Calculer avec des nombres décimaux
Introduction :
Ce cours porte sur le calcul avec des nombres décimaux. Pour cela, nous allons utiliser des conventions, c’est-à-dire des règles de priorité.
Dans un premier temps nous verrons comment calculer une expression numérique sans parenthèses. Puis nous apprendrons à calculer une expression numérique avec parenthèses. Avant cela, un rappel est nécessaire.
Rappel
En 6e, nous avons travaillé sur les opérations élémentaires.
- L’addition
$3+4=7$
$7$ est la somme des termes $3$ et $4$.
- La soustraction
$15-13=2$
$2$ est la différence entre les termes $15$ et $13$.
- La multiplication
$4,5 \times 4 =18$
$18$ est le produit du facteur $4,5$ par le facteur $4$.
- La division
$100 \div 5 =20$ où :
- $100$ est le dividende.
- $5$ est le diviseur.
- $20$ est le quotient.
La résolution de certains problèmes complexes nécessite souvent une succession d’opérations.
Nous allons voir comment écrire cette succession d’opérations sur une même ligne et comment calculer cette succession d’opérations.
Calculer une expression numérique sans parenthèses
Calculer une expression numérique sans parenthèses
Succession d’additions et de soustractions
Succession d’additions et de soustractions
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des additions et des soustractions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.
$$\begin{aligned}A&= 5,2+4-7,7\\ A&=9,2-7,7\\ A&=1,5\end{aligned}$$
Exemple
Léa souhaite pratiquer le tennis de table.
Voici ses achats :
- une raquette à $11,90$ € ;
- une boîte de balles à $3,95$ €.
Quelle somme lui rend le commerçant si elle présente un billet de $20$ € ?
On nomme cette somme $B$.
$$\begin{aligned}B&=20-11,90-3,95\\ B&=8,10-3,95\\ B&=4,15\end{aligned}$$
- Le commerçant rend $4,15$ € à Léa.
Succession de multiplications et de divisions
Succession de multiplications et de divisions
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.
$$\begin{aligned}C&=12,6 \div 3\times 5\\ C&=4,2\times 5\\ C&=21\end{aligned}$$
Exemple
Combien vaut le septième du double de $21$ ?
Nommons ce résultat $D$.
$$\begin{aligned}D&= 21\times2 \div 7\\ D&=42 \div 7\\ D&=6\end{aligned}$$
- Le septième du double de $21$ vaut $6$.
Astuce
Dans le cas où il n’y a que des additions (ou que des multiplications), on peut effectuer les calculs dans n’importe quel ordre.
Succession d’opérations diverses
Succession d’opérations diverses
À retenir
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte des opérations diverses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. Elles sont prioritaires par rapport aux additions et aux soustractions.
- On effectue d’abord la multiplication et la division :
$$\begin{aligned} E&= 25-3,5\times 5+1,6 \div 2\\ E&=25-17,5+0,8\end{aligned}$$
- Puis on calcule de gauche à droite :
$$\begin{aligned} E&=25-17,5+0,8\\ E&=7,5 + 0,8\\ E&=8,3\end{aligned}$$
Exemple
Combien y a t-il de secondes dans $3$ heures $27$ minutes et $47$ secondes ?
On nomme ce nombre de secondes $F$.
On sait que, dans $1$ heure, il y a $60$ minutes et que, dans une minute, il y a $60$ secondes.
On peut donc calculer le nombre de secondes dans $1$ heure :
$\begin{aligned}1\text{ heure }&=60\times60\text{ secondes}\\ 1\text{ heure }&=3\,600\text{ secondes}\end{aligned}$
Donc :
$$\begin{aligned}F&=3\times 3\,600+27\times 60+47\; \footnotesize\longleftarrow \text{on effectue d’abord les multiplications}\\ F&=10\,800+1\,620+47\\ F&=12\,420+47\\ F&=12\,467\end{aligned}$$
- Dans $3$ heures $27$ minutes et $47$ secondes, il y a donc $12\,467$ secondes.
Calculer une expression numérique avec parenthèses
Calculer une expression numérique avec parenthèses
Expression avec des parenthèses
Expression avec des parenthèses
À retenir
Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
S’il y a plusieurs « couples » de parenthèses, on commence par celles qui sont les plus intérieures.
$$\begin{aligned} G&=9-2 \times (7-3)\;\footnotesize\longleftarrow \text{le calcul entre parenthèses est prioritaire}\\ G&=9-2\times 4\;\footnotesize\longleftarrow \text{la multiplication est prioritaire}\\ G&=9-8\\ G&=1 \\ \\ H&=17,2-\big(55 \div (6+5)\big)\; \footnotesize \longleftarrow \text{le calcul (6+5) est prioritaire}\\ H&=17,2-(55 \div 11)\; \footnotesize \longleftarrow \text{le calcul ($55 \div 11$) est prioritaire}\\ H&=17,2-5\\ H&=12,2\end{aligned}$$
Exemple
Voici un programme de calcul :
- je choisis un nombre ;
- je lui ajoute $7$ ;
- je multiplie le résultat par $3$ ;
- je soustrais $8$ à ce nouveau résultat ;
- je divise par $4$ ce dernier résultat.
Effectuer ce programme de calcul avec $8,5$ comme nombre de départ.
On nomme le résultat $J$.
$$\begin{aligned}J&=\big((8,5+7)\times 3-8\big) \div 4\;\footnotesize \longleftarrow \text{on commence par les parenthèses intérieures}\\ J&= (15,5 \times 3-8) \div 4\;\footnotesize \longleftarrow \text{dans les parenthèses, la multiplication est prioritaire}\\ J&= (46,5 - 8) \div 4\\ J&= 38,5 \div 4\\ J&=9,625\end{aligned}$$
Expression avec un trait de fraction
Expression avec un trait de fraction
À retenir
Lorsque la division est indiquée avec un trait de fraction, le numérateur et le dénominateur sont considérés comme des expressions entre parenthèses.
Exemple
$$K=\dfrac{17+4}{16-12}$$
$K$ s’écrit aussi :
$$\begin{aligned}K&= (17+4) \div (16-12)\\ K&=21 \div 4\\ K&=5,25\end{aligned}$$
Conclusion :
Les conventions étudiées dans cette leçon permettent de résoudre des problèmes complexes en écrivant une expression numérique à l’aide des signes opératoires et de parenthèses.