Cours : Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

• Un nombre entier est un nombre rationnel.

Par exemple, $2$, $-3$, $21$ sont des nombres rationnels, car nous pouvons les écrire sous la forme de fractions :

$\begin{aligned} 2&=\dfrac 21 \\ -3&=\dfrac {-3}1 \\ 21&=\dfrac {21}1 \end{aligned}$

• Un nombre décimal est un nombre rationnel.

Par exemple, $2,727$ est un nombre rationnel, car il peut s’écrire sous la forme d’une fraction :

$2,727=\dfrac{2\,727}{1\,000}$

• Le quotient de deux nombres décimaux est un rationnel.

En effet, $- \frac {3,51}{12,2}$ n’est pas écrit sous la forme d’une fraction, mais avec une écriture fractionnaire. Nous pouvons toutefois retrouver la forme d’une fraction :

$- \dfrac {3,51}{12,2}=- \dfrac {351}{1\,220}$

• Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.

Ainsi, $\frac 13$ ou $-\frac 27$ sont bien sous la forme de fractions, et sont donc des nombres rationnels, mais leurs parties décimales ont une infinité de chiffres :

$\begin{aligned} \dfrac 13&= 0,333333… \\ -\dfrac 27&=-0,285714… \end{aligned}$

$\dfrac{-6}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{-6+2}{5}=\dfrac{-4}{5}$

$\dfrac23+\dfrac{-7}{3}=\dfrac{2+(-7)}{3}=\dfrac{-5}{3}$

$\dfrac{-7}{9}-\dfrac{-11}{9}=\dfrac{-7-(-11)}{9}=\dfrac{-7+11}{9}=\dfrac49$

• Calculons :

$\dfrac{-5}{14}+\dfrac37$

$14$ est un multiple de $7$, car $14=7\times2$.

• Le dénominateur commun est donc $14$.

$\begin{aligned} \dfrac{-5}{14}+\dfrac37&=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{3\times2}{7\times2}\\ &=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{6}{14}\\ &=\dfrac{-5+6}{14}\\ &=\dfrac{1}{14} \end{aligned}$

$-2+\dfrac45$

Utilisons le fait que : $-2=\dfrac{-2}{1}$

$5$ est multiple de $1$, car $5=1\times5$.

• Le dénominateur commun est $5$.

$\begin{aligned} -2+\dfrac{4}{5}&=\dfrac{-2}{1}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-2\times 5}{1\times 5}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10}{5}+\frac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10+4}{5}\\ &=\dfrac{-6}{5} \\ &=-\dfrac 65 \end{aligned}$

• Calculons :

$\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}$

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres $12$ et $9$.

• On remarque que $12\times3=36$ et $9\times 4=36$.

$\begin{aligned} \dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}&=\dfrac{7\times 3}{12\times 3}-\dfrac{-2\times 4}{9\times 4}\\ &=\dfrac{21}{36}-\dfrac{-8}{36}\\ &=\dfrac{21-(-8)}{36}\\ &=\dfrac{21+8}{36}\\ &=\dfrac{29}{36} \end{aligned}$

$\dfrac95-\dfrac37$

Le plus petit multiple (non nul) commun aux nombres $5$ et $7$ est $35$ : $5\times 7=35$.

$\begin{aligned} \dfrac95-\dfrac37&=\dfrac{9\times7}{5\times7}-\dfrac{3\times5}{7\times5}\\ &=\dfrac{63}{35}-\dfrac{15}{35}\\ &=\dfrac{63-15}{35}\\ &=\dfrac{48}{35} \end{aligned}$

• Calculons :

$\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}$

On mulitiple les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$\begin{aligned} \dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}&=\dfrac{\blue{5\times (-2)}}{\red{3\times 7}}\\ &=\dfrac{\blue{-10}}{\red{21}} \end{aligned}$

$\dfrac{15}{-56}\times \dfrac{-7}{10}$

On remarque qu’il est utile de simplifier les calculs avant des les effectuer en décomposant certains facteurs.

On décompose :

$\begin{aligned}\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}&=\dfrac{15\times(-7)}{(-56)\times10}\\ &=\dfrac{-(5\times3)\times7}{-(7\times8)\times(5\times2)}\\ &=\dfrac{\orange{5}\times3\times\green{7}}{\green{7}\times8\times\orange{5}\times2}\end{aligned}$

Simplifions maintenant les calculs par $\orange5$ et $\green7$ :

$\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}=\dfrac{3}{8\times2}=\dfrac{3}{16}$

$-3\times\dfrac{-4}{11}$

On sait que :

$-3=\dfrac{-3}{1}$

Donc :

$\begin{aligned} -3\times\dfrac{-4}{11}&=\dfrac{-3\times(-4)}{1\times 11} \\ &=\dfrac{12}{11} \end{aligned}$

$2\times 0,5=1$

• $2$ et $0,5$ sont donc des nombres inverses.

$100\times 0,01=1$

• $100$ et $0,01$ sont donc des nombres inverses.

$-5\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)=1$

• $-5$ et $-\frac{1}{5}$ sont donc des nombres inverses.

$-7\div(-6)=-7\times\dfrac{1}{-6}=\dfrac{-7}{-6}=\dfrac76$

$5 \div\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{5}{1}\times\dfrac{4}{-3}=\dfrac{5\times4}{1\times (-3)}=\dfrac{20}{-3}=-\dfrac{20}{3}$

$\dfrac47\div (-8)=\dfrac47\times\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{4\times1}{7\times(4\times2)}=-\dfrac{\green{4}\times1}{7\times \green{4}\times 2}=-\dfrac{1}{7\times 2}=-\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{-7}{2}÷\dfrac59=\dfrac{-7}{2}\times\dfrac95=\dfrac{-7\times9}{2\times5}=\dfrac{-63}{10}=-\dfrac{63}{10}$