Calculer des périmètres
Introduction :
L’objectif de ce cours est de revoir la notion de périmètre d’une figure géométrique et de donner les formules du périmètre des figures usuelles.
Dans ce cours, nous verrons dans un premier temps la définition du périmètre d’une figure. Dans un deuxième temps, nous donnerons les formules du périmètre des principales figures géométriques connues (rectangle, carré, triangle et cercle) et enfin, dans un troisième temps, nous résoudrons des exercices mettant en jeu des périmètres de figures plus complexes.
Définition du périmètre d’une figure
Définition du périmètre d’une figure
Définition
Définition
Définition
Périmètre :
Le périmètre d’une figure géométrique est la longueur de son contour.
Il peut être exprimé en nombre de côtés de carreaux ou plus généralement avec les unités de longueur habituelles ($\text{cm}$, $\text{m}$, $\text{km}$, etc.).
Attention
Pour pouvoir additionner des longueurs, il faut que celles-ci soient toutes exprimées dans la même unité.
Exemple de calcul par comptage
Exemple de calcul par comptage
On prend ici comme unité de longueur un côté de carreau.
Le périmètre de cette figure est de 16 unités de longueur (ou 16 côtés de carreaux).
Formules du périmètre de figures usuelles
Formules du périmètre de figures usuelles
Périmètre d’un rectangle
Périmètre d’un rectangle
À retenir
Le périmètre d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est :
$$\begin{aligned}P&=L+l+L+l\\
P&=2L+2l\\
P &= 2\times (L + l)\end{aligned}$$
Exemple
- Un terrain rectangulaire de longueur $110\text{ m}$ et de largeur $30\text{ m}$ a pour périmètre :
$$P = 2\times (110 + 30) = 2\times 140 = 280\text{ m}$$
- Une maison qui a la forme d’un rectangle de longueur $13\text{ m}$ et de largeur $5\text{ m}$ a pour périmètre (au sol) :
$$P = 2\times (13 + 5) = 2\times 18 = 36\text{ m}$$
Périmètre d’un carré
Périmètre d’un carré
À retenir
Le périmètre d’un carré de côté $c$ est :
$$P = 4 \times c = 4c$$
Exemple
- Un jardin potager de forme carrée de côté $12\text{ m}$ a pour périmètre :
$$P = 4\times 12 = 48\text{ m}$$
- Dans un collège, une cour de récréation de forme carrée de côté $45\text{ m}$ a pour périmètre :
$$P = 4\times 45 = 180\text{ m}$$
Périmètre d’un triangle
Périmètre d’un triangle
À retenir
Le périmètre d’un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$ est :
$$P = a + b + c$$
Exemple
Le périmètre d’un triangle de côtés $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ et $9\text{ cm}$ est :
$$P = 4 + 6 + 9 = 19\text{ cm}$$
Périmètre d’un cercle
Périmètre d’un cercle
À retenir
Le périmètre d’un cercle de rayon $r$ (et donc de diamètre $d = 2r$) est :
$P = 2\pi r = \pi d$ (avec $\pi \approx 3,14$)
Exemple
Dans les exemples suivants, on arrondira $\pi$ à $3,14$.
- Une pizzeria fabrique des pizzas rondes de diamètres $13\text{ cm}$ et $17\text{ cm}$. Le périmètre de ces deux pizzas est respectivement :
$$P_1=13\pi \approx 40,8\text{ cm}$$ $$P_2=17\pi \approx 53,4\text{ cm}$$
- Une piscine ronde de rayon $2,5\text{ m}$ a pour périmètre (au sol) :
$$P = 2\pi \times 2,5 = 5 \pi \approx 15,7\text{ m}$$
Exercices utilisant le périmètre d’une figure
Exercices utilisant le périmètre d’une figure
Exemple
Le parcours du cross d’un collège est schématisé par la figure ci-dessous.
Quelle est la longueur d’un tour du parcours ?
La longueur d’un tour du parcours correspond au périmètre de cette figure.
Nous avons donc :
$P = AB + BC + CD + DE + EA = 155 + 90 + 25 + 194 + 234 = 698\text{ m}$
- La longueur d’un tour du parcours est de $698\text{ m}$.
Un pré à clôturer est représenté ci-dessous.
Pour connaître la longueur de la clôture, nous avons besoin de calculer son périmètre.
$P = AB + BC + CD + DE + EF + FA$
D’après le codage, on sait que $BC=DE=EF=240\text{ m}$.
On déduit du codage que $FA=BC+DE=480\text{ m}$.
On peut également déduire du codage que $CD=AB-EF=620-240=380\text{ m}$.
On a donc :
$P = 620 + 240 + 380 + 240 + 240 + 480\text{ m}$
$P=2\ 200\text{ m}$
$P=2,2\text{ km}$ car $1\text{ km}=1\ 000\text{ m}$
Une piste d’athlétisme est représentée ci-dessous. Elle est composée de deux parties rectilignes et de deux demi-cercles.
Quelle la longueur d’un tour de cette piste ?
La longueur d’un tour de piste correspond au périmètre de cette figure : il s’agit de la somme du périmètre d’un cercle de rayon $58\div 2 = 29\text{ m}$ auquel nous devons additionner $2$ fois la longueur $109\text{ m}$.
On a donc :
$P = 2\pi \times 29 + 2\times 109 = 58 \pi + 218 \approx 400,1\text{ m}$ en prenant $\pi \approx 3,14$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons revu la notion de périmètre d’une figure, le périmètre étant la longueur du contour de cette figure. Nous avons ensuite revu les formules à connaître donnant directement le périmètre des principales figures géométriques connues : rectangle, carré, triangle et cercle.