Sujet zéro 2020 - Spécialité sciences de l'ingénieur - Le rameur - Corrigé

Attention

Dans ce corrigé, nous ne reprendrons que les éléments importants de l’énoncé. Vous pouvez retrouver l’énoncé complet dans la fiche annale dédiée : « Le rameur ».

• Les iconographies sont reprises du sujet original.

Problématique :
La pratique de l’aviron adapté sur un rameur en salle peut-elle procurer les mêmes effets physiques que la pratique de l’aviron sur l’eau ?

Exercice 1 : Étude d’une performance du rameur

Étude la puissance instantanée développée par le rameur (l’utilisateur) lors de la pratique de l’aviron sur l’eau

Lors de la pratique de l’aviron sur l’eau, la rame passe par différentes phases qui sont illustrées par l’image chronophotographique de la figure 2.

• La rame est considérée comme étant en liaison pivot d’axe $(B,\,\vec y)$ par rapport à la coque.
• Des relevés montrent que la vitesse angulaire de la rame par rapport à la coque est constante pendant la phase propulsion.

L’ensemble de l’étude se fait à la date $t=0,35\ \text{s}$.

• Question I-1
• Donner la relation littérale liant $ \Vert \vec v_{A \in \text{rame}/\text{coque}} \Vert$, $ \vert \dot \theta_{\text{rame}/\text{coque}} \vert$, et $ \Vert \overrightarrow{AB\ } \Vert$.

Puisque la rame est en liaison pivot avec la coque, la vitesse du point $A$ de la rame est perpendiculaire à la rame, et :

$$ \boxed{\Vert \vec v_{A \in \text{rame}/\text{coque}} \Vert = \vert \dot \theta_{\text{rame}/\text{coque}} \vert \cdot \Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert}$$

• Calculer $\Vert \vec v_{A \in \text{rame}/\text{coque}} \Vert$, la norme de la vitesse instantanée du point $A$ appartenant à la rame par rapport à la coque.

Avec les valeurs numériques données dans la figure 2 :

$$\begin{aligned} \Vert \vec v_{A \in \text{rame}/\text{coque}} \Vert &= \vert \dot \theta_{\text{rame}/\text{coque}} \vert \cdot \Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert \\ &=1,15 \times 0,87 \\ &=\boxed{1,0005\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}} \end{aligned}$$

En effectuant l’hypothèse d’une étude dans un plan $(O\ ;\,\vec z,\, \vec x)$, les actions mécaniques extérieures appliquées à la rame, pour un bras de l’utilisateur, sont représentées fig. 3.

Une mesure expérimentale donne l’action mécanique extérieure de l’eau sur la rame. Elle est modélisée par :

$$\big\lbrace \tau (\text{eau}\to \text{rame}) \big\rbrace =\ _C\begin{Bmatrix} \vec F(\text{eau} \to \text{rame})=150\cdot \vec x \\ \vec 0 \end{Bmatrix}$$

Avec la relation :

$$\Vert \overrightarrow{BC\ }\Vert \cdot \Vert \vec F (\text{eau}\to \text{rame}) \Vert - \Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert \cdot \Vert \vec F (\text{utilisateur}\to \text{rame})\Vert=0$$

• Question I-2
• Déterminer $\Vert\vec F (\text{utilisateur}\to \text{rame})\Vert$.

D’après la relation donnée et les valeurs numériques indiquées dans les figures 2 et 3, nous avons :

$$\begin{aligned} \Vert \overrightarrow{BC\ }\Vert \cdot \Vert \vec F (\text{eau}\to \text{rame}) \Vert &- \Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert \cdot \Vert \vec F (\text{utilisateur}\to \text{rame})\Vert = 0 \\ \Leftrightarrow \Vert \vec F (\text{utilisateur}\to \text{rame})\Vert &= \dfrac{\Vert \overrightarrow{BC\ }\Vert \cdot \Vert \vec F (\text{eau}\to \text{rame}) \Vert }{\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert } \\ &=\dfrac{2,14\times 150}{0,87} \\ &\approx \boxed{369\ \text{N}} \end{aligned}$$

• Déterminer la puissance instantanée développée par un bras puis par les deux bras de l’utilisateur.
• Selon la formule pour calculer la puissance d’une force, nous avons, pour celle développée par un bras :

$$\begin{aligned} P_\text{un bras}&= \Vert \vec F (\text{utilisateur}\to \text{rame})\Vert \cdot \Vert \vec v_{A \in \text{rame}/\text{coque}} \Vert \\ &\approx 369 \times 1,0005 \\ &\approx \boxed{369\ \text{W}} \end{aligned}$$

• Pour avoir la puissance développée par les deux bras, nous multiplions tout simplement par $2$ :

$$\begin{aligned} P_\text{deux bras}&= 2 \times P_\text{un bras} \\ &\approx 2\times 369 \\ &\approx 738\ \text{W} \end{aligned}$$

Pour la suite du sujet, la puissance instantanée développée par les deux bras de l’utilisateur sera prise égale à $720\ \text{W}$.

Étude de la puissance instantanée développée par l’utilisateur en salle avec le rameur

Le schéma cinématique fig. 4 présente la structure du système aérodynamique de dissipation d’énergie mécanique du rameur.

Le fonctionnement normal du rameur est le suivant :

• le pratiquant met en mouvement la barre solidaire de la sangle ;
• la sangle en se déroulant provoque la rotation du tambour ;
• la poulie $1$, lié cinématiquement au tambour, entraîne la poulie $2$ par l’intermédiaire de la courroie ;
• le glissement poulies/courroie est considéré comme négligeable ;
• la roue aérodynamique, solidaire de la poulie $2$, génère un flux d’air ;
• la variation du flux d’air provoque un moment (couple) résistant opposé à la rotation de la roue (moment aérodynamique) ;
• le moment aérodynamique est transmis à l’utilisateur sous forme d’un effort recopiant l’effort $\vec F (\text{utilisateur}\to \text{rame})$ ;
• la roue libre permet une rotation libre de la roue aérodynamique lors du retour de la barre.

À l’instant considéré, la vitesse de la sangle par rapport au bâti vaut :

$$\Vert \vec v_{I \in \text{sangle}/\text{bâti}} \Vert = 1\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$

• Question I-3
• Déterminer le rapport de transmission $r = \dfrac{\dot \theta_{\text{poulie }1 / \text{bâti}}}{\dot \theta_{\text{poulie }2 / \text{bâti}}}$ à partir des données du schéma cinématique fig. 4.

$$\begin{aligned} r &= \dfrac{\dot \theta_{\text{poulie }1 / \text{bâti}}}{\dot \theta_{\text{poulie }2 / \text{bâti}}} \\ &= \dfrac{D_2}{D_1} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car il s’agit d’une transmission poulies-courroie]}}} \\ &= \dfrac{24}{120} \\ &=\boxed{0,2} \end{aligned}$$

• Déterminer la vitesse angulaire $\dot \theta_{\text{poulie }1 / \text{bâti}}$ à partir de la valeur de la vitesse de la sangle par rapport au bâti et de son rayon d’enroulement.

Attention

Il ne faut pas oublier l’épaisseur de la sangle : sur le schéma cinématique, l’on remarque que la sangle est enroulée $1$ fois.

• Nous considérons donc l’épaisseur de la sangle :

$$E_\text{sangle} = 1,2\ \text{mm} = 0,0012\ \text{m}$$

Toutefois, la vitesse angulaire restera la même quelle que soit l’épaisseur d’enroulement et sera égale à $\dot \theta_{\text{tambour nu} / \text{bâti}}$.

Nous avons ainsi :

$$\begin{aligned} \Vert \vec v_{I \in \text{sangle}/\text{bâti}} \Vert &= \dot \theta_{\text{tambour nu} / \text{bâti}}\cdot \left(R_{\text{tambour nu}}+E_\text{sangle}\right) \\ \Leftrightarrow \dot \theta_{\text{tambour nu} / \text{bâti}} &= \dfrac{\Vert \vec v_{I \in \text{sangle}/\text{bâti}} \Vert} {R_{\text{tambour nu}}+E_\text{sangle}} \\ &= \dfrac{\Vert \vec v_{I \in \text{sangle}/\text{bâti}} \Vert} {\frac {D_{\text{tambour nu}}}2+E_\text{sangle}} \\ &= \dfrac{2\cdot \Vert \vec v_{I \in \text{sangle}/\text{bâti}} \Vert} {D_{\text{tambour nu}}+2\cdot E_\text{sangle}} \end{aligned}$$

Or, la poulie $1$ est liée cinématiquement au tambour. Leurs vitesses de rotation sont donc identiques.

• Nous obtenons :

$$\begin{aligned} \dot \theta_{\text{poulie }1 / \text{bâti}} &= \dot \theta_{\text{tambour nu} / \text{bâti}} \\ &= \dfrac{2\cdot \Vert \vec v_{I \in \text{sangle}/\text{bâti}} \Vert} {D_{\text{tambour nu}}+2\cdot E_\text{sangle}} \\ &= \dfrac{2\times 1} {0,092+2\times 0,0012} \\ &\approx \boxed{21,19\ \text{rad}\cdot \text{s}^{-1}} \end{aligned}$$

Astuce

Dans une formule, il faut toujours veiller aux unités utilisées.
Ici, la vitesse de la sangle par rapport au bâti est donnée en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$.

• Le diamètre du tambour doit être converti en $\text{m}$.

Dans les conditions d’utilisation, le moment aérodynamique $\Vert \vec M_D(\text{air}\to \text{roue}) \Vert$ que crée l’air sur la roue est donné par la relation :

$$\Vert \vec M_D(\text{air}\to \text{roue} \Vert = \dfrac 12\cdot R_{\text{moyen-roue}}\cdot \left(\dot \theta_{\text{roue} / \text{bâti}}\cdot R_{\text{moyen-roue}}\right)^2\cdot C_\times \cdot S_\text{ailette}\cdot\rho_\text{air}\cdot N\cdot K$$

• $\dot \theta_{\text{roue} / \text{bâti}}=110\ \text{rad}\cdot \text{s}^{-1}$ (vitesse angulaire de la roue aérodynamique)
• $R_{\text{moyen-roue}}= 0,09\ \text{m}$ (rayon moyen de la roue aérodynamique)
• $C_\times = 1,1$ (coefficient aérodynamique d’une ailette)
• $S_\text{ailette}=$ aire de l’ailette en $\text{m}^{2}$
• $\rho_\text{air} = 1,225\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ (masse volumique de l’air)
• $N =$ nombre d’ailettes
• $K = 50$ (coefficient de pondération)
• Question I-4
• Calculer le moment aérodynamique $\Vert \vec M_D(\text{air}\to \text{roue} \Vert$.

En regardant la formule donnée en énoncé, nous remarquons qu’il nous faut juste calculer $S_\text{ailette}$, toutes les autres valeurs étant données directement.

• L’ailette étant formée d’un carré de côté $0,04\ \text{m}$ et d’un triangle rectangle de côtés $0,04\ \text{m}$ et $0,02\ \text{m}$, nous pouvons calculer facilement son aire :

$$\begin{aligned} S_\text{ailette}&=0,04^2+\dfrac {0,04\times0,02}2 \\ &=0,002\ \text{m}^2 \\ &=20\ \text{cm}^2 \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant appliquer la formule avec les valeurs numériques qui sont données :

$$\begin{aligned} \Vert \vec M_D(\text{air}\to \text{roue} \Vert &= \dfrac 12\cdot R_{\text{moyen-roue}}\cdot \left(\dot \theta_{\text{roue} / \text{bâti}}\cdot R_{\text{moyen-roue}}\right)^2\cdot C_\times \cdot S_\text{ailette}\cdot\rho_\text{air}\cdot N\cdot K \\ &=\dfrac 12 \times 0,09 \times (110 \times 0,09)^2 \times 1,1 \times 0,002 \times 1,225 \times 8 \times 50 \\ &\approx \boxed{4,75\ \text{N}} \end{aligned}$$

• Déterminer $P_\text{aéro}$ la puissance dissipée par la roue aérodynamique.

Selon la formule pour calculer la puissance d’une force, nous avons :

$$\begin{aligned} P_\text{aéro}&=\Vert \vec M_D(\text{air}\to \text{roue} \Vert \cdot \dot \theta_{\text{roue} / \text{bâti}} \\ &\approx 4,75 \times 110 \\ &\approx \boxed{522,5\ \text{W}} \end{aligned}$$

Conclusion sur la correspondance des puissances dissipées par l’utilisateur avec le rameur en salle et lors de la pratique de l’aviron sur l’eau

• Question I-5
• Comparer la puissance instantanée développée, par le rameur (l’utilisateur) lors de la pratique de l’aviron sur l’eau et par l’utilisateur, en salle avec le rameur.

Nous avons :

• $P_\text{deux bras}\approx 720\ \text{W}$ ;
• $P_\text{aéro}\approx 522,5\ \text{W}$.
• $P_\text{deux bras} > P_\text{aéro}$.

Ainsi, la puissance instantanée développée par l’utilisateur sur l’eau est significativement supérieure à celle dissipée par la roue aérodynamique.

• Déduire de la lecture de la fig. 5 l’élément permettant de reproduire la puissance instantanée développée par le rameur (l’utilisateur) lors de la pratique de l’aviron sur l’eau, par l’utilisateur en salle avec le rameur.

• Nous voyons sur cette figure qu’un deuxième élément permet de dissiper de la puissance : le frein magnétique.

De plus, la roue est à la fois « inertielle » et « aérodynamique » : cela signifie donc que la puissance nécessaire pour mettre la roue en rotation n’est pas négligeable à cause de son inertie ; or, nous ne l’avons pas prise en compte. Cette énergie est alors stockée dans la roue sous forme d’inertie puis est dissipée par les frottements de l’air lorsque la roue continue de tourner après l’effort de l’utilisateur.

Exercice 2 : Modification du comportement du rameur

Problématique :
En choisissant un niveau de résistance et en programmant un profil, le rameur permet-il un contrôle de l’intensité des efforts selon les capacités de l’utilisateur, ainsi qu’une fluidité de mouvement ?

Le constructeur a décidé de compléter le système de dissipation aérodynamique par un frein électrique. Ce frein fonctionne selon un principe électromagnétique pour créer un effort résistant. Un volant d’inertie métallique est en rotation au voisinage d’aimants.

• Lorsqu’on approche les aimants de la périphérie du volant d’inertie, le champ magnétique génère une force de Laplace qui s’oppose au mouvement du volant (fig. 7 et 8).

Le couple de freinage augmente lorsque l’entrefer « e » diminue, et inversement.

• La position représentée fig. 8-1 représente le freinage le moins fort, la position représentée fig. 8-3 représente le freinage le plus fort.

Le pratiquant paramètre la grandeur LEVEL de $0$ à $16$ ($0$ étant facile et $16$ étant difficile).

• La fig. 8-2 représente LEVEL $4$.
• Question II-1
• Définir, parmi les figures 8-1, 8-2, 8-3, lesquelles sont associées au LEVEL 1 et au LEVEL 16.
• Justifier votre réponse.
• Le LEVEL $1$ correspond à une difficulté faible, donc l’utilisateur a besoin de fournir un moins grand effort :
• il s’agit donc de la fig. 8-1, où le freinage est le moins fort.
• Inversement, le freinage le plus fort demande un effort important pour mettre en mouvement la roue, ce qui correspond au LEVEL $16$ :
• il s’agit donc de la fig. 8-3.

Un servomoteur (voir schéma cinématique fig. 9) permet de faire varier l’entrefer « e ». Le servomoteur entraîne un train d’engrenages qui provoque la rotation du treuil et par conséquent le mouvement du câble qui déplace la mâchoire.
Le pratiquant paramètre la grandeur LEVEL de $0$ à $16$ ; pour chaque incrémentation du niveau de résistance (LEVEL), le treuil a une rotation de $12\degree$ et le codeur $\text{S}_1$ fournit $2$ impulsions.

• Le système est en position initiale. Le pratiquant programme LEVEL $3$. Le câble se déroule, l’entrefer diminue.

• Question II-2
• À l’aide de la fig. 9, déterminer les sens de rotation du treuil, des roues intermédiaires (sens trigonométrique ou anti-trigonométrique) sachant que le moteur tourne dans le sens trigonométrique.

Nous savons que deux engrenages extérieurs tournent dans le sens inverse l’un de l’autre.

• Ainsi, nous avons :
• moteur : sens trigonométrique (par hypothèse) ;
• codeur incrémental et roue 2 : sens anti-trigonométrique ;
• roue 3 : sens trigonométrique ;
• roue 4 et treuil : sens anti-trigonométrique.
• Déterminer le nombre d’impulsions du codeur $\text{S}_1$ pour passer du LEVEL $1$ au LEVEL $3$.

Le codeur $\text{S}_1$ founit $2$ impulsions pour chaque incrémentation de LEVEL.

• Pour passer du LEVEL $1$ au LEVEL $3$, on obtient : $2\times 2 = \boxed{4\ \text{impulsions}}$.

L’utilisateur, lors de ses séances de rééducation doit programmer un profil d’entraînement (le LEVEL) afin de travailler la puissance qu’il souhaite dissiper.

Une partie du plan de rééducation est décrite ci-dessous :

• $1\ \text{min}$ de phase d’attente à LEVEL $0$ ;
• $4\ \text{min}$ à LEVEL $6$, effort soutenu ;
• $2,5\ \text{min}$ à LEVEL $4$, effort modéré ;
• $1\ \text{min}$ de récupération à LEVEL $0$.

L’algorigramme (fig. 10) décrit la commande du servomoteur en fonction du LEVEL.

• L’étude portera uniquement sur la partie du plan de rééducation présentée.

• Question II-3

Compléter, à l’aide de l’algorigramme (fig. 10), sur le chronogramme (DR1), le compteur d’impulsions ($\text{imp}$) et l’angle de rotation du moteur pour les phases 2 et 3.

Astuce

Tout d’abord, comprenons ce que nous disent l’algorigramme et les informations dont nous disposons sur le chronogramme.

• Au bout de $1\ \text{min}$, la valeur de $\text{S}_2$ passe de $1$ à $0$.
• Nous entrons dans la « boucle » de l’algorithme.
• $0$ est alors assigné à $C_\text{imp}$ ;
• le $\text{LEVEL}$ demandé est $6$ ;
• $\text{LEVEL}=6 \red > \frac {C_\text{imp}}2=\frac 02 = 0$ :
• une rotation de $6\degree$ dans le sens anti-trigonométrique s’effectue ;
• $C_\text{imp}$ est incrémenté : $C_\text{imp}=1$ ;
• nous recommençons la boucle : $\text{LEVEL}= 6 \red > \frac {C_\text{imp}}2=\frac 12$ :
• une nouvelle rotation de $6\degree$, dans le même sens, s’effectue ;
• $C_\text{imp}$ est de nouveau incrémenté : $C_\text{imp}=2$ ;
• et ainsi de suite, jusqu’à ce que $12$ impulsions au total soient données :
• $C_\text{imp}=12$ ;
• la rotation totale est de $72\degree$ dans le sens anti-trigonométrique ;
• cette fois, $\text{LEVEL}= 6 \red = \frac {C_\text{imp}}2=\frac {12}2=6$ ;
• nous revenons à la lecture de $\text{LEVEL}$.
• Au bout de $5\ \text{min}$, la valeur de $\text{LEVEL}$ passe de $6$ à $4$.
• $\text{LEVEL}=4 \red <\frac {C_\text{imp}}2=6$ :
• une rotation de $6\degree$ dans le sens trigonométrique s’effectue ;
• $C_\text{imp}=12-1=11$ ;
• et ainsi de suite jusqu’à ce que $3$ nouvelles impulsions soient données ;
• $C_\text{imp}=8$ ;
• l’angle formé est égal à $48\degree$.
• Nous pouvons maintenant facilement compléter le chronogramme.

Afin d’améliorer la précision du réglage de l’effort résistant dû au frein magnétique, le servomoteur et le codeur incrémental sont remplacés par un motoréducteur associé à un capteur analogique.
La plage d’utilisation de celui-ci est $0 - 5\ \text{V}$, il est monté directement sur le treuil et peut mesurer un angle allant de $0\degree$ à $240\degree$.

• Le signal est numérisé par un convertisseur analogique numérique sur $10\ \text{bits}$.

Ce capteur permet, à la chaîne d’information, d’acquérir une image de la position angulaire du treuil.

• Question II-4
• Indiquer si le capteur est utilisé sur l’intégralité de sa capacité de mesure.

Le capteur permet de mesurer un angle de $0\degree$ à $240\degree$. Or l’angle de rotation maximum du treuil est de $184\degree$ pour le dernier niveau, le LEVEL $16$.

• On n’utilise pas l’intégralité de la capacité de mesure du capteur.
• Donner la résolution de mesure, en degré, induite par la numérisation du signal.

Un signal de $10\ \text{bits}$ permet de décrire $2^{10}=1\,024$ valeurs.

• La résolution de mesure $R$ vaut donc :

$$\begin{aligned} R&=\dfrac{240}{1\,024} \\ &=\dfrac{15}{64} \\ &\approx \boxed{0,23\degree} \end{aligned}$$

• Question II-5
• Donner les tensions issues du capteur caractéristiques pour les LEVEL $1$ et $16$.

En considérant une relation de proportionnalité entre l’angle mesuré et la tension obtenue en sortie du capteur, on obtient un coefficient de proportionnalité de :

$$\dfrac 5{240} = \dfrac 1{48}$$

Nous obtenons donc :

• pour $12\degree$ (LEVEL $1$) :

$$12 \times \dfrac 1{48} = \boxed{0,25\ \text{V}}$$

• pour $184\degree$ (LEVEL $16$) :

$$\begin{aligned} 184 \times \dfrac 1{48} &= \dfrac{23}{6} \\ &\approx\boxed{3,83\ \text{V}} \end{aligned}$$

• Exprimer la relation liant la position angulaire $\alpha$ du treuil et les valeurs numériques images de l’angle (exprimées en décimal).

Comme pour la question précédente, avec les valeurs images de l’angle, nous pouvons calculer le coefficient de proportionnalité :

$$\dfrac{240}{1\,024} = \dfrac{15}{64}$$

• Nous obtenons ainsi la relation de proportionnalité :

$$\boxed{\alpha=\dfrac{15}{64}N}$$

Attention

$N$ est entier.

• Nous pouvons maintenant remplir complètement le tableau :

• Question II-6
• Conclure quant à la qualité du contrôle de l’intensité des efforts pour un capteur analogique monté directement sur le treuil.

D’après la relation établie à la question précédente entre la valeur image et la rotation du treuil, une augmentation de $1$ de la valeur image correspond à une rotation de :

$$\alpha = \dfrac{15}{64} \approx 0,23\degree$$

On peut aussi dire qu’il est possible de définir $785$ intensités d’effort alors qu’on n’a besoin que de $16$ niveaux.

• Le contrôle de l’intensité obtenu avec un tel capteur est donc largement suffisant.
• Proposer, en utilisant le capteur analogique, une solution augmentant la résolution.

Si toutefois on voulait augmenter la résolution en utilisant ce même capteur, il suffirait de le positionner sur une roue de l’engrenage du système qui tourne plus vite que la roue du treuil, afin d’utiliser davantage la capacité de mesure du capteur.
Cependant, cette roue ne devrait pas tourner de plus de $240\degree$ lorsque le treuil tourne de $184\degree$ pour ne pas arriver au-delà de la capacité du capteur.

• L’idéal serait donc de choisir les nombres de dents des roues 2, 3 et 4 afin que la roue 3 effectue une rotation de $240\degree$ lorsque la roue 4 tourne de $184\degree$, et de mettre le capteur sur cette roue 3.