Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

Introduction :

Nous allons commencer par faire quelques rappels sur la division et les nombres rationnels. Puis nous nous intéresserons successivement à l’addition et la soustraction de deux fractions, à leur multiplication et enfin à leur division.

Rappels

Quotient, division et écriture fractionnaire

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Définition

Quotient :

aa et bb sont deux nombres (avec b0b\neq 0).
Le quotient de aa par bb est le nombre qui, multiplié par bb, donne aa.
Ce quotient se note a÷ba\div b (division) ou ab\dfrac{a}{b} (écriture fractionnaire).

Dans a÷ba\div b, aa s’appelle le dividende et bb s’appelle le diviseur.

Dans ab\dfrac{a}{b}, aa s’appelle le numérateur et bb s’appelle le dénominateur.

Fractions et nombres rationnels

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Définition

Fraction :

Une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers s’appelle une fraction.

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Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers, c’est-à-dire sous la forme d’une fraction.

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Exemple

  • Un nombre entier est un nombre rationnel.

Par exemple, 22, 3-3, 2121 sont des nombres rationnels, car nous pouvons les écrire sous la forme de fractions :

2=213=3121=211\begin{aligned} 2&=\dfrac 21 \\ -3&=\dfrac {-3}1 \\ 21&=\dfrac {21}1 \end{aligned}

  • Un nombre décimal est un nombre rationnel.

Par exemple, 2,7272,727 est un nombre rationnel, car il peut s’écrire sous la forme d’une fraction :

2,727=272710002,727=\dfrac{2\,727}{1\,000}

  • Le quotient de deux nombres décimaux est un rationnel.

En effet, 3,5112,2- \frac {3,51}{12,2} n’est pas écrit sous la forme d’une fraction, mais avec une écriture fractionnaire. Nous pouvons toutefois retrouver la forme d’une fraction :

3,5112,2=3511220- \dfrac {3,51}{12,2}=- \dfrac {351}{1\,220}

  • Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.

Ainsi, 13\frac 13 ou 27-\frac 27 sont bien sous la forme de fractions, et sont donc des nombres rationnels, mais leurs parties décimales ont une infinité de chiffres :

13=0,33333327=0,285714\begin{aligned} \dfrac 13&= 0,333333… \\ -\dfrac 27&=-0,285714… \end{aligned}

Addition et soustraction de deux fractions

Lorsque les dénominateurs sont les mêmes

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À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions de même dénominateur :

  • on additionne (ou on soustrait) les numérateurs ;
  • on garde le dénominateur commun.

Si aa, bb et cc désignent des entiers relatifs avec c0 c\neq0, alors :

ac+bc=a+bcacbc=abc\begin{aligned} \dfrac{ a}{ c}+\dfrac{ b}{ c}=\dfrac{ a+ b}{ c} \\ \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{ a- b}{ c} \end{aligned}

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Exemple

65+25=6+25=45\dfrac{-6}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{-6+2}{5}=\dfrac{-4}{5}

23+73=2+(7)3=53\dfrac23+\dfrac{-7}{3}=\dfrac{2+(-7)}{3}=\dfrac{-5}{3}

79119=7(11)9=7+119=49\dfrac{-7}{9}-\dfrac{-11}{9}=\dfrac{-7-(-11)}{9}=\dfrac{-7+11}{9}=\dfrac49

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Astuce

De manière générale, lorsque c’est possible, il est préférable de donner le résultat d’une opération entre fractions sous sa forme la plus simplifiée.
Par exemple :

18+58=1+58=68=6÷28÷2=34\begin{aligned} \dfrac 18+\dfrac 58 &=\dfrac {1+5}8 \\ &=\dfrac 68 \\ &=\dfrac {6\div 2}{8\div 2} \\ &=\dfrac 34 \end{aligned}

68\frac 68 est un résultat juste, mais on préférera nettement la réponse 34\frac 34.

Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre

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À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions lorsque le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre :

  • on écrit les deux nombres avec le même dénominateur ;
  • on applique la règle d’addition et de soustraction.

On dit que l’on réduit au même dénominateur les deux fractions.

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Exemple

  • Calculons :

514+37\dfrac{-5}{14}+\dfrac37

1414 est un multiple de 77, car 14=7×214=7\times2.

  • Le dénominateur commun est donc 1414.

514+37=514+3×27×2=514+614=5+614=114\begin{aligned} \dfrac{-5}{14}+\dfrac37&=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{3\times2}{7\times2}\\ &=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{6}{14}\\ &=\dfrac{-5+6}{14}\\ &=\dfrac{1}{14} \end{aligned}

  • Calculons :

2+45-2+\dfrac45

Utilisons le fait que : 2=21-2=\dfrac{-2}{1}

55 est multiple de 11, car 5=1×55=1\times5.

  • Le dénominateur commun est 55.

2+45=21+45=2×51×5+45=105+45=10+45=65=65\begin{aligned} -2+\dfrac{4}{5}&=\dfrac{-2}{1}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-2\times 5}{1\times 5}+\dfrac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10}{5}+\frac{4}{5}\\ &=\dfrac{-10+4}{5}\\ &=\dfrac{-6}{5} \\ &=-\dfrac 65 \end{aligned}

Recherche d’un multiple commun à deux dénominateurs différents

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Exemple

  • Calculons :

71229\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres 1212 et 99.

  • On remarque que 12×3=3612\times3=36 et 9×4=369\times 4=36.

71229=7×312×32×49×4=2136836=21(8)36=21+836=2936\begin{aligned} \dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}&=\dfrac{7\times 3}{12\times 3}-\dfrac{-2\times 4}{9\times 4}\\ &=\dfrac{21}{36}-\dfrac{-8}{36}\\ &=\dfrac{21-(-8)}{36}\\ &=\dfrac{21+8}{36}\\ &=\dfrac{29}{36} \end{aligned}

  • Calculons :

9537\dfrac95-\dfrac37

Le plus petit multiple (non nul) commun aux nombres 55 et 77 est 3535 : 5×7=355\times 7=35.

9537=9×75×73×57×5=63351535=631535=4835\begin{aligned} \dfrac95-\dfrac37&=\dfrac{9\times7}{5\times7}-\dfrac{3\times5}{7\times5}\\ &=\dfrac{63}{35}-\dfrac{15}{35}\\ &=\dfrac{63-15}{35}\\ &=\dfrac{48}{35} \end{aligned}

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Astuce

Il est parfois utile de simplifier les fractions à additionner (ou à soustraire) avant de faire l’opération, surtout si on souhaite donner le résultat sous sa forme la plus simplifiée.
Par exemple, on cherche le résultat le plus simplifié possible de l’addition :

412+2418\dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18}

En remarquant que 12×3=3612\times 3=36 et que 18×2=3618\times 2=36, nous pouvons opérer ainsi :

412+2418=4×312×3+24×218×2=1236+4836=12+4836=6036=60÷1236÷12=53\begin{aligned} \dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18} &= \dfrac {4\times 3}{12\times 3}+\dfrac {24\times 2}{18\times 2} \\ &=\dfrac {12}{36} + \dfrac {48}{36} \\ &=\dfrac {12+48}{36} \\ &=\dfrac {60}{36} \\ &=\dfrac {60\div 12}{36\div 12} \\ &=\dfrac 53 \end{aligned}

Mais, en simplifiant les fractions, nous avons :

412+2418=4÷412÷4+24÷618÷6=13+43=1+43=53\begin{aligned} \dfrac 4{12}+\dfrac {24}{18} &= \dfrac{4\div 4}{12\div 4}+\dfrac {24\div 6}{18\div 6} \\ &=\dfrac 13 + \dfrac 43 \\ &=\dfrac {1+4}3 \\ &= \dfrac 53 \end{aligned}

Nous arrivons bien sûr au même résultat, mais de manière plus directe avec la deuxième méthode, et en manipulant des nombres plus petits.

Multiplication de deux fractions

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À retenir

Pour multiplier deux fractions :

  • on multiplie les numérateurs entre eux ;
  • on multiplie les dénominateurs entre eux.

Autrement dit, si aa, bb, cc et dd désignent des entiers relatifs, avec b0 b\neq0 et d0 d\neq0, alors :

ab×c d=a×cb×d\dfrac{ a}{ b}\times\dfrac{ c}{\ d}=\dfrac{ a\times c}{ b\times d}

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Exemple

  • Calculons :

53×27\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}

On mulitiple les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

53×27=5×(2)3×7=1021\begin{aligned} \dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}&=\dfrac{\blue{5\times (-2)}}{\red{3\times 7}}\\ &=\dfrac{\blue{-10}}{\red{21}} \end{aligned}

  • Calculons :

1556×710\dfrac{15}{-56}\times \dfrac{-7}{10}

On remarque qu’il est utile de simplifier les calculs avant des les effectuer en décomposant certains facteurs.

On décompose :

1556×710=15×(7)(56)×10=(5×3)×7(7×8)×(5×2)=5×3×77×8×5×2\begin{aligned}\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}&=\dfrac{15\times(-7)}{(-56)\times10}\\ &=\dfrac{-(5\times3)\times7}{-(7\times8)\times(5\times2)}\\ &=\dfrac{\orange{5}\times3\times\green{7}}{\green{7}\times8\times\orange{5}\times2}\end{aligned}

Simplifions maintenant les calculs par 5\orange5 et 7\green7 :

1556×710=38×2=316\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}=\dfrac{3}{8\times2}=\dfrac{3}{16}

  • Cas particulier :

3×411-3\times\dfrac{-4}{11}

On sait que :

3=31-3=\dfrac{-3}{1}

Donc :

3×411=3×(4)1×11=1211\begin{aligned} -3\times\dfrac{-4}{11}&=\dfrac{-3\times(-4)}{1\times 11} \\ &=\dfrac{12}{11} \end{aligned}

Division d’une fraction par une fraction (non nulle)

Inverse d’un nombre relatif (non nul)

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Définition

Nombres inverses :

Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à 11.

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Astuce

  • 00 n’a pas d’inverse.
  • Deux nombres inverses ont le même signe.
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Exemple

2×0,5=12\times 0,5=1

  • 22 et 0,50,5 sont donc des nombres inverses.

100×0,01=1100\times 0,01=1

  • 100100 et 0,010,01 sont donc des nombres inverses.

5×(15)=1-5\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)=1

  • 5-5 et 15-\frac{1}{5} sont donc des nombres inverses.
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Attention

Il ne faut pas confondre nombres opposés et nombres inverses.

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Propriété

Inverse d’un nombre relatif non nul :

  • L’inverse du nombre relatif non nul aa est :

1a\dfrac{1}{a}

  • aa et bb étant deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de ab\frac{a}{ b} est :

ba\dfrac{b}{ a}

Division

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À retenir

Quotient de deux nombres relatifs :

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Soit aa et bb deux nombres relatifs, avec bb non nul. Nous avons :

ab=a÷b=a×1b\dfrac ab=a\div b=a\times \dfrac 1b

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À retenir

Division de fractions :

Soit aa, bb, cc et dd des entiers relatifs, avec bb, cc et dd non nuls. Nous avons :

abcd=ab÷cd=ab×dc\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{ a}{ b}\div \dfrac{c}{ d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}

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Exemple

7÷(6)=7×16=76=76-7\div(-6)=-7\times\dfrac{1}{-6}=\dfrac{-7}{-6}=\dfrac76

5÷(34)=51×43=5×41×(3)=203=2035 \div\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{5}{1}\times\dfrac{4}{-3}=\dfrac{5\times4}{1\times (-3)}=\dfrac{20}{-3}=-\dfrac{20}{3}

47÷(8)=47×18=4×17×(4×2)=4×17×4×2=17×2=114\dfrac47\div (-8)=\dfrac47\times\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{4\times1}{7\times(4\times2)}=-\dfrac{\green{4}\times1}{7\times \green{4}\times 2}=-\dfrac{1}{7\times 2}=-\dfrac{1}{14}

72÷59=72×95=7×92×5=6310=6310\dfrac{-7}{2}÷\dfrac59=\dfrac{-7}{2}\times\dfrac95=\dfrac{-7\times9}{2\times5}=\dfrac{-63}{10}=-\dfrac{63}{10}

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Astuce

Les règles de calcul (priorités et parenthèses) s’appliquent également pour les fractions.

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