Sujet brevet corrigé - Mathématiques 2023

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Astuce

De manière générale, il faut gérer son temps proportionnellement au barème.

• Chaque exercice vaut $20$ points sur $100$, il doit représenter environ $20/100$ du temps, soit $20/100 \times 2\ \text{h} = 24\ \text{min}$.

Il faut également penser à rédiger une phrase reprenant la question pour présenter le résultat.

Exercice 1 (20 points)

1. L’étendue est égale à la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. $$\text{Prix}_{\text{max}}-\text{Prix}_{\text{min}} = 160 – 75 = 85$$ L’étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est donc de 85 euros.

2. a. Pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022, il faut saisir dans la cellule G2 = B2 + C2 + D2 + E2 + F2 ou bien = somme(B2 : F2) .

b. $1\,200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3\,575$
$3\,575$ paires de lunettes de soleil ont donc été vendues en 2022.

3. a. Il faut multiplier le nombre de paires de lunettes vendues pour chaque modèle par leur prix à l’unité, et additionner le tout.
$$1200\times 75 + 950\times 100+875\times 110+250\times 140+300\times 160=364\,250$$ Les ventes de paires de lunettes de soleil en 2022 représentent donc un montant total de $364\,250$ euros.

b. On trouve le prix moyen en divisant le prix total par le nombre total de paires vendues. $$\dfrac{364\,250}{3\,575} \approx 101,89$$ Le prix moyen d’une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est donc de $101,89$ euros.

Exercice 2 (20 points)

1. L’aire d’un rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur. $$\mathcal A = BC\times EB = 4,2\times 7 = 29,4$$ L’aire du rectangle $BCDE$ est bien égale à $29,4\ \text{cm}^2$.

2. a. Le triangle $ABE$ est rectangle en $A$. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore, et on a : $$EB^2 = AB^2+AE^2$$ D’où, $$\begin{aligned} AE^2&=EB^2-AB^2 \\ AE &= \sqrt{EB^2-AB^2} \end{aligned}$$ Soit $$\begin{aligned} AE&=\sqrt{7^2-4,2^2}\\ AE &= \sqrt{31,36}\\ AE &= 5,6 \end{aligned}$$

La longueur $AE$ est donc bien égale à $5,6\ \text{cm}$.

b. L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit de la base par la hauteur divisé par deux. $$\mathcal A = \dfrac{AB\times AE}{2} = \dfrac{4,2\times 5,6}{2} = 11,76$$ L’aire du triangle rectangle $ABE$ est donc de $11,76\ \text{cm}^2$.

3. a. D’après l’énoncé du sujet, la droite $(AH)$ et la droite $(CD)$ sont perpendiculaires par construction.
De plus, $BCDE$ est un rectangle, donc $\widehat{CDE}$ est un angle droit, et les droites $(CD)$ et $(ED)$ sont donc perpendiculaires.
Or, deux droites perpendiculaires à une troisième même droite sont parallèles l’une à l’autre.
Donc d’après cette propriété, les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont bien parallèles.

b. Dans le triangle $AFH$, on a $E$ qui appartient à $(AF)$ et $D$ qui appartient à $(HF)$. Les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont parallèles d’après la question précédente.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès, qui dit que l’on a : $$\dfrac{ED}{AH}=\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{DF}{HF}$$

Astuce

On souhaite calculer la longueur $AH$, et on connaît :

• la valeur de $EF$
• la valeur de $ED=BC$, car $BCDE$ est un rectangle
• et on peut calculer celle de $AF$ en utilisant $AF=AE+EF$.

On va donc utiliser l’égalité entre les deux premières fractions.

$$\begin{aligned} \dfrac{ED}{AH}&=\dfrac{EF}{AF} \\ AH &= \dfrac{ED\times AF}{EF}\end{aligned}$$ En remplaçant comme indiqué dans l’astuce ci-dessus, on obtient : $$\begin{aligned} AH &= \dfrac{BC\times (AE + EF)}{EF}\\ AH &= \dfrac{4,2 \times (5,6 + 7)}{7}\\ AH &= 7,56 \end{aligned}$$

La longueur $AH$ est donc de $7,56\ \text{cm}$.

Exercice 3 (20 points)

Attention

Comme indiqué dans le sujet, pas besoin de justifier sur votre copie avec les explications présentes dans ce corrigé.

1. Réponse B

On calcule $60\,\%$ de $25$ : $$\dfrac{60}{100}\times 25 = 15$$

2. Réponse C

Astuce

Pour décomposer en produit de facteurs premiers, on utilise les critères de divisibilité et on teste les nombres premiers par ordre croissant, jusqu’à n’avoir plus qu’$1$ comme reste.

$\left. \begin{aligned} 126& \\ 63& \\ 21& \\ 7& \\ 1 \end{aligned} \right| \begin{aligned} 2& \\ 3& \\ 3& \\ 7& \\ & \end{aligned} $

• Donc $126=2\times 3\times 3\times 7 = 2\times 3^2\times 7$.

3. Réponse A

Il y a un total de $17+23+20 = 60$ jetons de couleur dans le sac. On veut obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune, ce qui correspond à $17+23=40$ tirages possibles.
La probabilité est donc : $$\dfrac{40}{60}=\dfrac 23$$

4. Réponse B

La rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $D$ ne change pas la forme de la figure, et « décale » les sommets de trois crans dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (ou de cinq crans dans le sens des aiguilles d’une montre).
L’image de $D$ par cette rotation est donc $G$, et l’image de $C$ est $F$. L’image d’un segment par une rotation étant bien un segment, l’image de $[DC]$ est $[GF]$.

5. Réponse B

Le volume d’un pavé est le produit de sa hauteur par sa longueur et sa largeur. $$\begin{aligned} \mathcal V &= 1,5\times 2\times 1,3 \\ &= 3,9\ \text{m}^3\\ &= 3\,900\ \text{L} \end{aligned}$$

Exercice 4 (20 points)

1. a. La hauteur d’une marche est de $17\ \text{cm}$. La hauteur totale de l’escalier est de $272\ \text{cm}$. On cherche le nombre de marches nécessaires pour arriver à la hauteur totale : $$\dfrac{272}{17}=16$$ Il faut donc bien prévoir $16$ marches pour construire cet escalier.

b. Il y aura $16$ marches dans l’escalier, et chaque marche a une profondeur de $27\ \text{cm}$ d’après l’énoncé. La longueur $AB$ correspond à la profondeur totale de l’escalier, donc : $$AB = 16\times 27 = 432$$ La longueur $AB$ est donc bien égale à $432\ \text{cm}$.

2. a. On se place dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$. On connaît $AB$ la longueur de l’escalier, qui correspond au côté adjacent à l’angle $\widehat{BAC}$, et $BC$ la hauteur de l’escalier, qui correspond au côté opposé à cet angle.

Rappel

Pour les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, on peut retenir le mot imaginaire « SOHCAHTOA » (ce sont les initiales de ce qui suit) : $$\text {sin}=\dfrac{\text {opposé}}{\text {hypoténuse}}$$ $$\text {cos}= \dfrac{\text {adjacent}}{\text {hypoténuse}}$$ $$\text {tan}=\dfrac{\text {opposé}}{\text {adjacent}}$$

On peut donc calculer la tangente de l’angle $\widehat{BAC}$ : $$\tan \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB}$$ D’où $$\begin{aligned} \widehat{BAC} &= \arctan \dfrac{BC}{AB}\\ &=\arctan \dfrac{272}{432}\\ &\approx 32\,\degree \end{aligned}$$

La mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ est donc $32\,\degree$, arrondie au degré près.

b. Pour permettre une montée agréable, l’angle $\widehat{BAC}$ doit être compris entre $25\,\degree$ et $40\,\degree$. C’est le cas, il mesure $32\,\degree$, donc l’escalier permet une montée agréable.

3.

Astuce

Le dessin des marches de l’escalier consiste en des segments qui sont de la hauteur et de la profondeur d’une marche. Ils sont orientés verticalement et horizontalement : il y a donc des angles droits, de $90\,\degree$ entre deux segments.

Exercice 5 (20 points)

1. a. Si on applique chaque étape du programme A avec $-3$ comme nombre de départ, on a :

• $-3\times (-2) = 6$
• $6+5 = 11$

Le résultat obtenu par le programme A avec $-3$ comme nombre de départ est bien $11$.

b. Si on applique chaque étape du programme B avec $5,5$ comme nombre de départ, on a :

• $5,5-5=0,5$
• $0,5\times 3 = 1,5$
• $1,5+11=12,5$

Le résultat obtenu par le programme B avec $5,5$ comme nombre de départ est $12,5$.

2. En appliquant chaque étape du programme B à $x$, on a :

• $x - 5$
• $(x-5)\times 3$
• $\big( (x-5)\times 3 \big)+11$

Ce qui donne en simplifiant : $$\big( (x-5)\times 3 \big)+11=(3x-15)+11=3x-4$$

Le résultat du programme B est bien égal à $3x-4$.

3. a. Il y a plusieurs solutions pour identifier les droites associées aux fonctions.

Rappel

Dans l’équation d’une fonction affine $f(x)=ax+b$,

• $a$ est le coefficient directeur, c’est lui qui détermine la pente de la droite ;
• $b$ est l’ordonnée à l’origine, elle indique l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées, et c’est également la valeur de $f(0)$.

• En regardant les coefficients directeurs
  Le coefficient directeur de $f$ est $-2$, il est négatif, donc quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ diminue de $2$, la courbe « descend ».
  Le coefficient directeur de $g$ est $3$, donc quand $x$ augmente de $1$, $g(x)$ augmente de $3$, la courbe « monte » (et plus vite que la courbe de $f$ ne descend).

• En regardant les ordonnées à l’origine
  Les droites des deux fonctions doivent donc croiser l’axe des ordonnées à ces ordonnées respectives : $5$ pour $f$ et $-4$ pour $g$.

Les deux méthodes amènent au même résultat :

• La droite $(D_1)$ correspond donc à la fonction $g$ et la droite $(D_2)$ à la fonction $f$.

b. On cherche un $x$, tel que son image est la même par la fonction $f$ et par la fonction $g$, c’est-à-dire tel que : $f(x)=g(x)$.
Il faut donc chercher un point d’intersection des deux droites représentatives $(D_1)$ et $(D_2)$, et le nombre recherché sera l’abscisse de ce point d’intersection.

Le nombre dont l’image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$ est donc $1,8$ par lecture graphique.

4. Pour trouver par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat, il faut résoudre l’équation : $$\begin{aligned} -2x+5 &= 3x-4 \\ 9&=5x\\ x&=\dfrac 95\\ x&=1,8 \end{aligned}$$

On retrouve bien $1,8$ par le calcul, comme par lecture graphique à la question précédente.