Cours : Calcul vectoriel et produit scalaire

Produit scalaire de deux vecteurs du plan

Définitions

Définition

Norme d’un vecteur :

Soit $\vec u$ un vecteur du plan et soit $A$ et $B$ deux points tels que : $\vec u=\overrightarrow{AB}$.

On appelle norme du vecteur $\vec u$ le réel positif ou nul, noté $\Vert\vec u\Vert$, défini par $\Vert\vec u\Vert=AB$.

À retenir

La norme d’un vecteur correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.

Définition

Mesure d’un angle orienté de vecteurs :

Un angle orienté de vecteurs se mesure en radians

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.
Soit $M$ et $N$ deux points du cercle trigonométrique tels que $\vec u$ et $\overrightarrow{OM}$, d’une part, et $\vec v$ et $\overrightarrow{ON}$, d’autre part, soient colinéaires et de même sens.

Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs $(\vec u,\ \vec v)$ sont les différences $y-x$, où $x$ et $y$ sont les réels associés respectivement aux points $M$ et $N$.
Nous pouvons considérer le cosinus d’un angle orienté de vecteurs, qui est le cosinus du nombre réel associé.

Définition

Produit scalaire de deux vecteurs du plan :

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de $\vec u$ par $\vec v$ le nombre réel noté $\vec u\cdot\vec v$ (se lit « u scalaire v ») égal à :

• $0$ si l’un des deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est nul ;

• $\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u,\vec v)$, si $\vec u\neq\vec 0$ et $\vec v\neq\vec 0$.

Exemple :

Sur cette figure $\left\Vert\overrightarrow{AB}\right\Vert=AB=5$ et $\left\Vert\overrightarrow{AC}\right\Vert=AC=3$, donc le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ vaut :

$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=AB×AC×\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \\ &=5×3×\cos\Big(\dfrac\pi3\Big) \\ &=5×3×\dfrac12 \\ &=\dfrac{15}2 \end{aligned}$

Cas particuliers

Propriété

Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs colinéaires :

• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont de même sens, alors $\vec u\cdot\vec v=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=AB\times AC$ (car $\cos(\vec u,\vec v)=\cos(0)=1$).

• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont de sens contraire, alors $\vec u\cdot\vec v=-\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=-AB\times AC$ (car $\cos(\vec u,\vec v)=\cos(\pi)=-1$).

Propriété

Carré scalaire :

Soit un vecteur $\vec u$.

Le carré scalaire de $\vec u$, noté $\vec u\,^2$, est le nombre réel défini par $\vec u\,^2=\vec u\cdot\vec u$.
On a : $\vec u\,^2=\Vert\vec u\Vert^2$.

Propriétés de calcul

Propriété

Quels que soient les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, et le réel $k$, on a :

• $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$

• $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$

• $\vec u\cdot(k\vec v)=(k\vec u)\cdot\vec v=k\,\vec u\cdot\vec v$

• $(\vec u+\vec v)^2=\vec u\,^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2$

• $(\vec u-\vec v)^2=\vec u\,^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2$

• $(\vec u+\vec v)(\vec u-\vec v)=\vec u\,^2-\vec v\,^2$

Lien entre produit scalaire et orthogonalité

Rappel

On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires.

Propriété

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

En effet :

$\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v&=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u, \vec v) \\ &=AB\times AC\times\cos\Big(\dfrac\pi2\Big) \\ &=AB\times AC\times0 \\ &=0\end{aligned}$

À retenir

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.

Autres expressions du produit scalaire

Projection orthogonale

L’expression de base du produit scalaire de deux vecteurs est $\vec u.\vec v=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u, \vec v)$, mais il est parfois impossible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs grâce à cette expression.

En effet, les énoncés ne donnent pas toujours l’angle $(\vec u,\ \vec v)$.

Définition

Projection orthogonale :

Soit trois points $A,\ B\text{ et }C$. On appelle projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ le point $H$ d’intersection entre $(AB)$ et la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.

Propriété

Si $\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)<\dfrac{\pi}{2}$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$

Propriété

Si $\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)>\dfrac{\pi}{2}$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$

Exemple :

On cherche à calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, mais on ne connaît pas l’angle formé par ces deux vecteurs.

On va donc devoir utiliser le point $H$ qui est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.

$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} \\ &=AC\times AH \\ &=7\times4 \\ &=28 \end{aligned}$

Produit scalaire dans une base orthonormée

Il est également possible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormée grâce aux coordonnées de ces vecteurs.

Propriété

Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.

Alors :

• $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$
• $\left\Vert\vec u\right\Vert^2=x^2+y^2$

Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A\ (-1\ ;\,2)$, $B\ (3\ ;\,7)$, et $C\ (4\ ;\,-5)$.
On cherche à calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

• Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :

$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} {x_B-x_A} \\ {y_B-y_A}\end{pmatrix} &=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1) \\ 7-2\end{pmatrix} \\ &=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} \end{aligned}$

• Les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ sont :

$\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} {x_C-x_A} \\ {y_C-y_A}\end{pmatrix}&=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-1) \\ -5-2\end{pmatrix} \\ &=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix} \end{aligned}$

• Alors :

$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=4×5+5×(-7) \\ &=20-35 \\ &=-15 \end{aligned}$

Expression avec les normes

Propriété

Si $\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs du plan, alors, en utilisant les propriétés du produit scalaire :

$\begin{aligned} \Vert\vec u-\vec v\Vert^2&=(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) \\ &=\vec u\cdot(\vec u-\vec v)-\vec v\cdot(\vec u-\vec v) \\ &=\vec u\cdot\vec u-\vec u\cdot\vec v-\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v \\ &=\Vert\vec u\Vert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\Vert\vec v\Vert^2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Vert\vec u+\vec v\Vert^2&=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v) \\ &=\vec u\cdot(\vec u+\vec v)+\vec v\cdot(\vec u+\vec v) \\ &=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v \\ &=\Vert\vec u\Vert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\Vert\vec v\Vert^2 \end{aligned}$

Nous avons donc :

$\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v&=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u\Vert^2+\Vert\vec v\Vert^2-\Vert\vec u -\vec v\Vert^2\big) \\ \vec u\cdot\vec v &=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u+ \vec v \Vert^2-\Vert\vec u\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2\big) \end{aligned}$

En particulier, pour le triangle suivant, en prenant $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\big(AB^2+AC^2-BC^2\big)$

(car $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$)

Applications du produit scalaire

Calculs d’angles et de longueurs : formule d’Al-Kashi

L’une des applications du produit scalaire est le calcul d’angles et de longueurs. Pour cela, nous pouvons utiliser la formule d’Al-Kashi :

Théorème

Théorème d’Al-Kashi :

Soit $ABC$ un triangle.
En posant $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$, on a :

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat B$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C$

À retenir

Le théorème d’Al-Kashi est la relation généralisée de Pythagore.

Démonstration

Démontrons, par exemple, la première formule : $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A$.

Les autres démonstrations sont identiques, en permutant les valeurs $a$, $b$ et $c$ (ainsi que leur angle opposé) qui jouent le même rôle.

$\begin{aligned} a^2&=BC^2 \\ &={\overrightarrow{BC}\,}^2 \\ &=\Big(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\Big)^2 \\ &={\overrightarrow{BA}\,}^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}\,}^2 \\ &=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \\ &=BA^2+AC^2-2AB\times AC\times\cos\Big(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\Big) \\ &=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A \end{aligned}$

Exemple :

Soit le triangle $ABC$.
L’objectif est de déterminer une valeur approchée de l’angle $\widehat{CAB}$.

Pour donner une valeur approchée de l’angle $\widehat{CAB}$, comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on utilise le théorème d’Al-Kashi :

$\begin{array}{cl} &a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A \\ \Leftrightarrow&BC^2=AC^2+AB^2-2\times AC\times AB\times\cos \widehat{CAB} \\ \Leftrightarrow&7^2=4^2+6^2-2\times4\times6\times\cos \widehat{CAB} \\ \Leftrightarrow&2\times4\times6\times\cos\widehat{CAB}=4^2+6^2-7^2 \\ \Leftrightarrow&48\cos\widehat{CAB}=16+36-49 \\ \Leftrightarrow&\cos\widehat{CAB}=\dfrac{3}{48}=0,0625 \\ \Leftrightarrow&\widehat{CAB}\approx86,42\degree\approx1,51\ \text{rad} \end{array}$

Transformation de l’expression $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$

Soit $A$ et $B$ deux points distincts, et $M$ un troisième point.
Nous allons transformer l’expression $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ en utilisant les propriétés du produit scalaire.

On considère $I$ le milieu de $[AB]$.

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\Big)\cdot\Big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\Big)$

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}$

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Vert\overrightarrow{MI}\Vert^2+\overrightarrow{MI}\cdot\Big(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\Big)-\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IA}$
car $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$ et $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Vert\overrightarrow{MI}\Vert^2+\overrightarrow{MI}\cdot\vec 0-\Vert\overrightarrow{IA}\Vert^2$
car $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec 0$ par définition

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Vert\overrightarrow{MI}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{IA}\Vert^2$

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2$

Propriété

Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
L’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ (cercle de centre $I$, milieu de $[AB]$, et de rayon $IA=IB$).

Démonstration

Soit $A$ et $B$ deux points distincts, et $I$ milieu de $[AB]$.

$\begin{aligned} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0&\Leftrightarrow MI^2-IA^2=0 \\ &\Leftrightarrow IM^2=IA^2 \\ &\Leftrightarrow IM=IA\ \text{(car ce sont des valeurs positives)} \\ &\Leftrightarrow M\in \mathscr C \end{aligned}$
où $\mathscr C$ est le cercle de centre $I$, milieu de $[AB]$, et de rayon $IA=IB$, c’est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$

• Nous pouvons donc définir un cercle à l’aide d’un produit scalaire.