Cours : Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

Introduction :

Nous allons commencer par faire quelques rappels sur la division et les nombres rationnels. Puis nous nous intéresserons successivement à l’addition et la soustraction de deux fractions, à leur multiplication et enfin à leur division.

Rappels

Quotient, division et écriture fractionnaire

Définition

Quotient :

$a$ et $b$ sont deux nombres (avec $b\neq 0$).
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
Ce quotient se note $a\div b$ (division) ou $\dfrac{a}{b}$ (écriture fractionnaire).

Dans $a\div b$, $a$ s’appelle le dividende et $b$ s’appelle le diviseur.

Dans $\dfrac{a}{b}$, $a$ s’appelle le numérateur et $b$ s’appelle le dénominateur.

Fractions et nombres rationnels

Définition

Fraction :

Une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers s’appelle une fraction.

Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers, c’est-à-dire sous la forme d’une fraction.

Exemple

Un nombre entier est un nombre rationnel.

Par exemple, $2$, $-3$, $21$ sont des nombres rationnels, car nous pouvons les écrire sous la forme de fractions :

$$\begin{aligned} 2&=\dfrac 21 \\ -3&=\dfrac {-3}1 \\ 21&=\dfrac {21}1 \end{aligned}$$

Un nombre décimal est un nombre rationnel.

Par exemple, $2,727$ est un nombre rationnel, car il peut s’écrire sous la forme d’une fraction :

$$2,727=\dfrac{2\,727}{1\,000}$$

Le quotient de deux nombres décimaux est un rationnel.

En effet, $- \frac {3,51}{12,2}$ n’est pas écrit sous la forme d’une fraction, mais avec une écriture fractionnaire. Nous pouvons toutefois retrouver la forme d’une fraction :

$$- \dfrac {3,51}{12,2}=- \dfrac {351}{1\,220}$$

Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.

Ainsi, $\frac 13$ ou $-\frac 27$ sont bien sous la forme de fractions, et sont donc des nombres rationnels, mais leurs parties décimales ont une infinité de chiffres :

$$\begin{aligned} \dfrac 13&= 0,333333… \\ -\dfrac 27&=-0,285714… \end{aligned}$$

Addition et soustraction de deux fractions

Lorsque les dénominateurs sont les mêmes

À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions de même dénominateur :

on additionne (ou on soustrait) les numérateurs ;
on garde le dénominateur commun.

Si $a$, $b$ et $c$ désignent des entiers relatifs avec $ c\neq0$, alors :

$$\begin{aligned} \dfrac{ a}{ c}+\dfrac{ b}{ c}=\dfrac{ a+ b}{ c} \\ \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{ a- b}{ c} \end{aligned}$$

Exemple

$\dfrac{-6}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{-6+2}{5}=\dfrac{-4}{5}$

$\dfrac23+\dfrac{-7}{3}=\dfrac{2+(-7)}{3}=\dfrac{-5}{3}$

$\dfrac{-7}{9}-\dfrac{-11}{9}=\dfrac{-7-(-11)}{9}=\dfrac{-7+11}{9}=\dfrac49$

Astuce

De manière générale, lorsque c’est possible, il est préférable de donner le résultat d’une opération entre fractions sous sa forme la plus simplifiée.
Par exemple :

$$\begin{aligned} \dfrac 18+\dfrac 58 &=\dfrac {1+5}8 \\ &=\dfrac 68 \\ &=\dfrac {6\div 2}{8\div 2} \\ &=\dfrac 34 \end{aligned}$$

$\frac 68$ est un résultat juste, mais on préférera nettement la réponse $\frac 34$.

Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre

À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions lorsque le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre :

on écrit les deux nombres avec le même dénominateur ;
on applique la règle d’addition et de soustraction.

On dit que l’on réduit au même dénominateur les deux fractions.

Exemple

Calculons :

$$\dfrac{-5}{14}+\dfrac37$$

$14$ est un multiple de $7$, car $14=7\times2$.

Le dénominateur commun est donc $14$.

$$\begin{aligned} \dfrac{-5}{14}+\dfrac37&=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{3\times2}{7\times2}\\ &=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{6}{14}\\ &=\dfrac{-5+6}{14}\\ &=\dfrac{1}{14} \end{aligned}$$

Calculons :

$$-2+\dfrac45$$

Utilisons le fait que : $$-2=\dfrac{-2}{1}$$

$5$ est multiple de $1$, car $5=1\times5$.

Le dénominateur commun est $5$.

$$\begin{aligned} -2+\dfrac{4}{5}&=\dfrac{-2}{1}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-2\times 5}{1\times 5}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10}{5}+\frac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10+4}{5}\\ &=\dfrac{-6}{5} \\ &=-\dfrac 65 \end{aligned}$$

Recherche d’un multiple commun à deux dénominateurs différents

Exemple

Calculons :

$$\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}$$

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres $12$ et $9$.

On remarque que $12\times3=36$ et $9\times 4=36$.

$$\begin{aligned} \dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}&=\dfrac{7\times 3}{12\times 3}-\dfrac{-2\times 4}{9\times 4}\\ &=\dfrac{21}{36}-\dfrac{-8}{36}\\ &=\dfrac{21-(-8)}{36}\\ &=\dfrac{21+8}{36}\\ &=\dfrac{29}{36} \end{aligned}$$

Calculons :

$$\dfrac95-\dfrac37$$

Le plus petit multiple (non nul) commun aux nombres $5$ et $7$ est $35$ : $5\times 7=35$.

$$\begin{aligned} \dfrac95-\dfrac37&=\dfrac{9\times7}{5\times7}-\dfrac{3\times5}{7\times5}\\ &=\dfrac{63}{35}-\dfrac{15}{35}\\ &=\dfrac{63-15}{35}\\ &=\dfrac{48}{35} \end{aligned}$$

Astuce

Il est parfois utile de simplifier les fractions à additionner (ou à soustraire) avant de faire l’opération, surtout si on souhaite donner le résultat sous sa forme la plus simplifiée.
Par exemple, on cherche le résultat le plus simplifié possible de l’addition :

$$\dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18}$$

En remarquant que $12\times 3=36$ et que $18\times 2=36$, nous pouvons opérer ainsi :

$$\begin{aligned} \dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18} &= \dfrac {4\times 3}{12\times 3}+\dfrac {24\times 2}{18\times 2} \\ &=\dfrac {12}{36} + \dfrac {48}{36} \\ &=\dfrac {12+48}{36} \\ &=\dfrac {60}{36} \\ &=\dfrac {60\div 12}{36\div 12} \\ &=\dfrac 53 \end{aligned}$$

Mais, en simplifiant les fractions, nous avons :

$$\begin{aligned} \dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18} &= \dfrac{4\div 4}{12\div 4}+\dfrac {24\div 6}{18\div 6} \\ &=\dfrac 13 + \dfrac 43 \\ &=\dfrac {1+4}3 \\ &= \dfrac 53 \end{aligned}$$

Nous arrivons bien sûr au même résultat, mais de manière plus directe avec la deuxième méthode, et en manipulant des nombres plus petits.

Multiplication de deux fractions

À retenir

Pour multiplier deux fractions :

on multiplie les numérateurs entre eux ;
on multiplie les dénominateurs entre eux.

Autrement dit, si $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des entiers relatifs, avec $ b\neq0$ et $ d\neq0$, alors :

$$\dfrac{ a}{ b}\times\dfrac{ c}{\ d}=\dfrac{ a\times c}{ b\times d}$$

Exemple

Calculons :

$$\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}$$

On mulitiple les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$$\begin{aligned} \dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}&=\dfrac{\blue{5\times (-2)}}{\red{3\times 7}}\\ &=\dfrac{\blue{-10}}{\red{21}} \end{aligned}$$

Calculons :

$$\dfrac{15}{-56}\times \dfrac{-7}{10}$$

On remarque qu’il est utile de simplifier les calculs avant des les effectuer en décomposant certains facteurs.

On décompose :

$$\begin{aligned}\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}&=\dfrac{15\times(-7)}{(-56)\times10}\\ &=\dfrac{-(5\times3)\times7}{-(7\times8)\times(5\times2)}\\ &=\dfrac{\orange{5}\times3\times\green{7}}{\green{7}\times8\times\orange{5}\times2}\end{aligned}$$

Simplifions maintenant les calculs par $\orange5$ et $\green7$ :

$$\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}=\dfrac{3}{8\times2}=\dfrac{3}{16}$$

Cas particulier :

$$-3\times\dfrac{-4}{11}$$

On sait que :

$$-3=\dfrac{-3}{1}$$

Donc :

$$\begin{aligned} -3\times\dfrac{-4}{11}&=\dfrac{-3\times(-4)}{1\times 11} \\ &=\dfrac{12}{11} \end{aligned}$$

Division d’une fraction par une fraction (non nulle)

Inverse d’un nombre relatif (non nul)

Définition

Nombres inverses :

Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à $1$.

Astuce

$0$ n’a pas d’inverse.
Deux nombres inverses ont le même signe.

Exemple

$2\times 0,5=1$

$2$ et $0,5$ sont donc des nombres inverses.

$100\times 0,01=1$

$100$ et $0,01$ sont donc des nombres inverses.

$-5\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)=1$

$-5$ et $-\frac{1}{5}$ sont donc des nombres inverses.

Attention

Il ne faut pas confondre nombres opposés et nombres inverses.

Propriété

Inverse d’un nombre relatif non nul :

L’inverse du nombre relatif non nul $a$ est :

$$\dfrac{1}{a}$$

$a$ et $b$ étant deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de $\frac{a}{ b}$ est :

$$\dfrac{b}{ a}$$

Division

À retenir

Quotient de deux nombres relatifs :

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Soit $a$ et $b$ deux nombres relatifs, avec $b$ non nul. Nous avons :

$$\dfrac ab=a\div b=a\times \dfrac 1b$$

À retenir

Division de fractions :

Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers relatifs, avec $b$, $c$ et $d$ non nuls. Nous avons :

$$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{ a}{ b}\div \dfrac{c}{ d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$$

Exemple

$-7\div(-6)=-7\times\dfrac{1}{-6}=\dfrac{-7}{-6}=\dfrac76$

$5 \div\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{5}{1}\times\dfrac{4}{-3}=\dfrac{5\times4}{1\times (-3)}=\dfrac{20}{-3}=-\dfrac{20}{3}$

$\dfrac47\div (-8)=\dfrac47\times\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{4\times1}{7\times(4\times2)}=-\dfrac{\green{4}\times1}{7\times \green{4}\times 2}=-\dfrac{1}{7\times 2}=-\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{-7}{2}÷\dfrac59=\dfrac{-7}{2}\times\dfrac95=\dfrac{-7\times9}{2\times5}=\dfrac{-63}{10}=-\dfrac{63}{10}$

Astuce

Les règles de calcul (priorités et parenthèses) s’appliquent également pour les fractions.

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