Additionner, soustraire, multiplier... les nombres rationnels : 4e

Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

Introduction :

Nous allons commencer par faire quelques rappels sur la division et les nombres rationnels. Puis nous nous intéresserons successivement à l’addition et la soustraction de deux fractions, à leur multiplication et enfin à leur division.

Rappels

Quotient, division et écriture fractionnaire

Définition

Quotient :

$a$ et $b$ sont deux nombres (avec $b\neq 0$).
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
Ce quotient se note $a\div b$ (division) ou $\dfrac{a}{b}$ (écriture fractionnaire).

Dans $a\div b$, $a$ s’appelle le dividende et $b$ s’appelle le diviseur.

Dans $\dfrac{a}{b}$, $a$ s’appelle le numérateur et $b$ s’appelle le dénominateur.

Fractions et nombres rationnels

Définition

Fraction :

Une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers s’appelle une fraction.

Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers, c’est-à-dire sous la forme d’une fraction.

Exemple

Un nombre entier est un nombre rationnel.

Par exemple, $2$, $-3$, $21$ sont des nombres rationnels, car nous pouvons les écrire sous la forme de fractions :

$$\begin{aligned} 2&=\dfrac 21 \\ -3&=\dfrac {-3}1 \\ 21&=\dfrac {21}1 \end{aligned}$$

Un nombre décimal est un nombre rationnel.

Par exemple, $2,727$ est un nombre rationnel, car il peut s’écrire sous la forme d’une fraction :

$$2,727=\dfrac{2\,727}{1\,000}$$

Le quotient de deux nombres décimaux est un rationnel.

En effet, $- \frac {3,51}{12,2}$ n’est pas écrit sous la forme d’une fraction, mais avec une écriture fractionnaire. Nous pouvons toutefois retrouver la forme d’une fraction :

$$- \dfrac {3,51}{12,2}=- \dfrac {351}{1\,220}$$

Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.

Ainsi, $\frac 13$ ou $-\frac 27$ sont bien sous la forme de fractions, et sont donc des nombres rationnels, mais leurs parties décimales ont une infinité de chiffres :

$$\begin{aligned} \dfrac 13&= 0,333333… \\ -\dfrac 27&=-0,285714… \end{aligned}$$

Addition et soustraction de deux fractions

Lorsque les dénominateurs sont les mêmes

À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions de même dénominateur :

on additionne (ou on soustrait) les numérateurs ;
on garde le dénominateur commun.

Si $a$, $b$ et $c$ désignent des entiers relatifs avec $ c\neq0$, alors :

$$\begin{aligned} \dfrac{ a}{ c}+\dfrac{ b}{ c}=\dfrac{ a+ b}{ c} \\ \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{ a- b}{ c} \end{aligned}$$

Exemple

$\dfrac{-6}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{-6+2}{5}=\dfrac{-4}{5}$

$\dfrac23+\dfrac{-7}{3}=\dfrac{2+(-7)}{3}=\dfrac{-5}{3}$

$\dfrac{-7}{9}-\dfrac{-11}{9}=\dfrac{-7-(-11)}{9}=\dfrac{-7+11}{9}=\dfrac49$

Astuce

De manière générale, lorsque c’est possible, il est préférable de donner le résultat d’une opération entre fractions sous sa forme la plus simplifiée.
Par exemple :

$$\begin{aligned} \dfrac 18+\dfrac 58 &=\dfrac {1+5}8 \\ &=\dfrac 68 \\ &=\dfrac {6\div 2}{8\div 2} \\ &=\dfrac 34 \end{aligned}$$

$\frac 68$ est un résultat juste, mais on préférera nettement la réponse $\frac 34$.

Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre

À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions lorsque le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre :

on écrit les deux nombres avec le même dénominateur ;
on applique la règle d’addition et de soustraction.

On dit que l’on réduit au même dénominateur les deux fractions.

Exemple

Calculons :

$$\dfrac{-5}{14}+\dfrac37$$

$14$ est un multiple de $7$, car $14=7\times2$.

Le dénominateur commun est donc $14$.

$$\begin{aligned} \dfrac{-5}{14}+\dfrac37&=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{3\times2}{7\times2}\\ &=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{6}{14}\\ &=\dfrac{-5+6}{14}\\ &=\dfrac{1}{14} \end{aligned}$$

Calculons :

$$-2+\dfrac45$$

Utilisons le fait que : $$-2=\dfrac{-2}{1}$$

$5$ est multiple de $1$, car $5=1\times5$.

Le dénominateur commun est $5$.

$$\begin{aligned} -2+\dfrac{4}{5}&=\dfrac{-2}{1}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-2\times 5}{1\times 5}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10}{5}+\frac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10+4}{5}\\ &=\dfrac{-6}{5} \\ &=-\dfrac 65 \end{aligned}$$

Recherche d’un multiple commun à deux dénominateurs différents

Exemple

Calculons :

$$\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}$$

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres $12$ et $9$.

On remarque que $12\times3=36$ et $9\times 4=36$.

$$\begin{aligned} \dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}&=\dfrac{7\times 3}{12\times 3}-\dfrac{-2\times 4}{9\times 4}\\ &=\dfrac{21}{36}-\dfrac{-8}{36}\\ &=\dfrac{21-(-8)}{36}\\ &=\dfrac{21+8}{36}\\ &=\dfrac{29}{36} \end{aligned}$$

Calculons :

$$\dfrac95-\dfrac37$$

Le plus petit multiple (non nul) commun aux nombres $5$ et $7$ est $35$ : $5\times 7=35$.

$$\begin{aligned} \dfrac95-\dfrac37&=\dfrac{9\times7}{5\times7}-\dfrac{3\times5}{7\times5}\\ &=\dfrac{63}{35}-\dfrac{15}{35}\\ &=\dfrac{63-15}{35}\\ &=\dfrac{48}{35} \end{aligned}$$

Astuce

Il est parfois utile de simplifier les fractions à additionner (ou à soustraire) avant de faire l’opération, surtout si on souhaite donner le résultat sous sa forme la plus simplifiée.
Par exemple, on cherche le résultat le plus simplifié possible de l’addition :

$$\dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18}$$

En remarquant que $12\times 3=36$ et que $18\times 2=36$, nous pouvons opérer ainsi :

$$\begin{aligned} \dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18} &= \dfrac {4\times 3}{12\times 3}+\dfrac {24\times 2}{18\times 2} \\ &=\dfrac {12}{36} + \dfrac {48}{36} \\ &=\dfrac {12+48}{36} \\ &=\dfrac {60}{36} \\ &=\dfrac {60\div 12}{36\div 12} \\ &=\dfrac 53 \end{aligned}$$

Mais, en simplifiant les fractions, nous avons :

$$\begin{aligned} \dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18} &= \dfrac{4\div 4}{12\div 4}+\dfrac {24\div 6}{18\div 6} \\ &=\dfrac 13 + \dfrac 43 \\ &=\dfrac {1+4}3 \\ &= \dfrac 53 \end{aligned}$$

Nous arrivons bien sûr au même résultat, mais de manière plus directe avec la deuxième méthode, et en manipulant des nombres plus petits.

Multiplication de deux fractions

À retenir

Pour multiplier deux fractions :

on multiplie les numérateurs entre eux ;
on multiplie les dénominateurs entre eux.

Autrement dit, si $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des entiers relatifs, avec $ b\neq0$ et $ d\neq0$, alors :

$$\dfrac{ a}{ b}\times\dfrac{ c}{\ d}=\dfrac{ a\times c}{ b\times d}$$

Exemple

Calculons :

$$\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}$$

On mulitiple les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$$\begin{aligned} \dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}&=\dfrac{\blue{5\times (-2)}}{\red{3\times 7}}\\ &=\dfrac{\blue{-10}}{\red{21}} \end{aligned}$$

Calculons :

$$\dfrac{15}{-56}\times \dfrac{-7}{10}$$

On remarque qu’il est utile de simplifier les calculs avant des les effectuer en décomposant certains facteurs.

On décompose :

$$\begin{aligned}\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}&=\dfrac{15\times(-7)}{(-56)\times10}\\ &=\dfrac{-(5\times3)\times7}{-(7\times8)\times(5\times2)}\\ &=\dfrac{\orange{5}\times3\times\green{7}}{\green{7}\times8\times\orange{5}\times2}\end{aligned}$$

Simplifions maintenant les calculs par $\orange5$ et $\green7$ :

$$\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}=\dfrac{3}{8\times2}=\dfrac{3}{16}$$

Cas particulier :

$$-3\times\dfrac{-4}{11}$$

On sait que :

$$-3=\dfrac{-3}{1}$$

Donc :

$$\begin{aligned} -3\times\dfrac{-4}{11}&=\dfrac{-3\times(-4)}{1\times 11} \\ &=\dfrac{12}{11} \end{aligned}$$

Division d’une fraction par une fraction (non nulle)

Inverse d’un nombre relatif (non nul)

Définition

Nombres inverses :

Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à $1$.

Astuce

$0$ n’a pas d’inverse.
Deux nombres inverses ont le même signe.

Exemple

$2\times 0,5=1$

$2$ et $0,5$ sont donc des nombres inverses.

$100\times 0,01=1$

$100$ et $0,01$ sont donc des nombres inverses.

$-5\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)=1$

$-5$ et $-\frac{1}{5}$ sont donc des nombres inverses.

Attention

Il ne faut pas confondre nombres opposés et nombres inverses.

Propriété

Inverse d’un nombre relatif non nul :

L’inverse du nombre relatif non nul $a$ est :

$$\dfrac{1}{a}$$

$a$ et $b$ étant deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de $\frac{a}{ b}$ est :

$$\dfrac{b}{ a}$$

Division

À retenir

Quotient de deux nombres relatifs :

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Soit $a$ et $b$ deux nombres relatifs, avec $b$ non nul. Nous avons :

$$\dfrac ab=a\div b=a\times \dfrac 1b$$

À retenir

Division de fractions :

Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers relatifs, avec $b$, $c$ et $d$ non nuls. Nous avons :

$$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{ a}{ b}\div \dfrac{c}{ d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$$

Exemple

$-7\div(-6)=-7\times\dfrac{1}{-6}=\dfrac{-7}{-6}=\dfrac76$

$5 \div\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{5}{1}\times\dfrac{4}{-3}=\dfrac{5\times4}{1\times (-3)}=\dfrac{20}{-3}=-\dfrac{20}{3}$

$\dfrac47\div (-8)=\dfrac47\times\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{4\times1}{7\times(4\times2)}=-\dfrac{\green{4}\times1}{7\times \green{4}\times 2}=-\dfrac{1}{7\times 2}=-\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{-7}{2}÷\dfrac59=\dfrac{-7}{2}\times\dfrac95=\dfrac{-7\times9}{2\times5}=\dfrac{-63}{10}=-\dfrac{63}{10}$

Astuce

Les règles de calcul (priorités et parenthèses) s’appliquent également pour les fractions.

Cours : Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

Rappels

Quotient, division et écriture fractionnaire

Fractions et nombres rationnels

Addition et soustraction de deux fractions

Lorsque les dénominateurs sont les mêmes

Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre

Recherche d’un multiple commun à deux dénominateurs différents

Multiplication de deux fractions

Division d’une fraction par une fraction (non nulle)

Inverse d’un nombre relatif (non nul)

Division