Fiche de révision : Applications de la dérivation

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

Déduire du signe de la dérivée le sens de variation

Théorème :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.

Déduire du sens de variation le signe de la dérivée

Théorème :

• Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x) \geq 0$.
• Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x) \leq 0$.
• Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)=0$.

Extremum d’une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un réel de l’intervalle $I$.

• $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x) \leq f(a)$. Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
• $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x) \geq f(a)$. Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
• Un extremum est un maximum ou un minimum.

Lien entre extremum et dérivation

Le tableau que nous allons voir maintenant répertorie les différents cas possibles concernant les extremums :

Les étapes d’une étude de fonction

Les étapes d’une étude de fonction :

• Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé.
• Calculer la dérivée.
• Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction.
• Calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variation.