Calcul vectoriel et produit scalaire
Produit scalaire de deux vecteurs du plan
Produit scalaire de deux vecteurs du plan
- La norme du vecteur , notée , correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
- Soit et deux vecteurs non nuls.
Soit et deux points du cercle trigonométrique tels que et , d’une part, et et , d’autre part, soient colinéaires et de même sens : - les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs sont les différences , où et sont les réels associés respectivement aux points et .
- Soit et deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire de par le nombre réel noté (« u scalaire v ») égal à : - si l’un des deux vecteurs et est nul ;
- , si et .
- Soit et deux vecteurs colinéaires :
- si et sont de même sens, alors ;
- si et sont de sens contraire, alors .
- Soit un vecteur .
Le carré scalaire de , noté , est le nombre réel défini par . - On a : .
- Quels que soient les vecteurs , et , et le réel , on a :
- Produit scalaire et orthogonalité :
- deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ;
- par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.
Autres expressions du produit scalaire
Autres expressions du produit scalaire
- Soit trois points :
- on appelle projeté orthogonal de sur la droite le point d’intersection entre et la perpendiculaire à passant par ;
- si , alors
- si , alors
- Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs et .
Applications du produit scalaire
Applications du produit scalaire
- Soit un triangle. Posons , et .
Le théorème d’Al-Kashi, relation généralisée de Pythagore, donne : - Soit et deux points distincts :
- l’ensemble des points M tels que est le cercle de diamètre ;
- nous pouvons donc définir un cercle à l’aide d’un produit scalaire.
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