Algèbre de Boole : Fiche de révision de 1ere

Algèbre de Boole

Propriétés

Soit $f$ une fonction logique de $n$ variables $a_1,\,a_2,\,…,\, a_n$.

$$\begin{aligned} f: \lbrace0\ ;\,1\rbrace^n&\rightarrow \lbrace0\ ;\,1\rbrace \\ a_1,\,a_2,\,…,\, a_n&\mapsto f(a_1,\,a_2,\,…,\, a_n) \end{aligned}$$

$\bar a$ est le complément de $a$ ;
avec la porte $\text{ET}$, on parle de produit, d’où le signe « $\cdot$ » ;
avec la porte $\text{OU}$, on parle de somme, d’où le signe « $+$ ».

Théorème de De Morgan

Théorème

Théorème de De Morgan :

Soit $n$ variables logiques $a_1,\,a_2,\,…,\,a_n$.

Le complément d’une somme est égal au produit des compléments :

$$\overline{a_1+a_2+…+a_n}=\bar a_1 \cdot \bar a_2 \cdot … \cdot \bar a_,$$

Le complément d’un produit est égal à la somme des compléments :

$$\overline{a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n}=\bar a_1 + \bar a_2 + … + \bar a_,$$

Propriétés sur une variable

Le complément du complément d’une variable est égal à la variable :

$$\bar{\bar a}=a$$

Il s’agit d’une double négation.
Propriétés du produit logique

Propriété	Schéma électrique équivalent
$a\cdot0=0$
$a\cdot 1=a$
$a\cdot a=a$
$a\cdot\bar a=0$

Propriétés de la somme logique

Propriété	Schéma électrique équivalent
$a+0=a$
$a+1=1$
$a+a=a$
$a+\bar a=1$

Propriétés sur plusieurs variables

Le produit logique a priorité sur la somme logique : la fonction $\text{ET}$ a priorité sur la fonction $\text{OU}$.
Les parenthèses sont aussi à traiter en priorité : la fonction $\text{NON}$ est l’équivalent d’une parenthèse et doit être traitée en priorité.

Négation	$$A=B \Leftrightarrow \bar A=\bar B$$
Associativité	$a\cdot b\cdot c=a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ $a+ b+ c=a+(b+ c)=(a+ b)+c$
Commutativité	$a\cdot b=b\cdot a$ $a+ b=b+ a$
Distributivité	$a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$ $a+ b\cdot c=(a+ b) \cdot (a+ c)$ $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c + b\cdot d$
Absorption	$a+a\cdot b=a$ $a+\bar a\cdot b=b+\bar b\cdot a=a+b$ $a\cdot (a+b)=a$ $a\cdot b + a\cdot \bar b=a$

Forme canonique

Forme canonique disjonctive

La forme canonique disjonctive donne une relation directe entre équation logique et table de vérité.
Un minterme est un produit de $n$ facteurs, chaque facteur étant une variable donnée ou son complément. Il existe $2^n$ mintermes différents possibles.
Toute fonction booléenne $f$ peut s’écrire sous sa forme disjonctive. Celle-ci est son unique écriture sous forme d’une somme de mintermes.

Forme disjonctive et table de vérité

Passage de la table de vérité à l’équation logique :
sur chaque ligne où la sortie est $1$, nous effectuons le produit des valeurs de chaque variable de la ligne ;
puis nous effectuons la somme des produits obtenus.
Nous avons ainsi obtenu l’équation logique sous sa forme canonique disjonctive.
Passage de l’équation logique à la table de vérité :
mettre l’équation logique sous sa forme canonique disjonctive ;
dans la table de vérité écrire $S=1$ sur chaque ligne concernée par l’équation ;
et $S=0$ sur les autres.

Fiche de révision : Algèbre de Boole