Fiche de révision : Calcul matriciel

Les matrices

• Une matrice de taille ou dimension $(m,\, n)$, notée aussi $m\times n$ ($m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls), est un tableau rectangulaire de nombres réels comportant $m$ lignes et $n$ colonnes.
• Ces nombres sont appelés les coefficients, ou les termes, de la matrice.
• Le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ d’une matrice $A$ est noté $a_{i,j}$ ou $(A)_{i,j}$.

$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & … & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & … & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & … & a_{m,n}\end{pmatrix}$$

• Les matrices lignes n’ont qu’une seule ligne. Leur taille est de la forme $1\times n$.
• Les matrices colonnes n’ont qu’une seule colonne. Leur taille est de la forme $m\times 1$.
• Les matrices carrées ont le même nombre de lignes et de colonnes. Leur taille est de la forme $n\times n$.
• Les matrices nulles ont tous leurs coefficients nuls.
• Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même taille $m\times n$ et les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.
• Si la matrice $A=(a_{i, j})$ et la matrice $B=(b_{i, j})$ sont égales, alors pour tout $1\leq i \leq m$ et tout $1\leq j \leq n$, on a $a_{i, j}=b_{i, j}$.
• La matrice transposée d’une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m \atop1\leq j\leq n}$ de taille $m\times n$ ($m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls) est la matrice de taille $n\times m$, notée $A^\text {T}$, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $\text A$ :

$$A^\text{T}=(a_{j,i})_{1\leq j\leq n \atop1\leq i\leq m}$$

• On appelle somme de deux matrices de même taille la matrice obtenue en additionnant deux à deux les coefficients de même emplacement dans les deux matrices.
• Si $A=(a_{i, j})$ et $B=(b_{i, j})$, alors $A+B=(a_{i, j}+b_{i, j})$.

• On appelle produit d’une matrice par un nombre réel la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre.
• Si $A=(a_{i,j})$, alors $kA=(k a_{i,j})$.

• Soit $A$ et $B$ deux matrices de même taille. On appelle matrice opposée de la matrice $A$ la matrice $(-1)\times \text A$, notée $-A$.
• On définit ainsi la matrice $B-A$, qui est égale à la matrice $B+(-A)$.
• $-A$ est obtenue en remplaçant, pour chaque emplacement, le coefficient de $A$ par son opposé. Si $A=(a_{i,j})$, alors $-A=(-a_{i, j})$.
• Soit une matrice ligne $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & … & a_n\end{pmatrix}$ ($n$ entier naturel non nul).
  Soit une matrice colonne $B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$.
• Le produit de la matrice $A$ par la matrice $B$ est égal au nombre :

$$A\times B=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$$

• Soit une matrice $A$ de taille $\red m\times \blue n$ ($m$ et $n$ entiers naturels non nuls) : $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}$.
  Soit une matrice $B$ de taille $\blue n\times \green p$ ($p$ entier naturel non nul) : $B=(b_{i,j})_{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq p}$
• La matrice $C$, produit de $A$ par $B$, sera de taille $\red m\times \green p$ :

$$C=(c_{i,j})_{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq p}$$

• Pour tout $i$ compris entre $1$ et $m$ et pour tout $j$ compris entre $1$ et $p$, le coefficient $c_{i,j}$ est égal au produit de la matrice ligne correspondant à la ligne $i$ de $A$ par la matrice colonne correspondant à la colonne $j$ de $B$ :

$$c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i,k}b_{k,j}$$

• Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice.
• Il n’est pas commutatif : même si les deux produits sont possibles, nous avons en général : $A\times B \neq B\times A$.

Les matrices carrées

• On appelle matrice carrée d’ordre $n$ ($n\in \mathbb N^*$) toute matrice de taille $n\times n$.
• On appelle matrice unité d’ordre $n$ la matrice $I_n$, carrée d’ordre $n$, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à $1$.
• Pour toute matrice $\text A$ carrée d’ordre $n$ : $I_n\times A = A\times I_n = A$.
• Pout toute matrice colonne $C$ de taille $n\times 1$ : $I_n \times C = C$.
• Pour toute matrice ligne $L$ de taille $1\times n$ : $L \times I_n = L$.
• $p$ est un entier naturel non nul et $A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
• La $p\text{-ième}$ puissance de la matrice $\text A$, notée $\text A^p$, est la matrice définie par :

$$A^p=\underbrace{A\times A\times … \times A}_{p\text{ fois}}$$

• $A^0=I_n$.
• Pour une matrice diagonale $D$ de taille $n$ (une matrice carrée dont les seuls coefficients non nuls sont situés sur la diagonale principale), $D^p$ sera une matrice diagonale et, pour tout $1\leq i\leq n$ : $(D^p)_{i,i}=\big( (D)_{i,i}\big)^p$.
• $A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
  S’il existe une matrice $B$, carrée d’ordre $n$, telle que $A\times B=B\times A=I_n$, alors :
• la matrice $A$ est une matrice inversible ;
• la matrice $B$ est la matrice inverse de $A$.
• Cette matrice inverse de $A$ est unique et est notée $A^{-1}$.
• $A =\begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix}$ est une matrice carrée d’ordre $2$.
• $A$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ et :

$$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$$

Écriture matricielle de systèmes linéaires

• Un système de deux équations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme, avec $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ des réels :

$$ \begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$$

• Le système peut s’écrire sous la forme matricielle $A\times X = B$, avec :

$$\begin{aligned} A&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\ X&=\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \\ B&=\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix} \end{aligned}$$

• Si $A$ est une matrice carrée inversible, de taille $n$, et $B$ une matrice colonne de $n$ lignes, alors le système linéaire écrit sous la forme $A\times X=B$ admet une unique solution définie par la matrice : $A^{-1} \times B$.
• Cette solution sera une matrice colonne de $n$ lignes, qui nous donnera le $n\text{-uplet}$ solution.
• Si la matrice associée au système n’est pas inversible, alors :
• soit l’ensemble solution est vide,
• soit il contient une infinité de solutions.