquons ici, avec $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

Tout d’abord, nous avons bien :

$$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=2^2-4\times 1\times (-8) \\ &=36 \\ &> 0 \end{aligned}$$

L’équation $x^2 + 2x - 8 = 0$ admet deux solutions distinctes.

• Nous avons donc :

$$\begin{aligned} S&=-\dfrac 21=-2 \\ P&=\dfrac {-8}1=-8 \end{aligned}$$

Astuce

Remarquons que $2$ est une racine évidente et que ces formules permettent de trouver la seconde : $-4$.

Question 4

• La bonne réponse est : « $\pi+x$ ».

Comme $M^{\prime}$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$, $M$ et $M^{\prime}$ sont diamétralement opposés sur $\mathcal C$ :

• $M^{\prime}$ est associé à $\pi+x$.

Question 5

• La bonne réponse est : « $\cos{(x + 2\pi)} = \cos {(x)}$ ».

La fonction cosinus (comme la fonction sinus) est périodique de période $2\pi$.

• Autrement dit, pour tout $x$ réel : $\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)}$.

Par ailleurs :

• la fonction cosinus est paire, donc : $\cos{(-x)}=\cos{(x)}$ ;
• la fonction sinus est impaire, donc : $\sin{(-x)}=-\sin{(x)}$ ;
• $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.

Exercice 2 (5 points)

Astuce

N’hésitez pas, tout au long de l’exercice, à vous servir du graphe donné, afin de vérifier la cohérence de vos résultats. Vous pouvez aussi la tracer sur votre calculatrice, si vous souhaitez plus de précision.

Question 1

Les éventuels points d’intersection entre $\mathscr C_f$ et l’axe des abscisses auront bien sûr pour ordonnée $0$.

• Cela revient donc à résoudre l’équation :

$$\begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow (2x + 1)\text{e}^x=0 \\ &\Leftrightarrow 2x + 1=0 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car la fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb R$]}}} \\ &\Leftrightarrow x=-\dfrac 12 \end{aligned}$$

• Il y a donc un seul point d’intersection, de coordonnées :

$$\boxed{(-\dfrac 12\ ;\, 0)}$$

Question 2

Rappel

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I$, alors leur produit est dérivable sur $I$ et :

$$(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v$$

Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :

$$\exp^{\prime}=\exp$$

Comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout $x$ réel :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&= (2x+1)\text{e}^x+2\text{e}^x \\ &=(2x+1+2)\text{e}^x \\ &=\boxed{(2x+3)\text{e}^x} \end{aligned}$$

Question 3

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$.

• $f^{\prime}(x)$ sera donc du signe de $2x+3$.

Et nous avons :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0 &\Leftrightarrow 2x+3=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac 32 \\ f^{\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow 2x+3 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac 32 \\ f^{\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow 2x+3 < 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac 32 \\ \end{aligned}$$

• Nous en déduisons le tableau de signes de $f^{\prime}(x)$ et les variations de $f$ :

Question 4

Rappel

Si $f$ est dérivable en $a$, alors l’équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ est donnée par :

$$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$$

• $f$ est dérivable en $0$, et l’équation réduite de $\mathcal T$ est :

$$y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$$

Calculons $f^{\prime}(0)$ et $f(0)$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(0)&=(2\times 0+3)\text{e}^0=3 \\ f(0)&=(2\times 0+1)\text{e}^0=1 \end{aligned}$$

• L’équation de $\mathcal T$, tangente à $\mathscr C_f$ au point d’abscisse $0$, est donc :

$$\boxed{y=3x+1}$$

• Nous voyons graphiquement que la courbe $\mathscr C_f$ semble toujours être au-dessus de $\mathcal T$, en se « touchant » au point d’abscisse $1$.

Or, l’équation de $\mathscr C_f$ est : $y=(2x + 1)\text{e}^x$.
Et l’équation de $\mathcal T$ est : $y=3x+1$.

• Donc, pour tout réel $x$, nous avons bien :

$$\boxed{(2x + 1)\text{e}^x \geq 3x + 1}$$

Exercice 3 (5 points)

Astuce

Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.

$40\,\%$ des étudiants sont dans le cycle « licence », et $60\, \%$ dans le cycle de « spécialisation ».

• Donc : $\text{P}(L)=0,4$, et : $\text{P}(\overline L)=0,6$.

Parmi les étudiants du cycle de « licence », $8\, \%$ sont membres du BDS.

• Donc : $\text{P}_L(B)=0,08$, et $\text{P}_L(\overline B)=0,92$.

Parmi les étudiants du cycle de « spécialisation », $10\, \%$ sont membres du BDS.

• Donc : $\text{P}_{\overline L}(B)=0,10$, et $\text{P}_{\overline L}(\overline B)=0,90$.

Question 1

Nous avons en brouillon noté les probabilités données par l’énoncé. Nous les reportons donc facilement sur l’arbre :

Question 2

La probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS, c’est : $\text{P}(L\cap B)$ :

$$\begin{aligned} \text{P}(L\cap B)&=\text{P}(L)\times \text{P}_L(B) \\ &=0,4\times 0,08 \\ &=\boxed{0,032} \end{aligned}$$

Question 3

En utilisant l’arbre pondéré, et avec la formule des probabilités totales, nous avons :

$$\begin{aligned} \text{P}(B)&=\text{P}(L\cap B)+\text{P}(\overline L\cap B) \\ &=0,032+\text{P}(\overline L)\times \text{P}_{\overline L}(B) \\ &=0,032+0,6\times 0,1 \\ &=\boxed{0,092} \end{aligned}$$

Question 1

$X$ donne la somme à payer par l’étudiant :

• soit il fait partie du BDS, la somme est alors de $60\ \text{euros}$ ;
• soit il n’en fait pas partie, la somme alors due est de $20\ \text{euros}$.
• $X$ prend donc ses valeurs dans l’ensemble : $\boxed{\lbrace 20,\,60 \rbrace}$.

Question 2

• La probabilité que $X$ prenne la valeur $20$ est égale à la probabilité que l’étudiant fasse partie du BDS, soit, d’après la question précédent :

$$\text{P}(B)=0,092$$

• La probabilité que $X$ prenne la valeur $60$ est égale à la probabilité que l’étudiant ne fasse pas partie du BDS, soit :

$$\begin{aligned} \text{P}(\overline B)&=1-\text{P}(B) \\ &=1-0,092 \\ &=0,908 \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant donner la loi de probabilité de $X$ avec le tableau suivant :

• L’espérance $E$ de $X$ est donc :

$$\begin{aligned} E&= \sum_{i=1}^2 x_i\times \text{P}(X=x_i) \\ &=20\times 0,092 + 60\times 0,908 \\ &=\boxed{56,32} \end{aligned}$$

Exercice 4 (5 points)

Question 1

$d_2$ est la distance que Bob doit courir le $2^\text{e}$ jour ; elle est égale, d’après l’énoncé, à la distance courue le $1^\text{er}$ jour à laquelle on ajoute $5\,\%=0,05$ de cette distance, soit :

$$\begin{aligned} d_2&=d_1+0,05d_1 \\ &=20+0,05\times 20 \\ &=\boxed{21} \end{aligned}$$

Avec la même logique :

$$\begin{aligned} d_3&=d_2+0,05d_2 \\ &=21+0,05\times 21 \\ &=\boxed{22,05} \end{aligned}$$

Question 2

En généralisant le raisonnement de la première question, nous obtenons, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$$\begin{aligned} d_{n+1}&=d_n+0,05 d_n \\ &=(1+0,05)d_n \\ &=\boxed{1,05d_n} \end{aligned}$$

Question 3

La suite $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $d_1=20$.

• Nous avons donc, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$$\begin{aligned} d_n&=d_1\times q^{n-1} \\ &=\boxed{20\times 1,05^{n-1}} \end{aligned}$$

Question 4

La distance parcourue par Bob lors de son $10^\text{e}$ jour d’entraînement est donnée par $d_{10}$, que nous calculons grâce à la formule explicite montrée à la question 3 :

$$\begin{aligned} d_{10}&=20\times 1,05^{10-1} \\ &=20\times 1,05^9 \\ &\approx \boxed{31,027\ \text{km}} \end{aligned}$$

Attention

$d_{10}$ donne la distance en kilomètres et l’on nous demande d’arrondir à $1$ mètre près.

• On arrondit donc à $10^{-3}$ près (et pas à $31\ \text{km})$.

Question 5

On souhaite, tant que la distance à parcourir le $n \text{-ième}$ jour n’a pas atteint $43\ \text{km}$ (c’est-à-dire tant que $d < 43$), calculer la distance à parcourir le $(n+1) \text{-ième}$ jour, s’arrêter dès que c’est le cas et renvoyer la valeur de $n$ ainsi obtenue.

• On complète donc l’algorithme ainsi :