Sujet brevet corrigé - Mathématiques 2024 - centres étrangers 1

Sujet brevet : Annale 2024

Exercice 1 (20 points)

• Donner l’écriture scientifique de $0,193\times 10^{-100}$.

L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme $a\times 10^p$, avec $1 \leq a < 10$ et $p$ un nombre entier relatif.
L’écriture scientifique de $0,193\times 10^{-100}$ est donc :

$0,193\times 10^{-100} = 1,93\times 10^{-1} \times 10^{-100} = 1,93\times 10^{-101}$.

• Lili part en vacances, elle parcourt $480\ \rm km$ en $5\ \rm h\ \rm 42~min$. Quelle est sa vitesse moyenne en $\rmkm/h$, arrondie au dixième ?

Pour calculer la vitesse, il faut d’abord penser à exprimer le temps du trajet en heures décimales :

$t = \rm 5~h~42~min = 5~h + \frac{42}{60}~h = 5~h + 0,7~h = 5,7~h$,

car $\rm 1~h = 60~min$ donc $\rm 1~min = \frac{1}{60}~h$.

D’après la formule de la vitesse moyenne :

$v = \frac{d}{t} = \frac{480}{5,7} \approx \rm 84,2~km/h$, au dixième près.

• Sam fait tourner la roue ci-contre et regarde le nombre désigné par la flèche, qui peut être $1$ ou $2$.

La roue contient $15$ secteurs et on peut remarquer que $\frac{3}{5} = \frac{3\times 3}{5\times 3} = \frac{9}{15}$.

Pour que la probabilité que la flèche désigne le nombre $2$ soit égale à $\frac{3}{5}$, il faut donc qu’il y ait $9$ secteurs (parmi les $15$) avec écrit le nombre $2$.

Comme il y a déjà $8$ secteurs avec écrit le nombre $2$, il faudrait écrire le nombre $2$ à la place du nombre effacé.

• On considère la liste de nombres suivante : $5$ ; $1$ ; $3$ ; $10$ ; $17$ ; $11$ ; $10$. Pour cette liste de nombres, que représente le nombre $5$ ?

Pour la liste de nombres donnée ($5$ ; $1$ ; $3$ ; $10$ ; $17$ ; $11$ ; $10$) qui contient $7$ nombres :

• On a $\frac{7}{2} = 3,5$, donc la médiane est la quatrième des valeurs classées par ordre croissant, qui est $10$.
• L’étendue est $17 – 1 = 16$.
• La moyenne est $\frac{5+1+3+10+17+11+10}{7} = \frac{57}{7} \approx 8,1$, au dixième près. Le nombre $5$ ne représente donc rien de particulier pour cette liste de nombres.
• Réponse d

• Léa achète un vélo électrique. Pour le réserver, elle paye $\frac{1}{5}$ du prix au magasin. Le magasin lui propose de payer le reste en trois paiements d’un même montant. Quelle fraction du prix du vélo représente l’un de ces trois paiements ?

Une fois que Léa a payé $\frac{1}{5}$ du prix de son vélo électrique au magasin, il reste à payer $\frac{4}{5}$ du prix.

Si elle paye la somme restante en trois paiements d’un même montant, elle paiera

$\frac{\frac{4}{5}}{3} = \frac{4}{5\times 3} = \frac{4}{15}$ du prix du vélo pour chacun des $3$ paiements.

• Réponse c

Exercice 2 (20 points)

Un entraîneur de sport prépare deux circuits d’entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :

• un circuit commence à l’exercice 1 et se termine en revenant à l’exercice 1 ;
• le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l’exercice suivant ;
• le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l’exercice suivant.

• Montrer que le circuit 1 s’effectue en $280$ secondes et que le circuit 2 s’effectue en $350$ secondes.

Le temps nécessaire pour effectuer le circuit 1 est :

$5\times (40 + 16) = 5\times 56 = 280 \rm~s$.

En effet, pour ce circuit, on doit effectuer 5 fois de suite 40 secondes d’exercice et 16 secondes de repos pour se rendre à l’exercice suivant.

Le temps nécessaire pour effectuer le circuit 2 est :

$10\times (30 + 5) = 10\times 35 = 350 \rm~s$.

En effet, pour ce circuit, on doit effectuer 10 fois de suite 30 secondes d’exercice et 5 secondes de repos pour se rendre à l’exercice suivant.

• Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $280$ et de $350$.

Donnons la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres suivants :
$280 = 2\times 140 = 2\times 2\times 70 = 2\times 2\times 2 \times 35 = 2\times 2\times 2 \times 5\times 7 = 2^3 \times 5\times 7$
$350 = 2\times 175 = 2\times 5\times 35 = 2\times 5\times 5 \times 7 = 2 \times 5^2 \times 7$

• Une séance d’entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.

Au coup de sifflet de l’entraîneur, Camille commence une séance d’entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.

a. Expliquer pourquoi, lorsque $2~800$ secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1. Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque $2~800$ secondes se sont écoulées.

$2~800 = 10\times 280$ donc, comme il faut $\rm 280~s$ pour effectuer le circuit 1, au bout de $\rm 2~800~s$ Camille aura fait 10 fois le circuit 1 et se trouvera au départ de ce circuit.
$2~800 \div 350 = 8$ donc, comme il faut $\rm 350~s$ pour effectuer le circuit 2, au bout de $\rm 2~800~s$ Dominique aura fait 8 fois le circuit 2 et se trouvera au départ de ce circuit.

b. Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.

Après le coup de sifflet, pour que Camille et Dominique se retrouvent en même temps au départ de leur circuit respectif, il faut que la durée écoulée (en $\rm s$) soit un multiple commun de $280$ et de $350$.

Pour que ça soit la première fois, il faut déterminer le plus petit multiple commun de
$280 = 2^3 \times 5\times 7$
et de $350 = 2 \times 5^2 \times 7$.

En observant les deux décompositions en facteurs premiers, facteur par facteur, le nombre recherché doit être le produit de $2^3$, $5^2$ et $7$ :
il s’agit donc de $2^3 \times 5^2 \times 7 = 1~400$.

Après le coup de sifflet, Camille et Dominique se retrouvent pour la première fois en même temps au départ de leur circuit respectif au bout de $\rm 1~400~s = 23\times 60 + 20~s = 23~min~20~s$, car $\rm 1~min = 60~s$.

Exercice 3 (20 points)

On considère le programme de calcul suivant :

Partie A

• Justifier qu’en choisissant $5$ comme nombre de départ, le résultat final obtenu est $18$.

En choisissant $5$ comme nombre de départ de ce programme de calcul, on obtient les nombres $5 - 2 = 3$ et $5 + 1 = 6$,

puis leur produit $6\times 3 = 18$ comme résultat final.

• Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est $-\frac{3}{2}$

En choisissant $-\frac{3}{2}$ comme nombre de départ de ce programme de calcul, on obtient les nombres

$-\frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{7}{2}$ et $-\frac{3}{2} + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2}$,

puis leur produit $\left( -\frac{7}{2} \right) \times \left(-\frac{1}{2} \right) = \frac{7}{4}$ comme résultat final.

• Le script donné en ANNEXE, écrit avec un logiciel de programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus.

Compléter les lignes 3, 4 et 5 du script sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie. Aucune justification n’est attendue.

Partie B
Soit la fonction $𝑔$ définie, pour un nombre $𝑥$ donné, par $𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 – 2$.

• Prouver que (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 𝑥2 − 𝑥 − 2.

En utilisant la formule de double distributivité, on obtient :

$(x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$.

• a. Résoudre l’équation $(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0$.

L’équation $(x - 2)(x + 1) = 0$ est équivalente à $x – 2 = 0$ ou $x + 1 = 0$,

donc à $x = 2$ ou $x = -1$.

Les solutions de l’équation $(x - 2)(x + 1) = 0$ sont $x = 2$ et $x = -1$.

b. En déduire les antécédents de $0$ par la fonction $𝑔$. Aucune justification n’est attendue.

Les antécédents de $0$ par la fonction $g$ sont les valeurs $x$ tels que $g(x) = 0$, c’est-à-dire telles que

$x^2 - x - 2 = 0$, puis $(x - 2)(x + 1) = 0$ d’après la question 1.

D’après la question 2a, les antécédents de $0$ par la fonction $g$ sont $x = 2$ et $x = -1$.

• Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction $𝑔$ ? Aucune justification n’est attendue.

Le seul graphique qui coupe l’axe des abscisses en $x = 2$ et $x = -1$ est le graphique $3$.

C’est donc le graphique $3$ qui correspond à la représentation graphique de la fonction $g$.

• Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne $0$ comme résultat final ?

En observant le programme de calcul, avec $x$ comme nombre de départ, on obtient le résultat $(x - 2)(x + 1) = g(x)$.
Pour que le programme de calcul donne $0$ comme résultat final, il faut donc choisir comme nombre de départ un antécédent de $0$ par $g$, c’est à dire $-1$ ou $2$, d’après la question 2b.

Exercice 4 (16 points)

• Démontrer que le triangle $ABE$ est rectangle.

Le côté le plus long du triangle $ABE$ est $[AB]$.

D’une part, $AB^2 = 5,5^2 = 30,25$.

D’autre part, $AE^2 + EB^2 = 4,4^2 + 3,3^2 = 19,36 + 10,89 = 30,25$.

On a donc : $AB^2 = AE^2 + EB^2$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $E$.

• Calculer la mesure de l’angle $ABE$, arrondie au degré.

Dans le triangle $ABE$ rectangle en $E$, on a :

$\cos(\widehat{{ABE}}) = \frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{AB}} = \frac{3,3}{5,5} = 0,6$.

À la calculatrice, $\widehat{{ABE}} = \cos^{-1} (0,6) \approx 53^{\circ}$, au degré près.

La mesure de l’angle $\widehat{{ABE}}$ est donc d’environ $53^{\circ}$.

• Calculer la longueur $FD$.

Les points $E$, $A$ et $F$, d’une part, et les points $E$, $B$ et $D$ d’autre part, sont alignés dans cet ordre.
Les droites $(FD)$ et $(AB)$ sont parallèles donc, d’après le théorème de Thalès :

$\frac{EB}{ED} = \frac{EA}{EF} = \frac{AB}{FD}$, puis

$\frac{EB}{EB + BD} = \frac{AB}{FD}$, et

$\frac{3,3}{3,3+6,6} = \frac{5,5}{FD}$ avec les valeurs numériques connues

$3,3\times FD = 5,5\times 9,9 = 54,45$ avec un produit en croix

$FD = \frac{54,45}{3,3} = 16,5$.

La longueur $FD$ est de $16,5\ \rm cm$.

• Une homothétie de centre $E$ transforme le triangle $EAB$ en le triangle $EFD$.

Quel est le rapport de cette homothétie ? Aucune justification n’est attendue.

L’homothétie de centre $E$ qui transforme le triangle $EAB$ en le triangle $EFD$, transforme le côté $[EB]$ en le côté $[ED]$ (où les points $E$, $B$ et $D$ sont alignés dans cet ordre) :

elle a donc pour rapport (positif) $\frac{ED}{EB} = \frac{EB + BD}{EB} = \frac{3,3 + 6,6}{3,3} = \frac{9,9}{3,3} = 3$.

Exercice 5

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Léo veut fabriquer un chapeau en forme de cône pour se déguiser en sorcier lors de la fête d’Halloween.
Voici la représentation de ce chapeau en perspective cavalière.
Le rayon $OM$ de la base de ce cône mesure $9\ \rm cm$ et la hauteur $OS$ mesure $30\ \rm cm$.

• Démontrer que la longueur $MS$, arrondie au dixième de centimètre, est $31,3\ \rm cm$.

Dans le triangle $MOS$ rectangle en $O$, d’après le théorème de Pythagore, on a :

$MS^2 = OM^2 + OS^2 = 9^2 + 30^2 = 81 + 900 = 981$.

On a donc $MS = \sqrt{981} \approx 31,3\ \rm cm$, au dixième de centimètre près.

• Léo souhaite vérifier que le chapeau sera adapté à son tour de tête qui mesure $56\ \rm cm$. Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau sont-elles adaptées au tour de tête de Léo ?

Il s’agit de comparer le périmètre du cercle de centre $O$ et de rayon $[OM]$ à $56\ \rm cm$.

Le périmètre de ce cercle de rayon $OM = 9\ \rm cm$ est $2\pi \times 9 \approx 56,5\ \rm cm$, au dixième près.

Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau sont donc adaptées au tour de tête de Léo, car $56,5\ \rm cm$ est légèrement supérieur à $56\ \rm cm$.

a. Démontrer que la longueur du cercle de centre $S$ et de rayon $SM$, arrondie au dixième de centimètre, est égale à $196,7\ \rm cm$.

Pour dessiner en grandeur réelle son chapeau, il a besoin de calculer la mesure de l’angle $\widehat{M’SM}$ qui est proportionnelle à la longueur de l’arc de cercle $\widehat{M’M}$.
Il décide de représenter cette situation par le tableau de proportionnalité donné en ANNEXE.

Le périmètre du cercle de centre $S$ et de rayon $SM \approx 31,3\ \rm cm$ est approximativement $2\pi \times 31,3 \approx 196,7\ \rm cm$, au dixième près.

b. Placer la valeur $196,7$ obtenue à la question précédente dans le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.

c. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{M’SM}$ correspondant à une longueur d’arc de $56,5\ \rm cm$ qui permettra à Léo de tracer le patron de son chapeau. Donner le résultat arrondi au degré.

À l’aide d’un produit en croix, on détermine la mesure de l’angle $\widehat{MSM’}$ du patron du chapeau :

$\frac{360\times 56,5}{196,7} \approx 103^{\circ}$, au degré près.

Partie B