Applications de la dérivation
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
Déduire du signe de la dérivée le sens de variation
Déduire du signe de la dérivée le sens de variation
Théorème :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.
Déduire du sens de variation le signe de la dérivée
Déduire du sens de variation le signe de la dérivée
Théorème:
- Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\geq 0$.
- Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\leq 0$.
- Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)=0$.
Extremum d’une fonction
Extremum d’une fonction
Définition
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un réel de l’intervalle $I$.
- $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\leq f(a)$.
Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
- $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\geq f(a)$.
Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Lien entre extremum et dérivation
Lien entre extremum et dérivation
Les trois cas possibles d’extremums
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| Si la dérivée s’annule et change de signe sur l’intervalle d’étude, alors la fonction admet nécessairement un extremum : il s’agit ici d’un maximum car la dérivée est d’abord positive puis négative (c’est-à-dire que la fonction est d’abord croissante puis décroissante). | Si la dérivée ne s’annule pas sur un intervalle, cela signifie que la fonction est soit strictement croissante soit strictement décroissante ; dans ce cas, l’extremum ne peut être atteint qu’en une borne de l’intervalle. | Si la dérivée s’annule mais ne change pas de signe sur l’intervalle donné, cela signifie que la fonction ne change pas de sens de variation ; dans ce cas, soit il n’y a pas d’extremum, soit l’extremum sera atteint en une borne de l’intervalle. |
Les étapes d’une étude de fonction
Les étapes d’une étude de fonction
- Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
- calculer la dérivée ;
- étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction ;
- calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variation.