Cours : Les probabilités

Expérience aléatoire et probabilité

Nous allons, tout au long de cette première partie, nous servir de l’exemple d’un lancer d’un dé cubique parfaitement équilibré, dont les $6$ faces sont numérotées de $1$ à $6$ ; on s’intéresse au numéro inscrit sur la face du dessus.
Cet exemple nous permettra de revoir le vocabulaire des probabilités et des propriétés importantes.

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
• Ici, on sait qu’il y a $6$ résultats différents possibles, mais on ne sait pas lequel va se réaliser. Le résultat sera dû au hasard.
• Tous les résultats possibles d’une expérience sont appelés issues.
• Pour le dé, il y a $6$ issues : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $6$.
• Pour modéliser une expérience aléatoire, on associe à chaque issue sa probabilité, c’est-à-dire sa proportion de chance d’être obtenue, que l’on détermine ici intuitivement et qui respectent les règles suivantes :
• la probabilité de chaque issue est un nombre compris entre $0$ et $1$ ;
• la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

• Chaque numéro du dé est porté par $1$ seule face sur les $6$.
  Donc chacune des issues a une probabilité de $\frac 16$. Ce que l’on peut récapituler dans un petit tableau :

• Lorsque les issues d’une expérience ont toutes la même probabilité, elles sont dites équiprobables.
• Le tableau ci-dessus permet de voir que les issues du lancer de dé sont toutes égales à $\frac 16$.
  Elles sont donc équiprobables.
• Si une expérience aléatoire possède $n$ issues équiprobables (avec $n$ un entier strictement positif), alors la probabilité de chaque issue vaut : $\frac 1n$.
• Il y a pour le dé $6$ issues équiprobables et on a vu que les probabilités des issues sont bien égales à $\frac 16$.
• Dans une expérience aléatoire, un événement est une condition qui peut être réalisée ou non, en fonction de l’issue obtenue.
  On peut le décrire par une phrase ou en donnant les issues qui le réalisent ; on peut aussi le noter par une lettre.
• Dans l’expérience du dé, la condition $A$ : « Obtenir au plus $2$ », est un événement réalisé par les issues $1$ et $2$.
• La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
  Si les issues sont équiprobables, alors la probabilité d’un événement est égale au quotient du nombre d’issues qui le réalisent sur le nombre total d’issues.
• L’événement $A$ : « Obtenir au plus $2$ », est réalisé par les issues $1$ et $2$. Sa probabilité vaut donc la somme des probabilités de ces issues.
  De plus, les issues sont équiprobables, donc la probabilité de $A$ est aussi égale au quotient du nombre d’issues qui le réalisent, soit $2$, sur le nombre total d’issues, soit $6$.

$$\begin{aligned} p(A)&=p(1)+p(2)=\dfrac 16+\dfrac 16=\dfrac 26=\dfrac 13 \\ p(A)&=\dfrac {\text{nombre d’issues qui réalisent $A$}}{\text{nombre total d’issues}}=\dfrac 26=\dfrac 13 \end{aligned}$$

• Un événement élémentaire est un événement réalisé par une seule issue.
  Sa probabilité vaut alors celle de l’issue qui le réalise.
• L’événement $M$ : « Obtenir un multiple de $5$ », n’est réalisé que par l’issue $5$, c’est un événement élémentaire.
  Et nous avons : $p(M)=p(5)=\frac 16$.
• Un événement impossible est un événement qui n’est réalisé par aucune issue ; sa probabilité vaut logiquement $0$.
• « Obtenir un multiple de $10$ » est un événement impossible, de probabilité $0$.
• Un événement certain est un événement qui est réalisé quelle que soit l’issue obtenue : sa probabilité vaut $1$.
• « Obtenir un multiple de $1$ » est un événement certain, de probabilité $1$.
• L’événement contraire d’un événement $E$ est noté $\overline E$ et se définit comme l’événement réalisé par chacune des issues qui ne réalisent pas $E$ ; par conséquent :
• $E$ et $\overline E$ ne peuvent se réaliser simultanément ;
• si $E$ ne se réalise pas, alors $\overline E$ se réalise ; si $\overline E$ ne se réalise pas, alors $E$ se réalise ;
• la somme de leurs probabilités vaut $1$ :

$$\begin{aligned} p(E)+p(\overline E)&=1 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :}}& \\ p(\overline E)&=1-p(E) \\ p(E)&=1-p(\overline E) \end{aligned}$$

• On considère l’événement $A$ : « Obtenir au plus $2$ », de probabilité $\frac 13$, et $B$ : « Obtenir au moins $3$ ».
• $A$ et $B$ ne peuvent se réaliser en même temps.
• L’un des deux se réalisent quelle que soit l’issue.
• $B$ est donc l’événement contraire de $A$ et :

$$\begin{aligned} p(B)&=p(\overline A) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $B=\overline A$]}}} \\ &=1-p(A) \\ &=1-\dfrac 13 \\ &=\dfrac 23 \end{aligned}$$

Fréquences et probabilités

Nous avons jusqu’ici travaillé avec des cas où les probabilités étaient intuitives et évidentes : nous pouvions facilement déterminer la proportion de chance d’obtenir telle ou telle issue. Mais comment faire dans des cas où ne sait pas déterminer la probabilité des issues ?
Cette partie se propose de le montrer, en faisant une approche des probabilités par les fréquences.

Pour bien comprendre, nous repartons de l’exemple du dé, que nous allons lancer un grand nombre de fois. Nous aurons besoin pour cela d’un programme, qui sera fait avec Scratch.

Activité

Programmer un lancer un dé

Lancer un dé classique parfaitement équilibré et regarder le numéro inscrit sur la face supérieure, cela revient à choisir aléatoirement, c’est-à-dire complètement au hasard, un nombre entier entre $1$ et $6$ (compris).

• Pour cela, dans Scratch, on utilise un bloc dédié : « nombre aléatoire entre… », disponible dans la rubrique « Opérateurs ».
• Il suffit de lui mettre l’entier le plus petit et le plus grand que l’on souhaite, soit, dans notre cas : « nombre aléatoire entre 1 et 6 ».
• Nous créons aussi une variable que nous appelons « NumeroDe », qui contiendra le numéro obtenu au hasard.
• Enfin, nous allons demander à Scratch de nous « dire » quel nombre il a obtenu, c’est-à-dire la valeur de la variable « NumeroDe ».
• Voici le petit programme, si vous voulez le tester :

• Exécutons à $6$ reprises ce programme et voyons ce que nous dit Scratch.
• Bien sûr, si vous le faites de votre côté, vous n’obtiendrez pas les mêmes résultats.

Nous remarquons que, sur les $6$ lancers, Scratch n’a obtenu ni $3$ ni $6$, alors qu’il a obtenu une fois $1$ et $5$, et deux fois $2$ et $4$.
Pourtant, nous avons dit que toutes les issues ont la même probabilité d’être obtenues : $\frac 16$.
Allons donc un peu plus loin.

Lancer un dé de nombreuses fois

Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement à la probabilité d’obtenir $6$ avec le dé. Nous savons la calculer, elle vaut :

$$p(6)=\dfrac 16\approx 0,1667$$

Nous lancerons à plusieurs reprises le dé et nous compterons le nombre de fois où Scratch obtiendra $6$.
Puis nous étudierons la fréquence d’obtention du $6$, c’est-à-dire le quotient du nombre de fois où Scratch a obtenu $6$, sur le nombre total de lancers du dé :

$$\text{Fréquence de la valeur $6$}=\dfrac{\text{Effectif de la valeur $6$}}{\text{Effectif total}}$$

Nous allons donc compléter le programme Scratch précédent pour qu’il lance plusieurs fois le dé, comptabilise le nombre de $6$ obtenus et calcule la fréquence correspondante.

• Nous expliquons en parallèle les éléments les plus importants du programme.

Nous allons maintenant demander à Scratch de lancer le dé dix, cent, mille, dix mille, cent mille et même un million de fois (ce sera un tout petit peu plus long dans ce dernier cas, mais toujours rapide), puis observer les fréquences du $6$ qu’il obtient :

Rappelons que la probabilité d’obtenir l’issue $6$ est de $\frac 16\approx 0,1667$.

• Nous voyons que, plus le nombre de lancers est grands, plus la fréquence obtenue par Scratch est proche de la probabilité que nous avons donnée.

Vous pouvez maintenant exécuter vous-même le programme dans la fenêtre ci-dessous :

Si vous simulez à votre tour un million de lancers, la fréquence que vous obtiendrez sera différente de celle obtenue ici, mais vous remarquerez que, sauf rare exception, elle reste proche de la probabilité de $\frac 16$.

• Nous allons maintenant pouvoir donner une propriété importante.

Propriété

Propriété

Lorsqu’on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une issue tend à se stabiliser autour d’une valeur.

• Cette valeur est la probabilité de l’issue.

Cette propriété est une première approche simplifiée de la loi dite des grands nombres. C’est cette loi qui, par exemple, justifie le recours aux sondages.

À retenir

Dans une expérience aléatoire, quand on ne peut pas déterminer a priori la probabilité d’une issue, on peut répéter un grand nombre de fois l’expérience et observer la fréquence d’apparition de l’issue.

• Cela permettra de donner une approximation de la probabilité.

Nous allons maintenant nous servir de cette propriété dans un petit exercice classique : estimer une probabilité à partir d’une courbe de fréquence.

Exemple

On sait qu’une urne opaque contient $10$ boules indiscernables au toucher. On sait aussi que ces boules sont soit orange, soit bleues.
On n’a pas le droit de sortir plus d’une boule à la fois. Et on souhaite deviner le nombre de boules orange et le nombre de boules bleues qu’il y a dans l’urne.

Comme on a beaucoup de temps et de patience, et qu’on aime les stats, on répète $5\,000$ fois l’expérience suivante : on tire une boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne.
Un tableur a permis d’obtenir le graphique suivant, qui représente l’évolution des fréquences (courbe orange pour les boules orange, et bleue pour les bleues) en fonction du nombre de tirages :

Courbes des fréquences d’obtention des boules orange et bleues

• On cherche à estimer :
• la probabilité de tirer une boule orange, notée $p(O)$, et celle de tirer une boule bleue, notée $p(B)$ ;
• une répartition plausible des $10$ boules en fonction de leur couleur.

On voit que :

• la fréquence de tirage d’une boule orange se stabilise autour de $0,30$ ;
• logiquement, celle de tirage d’une boule bleue se stabilise autour de $0,70$.
• On peut donc supposer que :
• $p(O)=0,30$ ;
• $p(B)=0,70$.

On a supposé la probabilité de tirer une boule orange égale à $0,30$, soit $\frac 3{10}$. Autrement dit, on a, selon notre hypothèse, $3$ chances sur $10$ de tirer une boule orange.

• Comme il y a $10$ boules au total, on peut supposer que l’urne contienne :
• $3$ boules orange ;
• et donc $10-3=7$ boules bleues.

Attention, en probabilités, on n’affirme rien avec certitude. Ici, nous émettons une hypothèse raisonnable, mais nous ne pouvons pas être certains que la répartition réelle des boules est celle que nous avons donnée.

Expérience aléatoire à deux épreuves

Nous avons travaillé jusqu’ici sur des expériences aléatoires simples, avec une seule étape : lancer un dé et regarder le numéro inscrit sur la face supérieure ; tirer une boule dans une urne et regarder sa couleur.
Nous allons ici étudier des expériences aléatoires constituées de deux étapes, où nous nous intéressons aux résultats de ces deux étapes.

• On parle alors d’expérience aléatoire à deux épreuves.

Exemple

Un sac opaque contient $4$ jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $4$.
On considère l’expérience aléatoire à deux épreuves suivante :

• on tire un premier jeton, on note le chiffre inscrit et on le remet dans le sac ;
• on tire un second jeton et on note le chiffe inscrit ;
• on s’intéresse au nombre formé par ces deux chiffres (le premier jeton donnera donc le chiffre des dizaines, et le second celui des unités).
• Les deux tirages constituent les deux épreuves de l’expérience aléatoire.
• Les issues de cette expérience sont tous les nombres que l’on peut ainsi constituer.

Astuce

Dans cet exemple, on remet dans le sac le premier jeton tiré. On revient donc à la situation initiale pour le tirage de la deuxième boule. Ainsi, le résultat du deuxième tirage ne dépend pas de celui du premier.

• On dit que les épreuves sont indépendantes.

Ce ne serait pas le cas si on ne remettait pas le premier jeton avant de tirer le second. En effet, il y aurait eu un numéro de moins de disponible pour le second tirage. Vous apprendrez au lycée à travailler avec de telles expériences aléatoires.

À retenir

Pour étudier une expérience à deux épreuves, on utilise un tableau à double entrée.

Appliquons cette méthode du tableau à double entrée à l’exemple précédent, pour en comprendre l’utilité.

Exemple

Dans le jeu que nous avons décrit plus haut, on gagne si le nombre formé par les deux numéros obtenus est un multiple de $8$. Quelle est la probabilité de gagner ?

On construit un tableau à double entrée :

• dans la première colonne, on représente les issues possibles de la première épreuve (en violet dans le tableau) ;
• sur la première ligne, on représente celle de la seconde épreuve (en rose dans le tableau).
• Nous obtiendrons, en « croisant » les lignes et les colonnes, l’ensemble des issues possibles.

$$_{\purple{1^{\text{er}}\text{ tirage }\downarrow}}^{\pink{2^{\text{d}}\text{ tirage }\rightarrow}}$$	$\pink 1$	$\pink 2$	$\pink 3$	$\pink 4$
$\purple 1$	$\purple 1\pink 1$	$\purple 1\pink 2$	$\purple 1\pink 3$	$\purple 1\pink 4$
$\purple 2$	$\purple 2\pink 1$	$\purple 2\pink 2$	$\purple 2\pink 3$	$\purple 2\pink 4$
$\purple 3$	$\purple 3\pink 1$	$\purple 3\pink 2$	$\purple 3\pink 3$	$\purple 3\pink 4$
$\purple 4$	$\purple 4\pink 1$	$\purple 4\pink 2$	$\purple 4\pink 3$	$\purple 4\pink 4$

Nous trouvons ainsi les $16$ issues de l’expérience aléatoire. Il y a donc $16$ nombres possibles.
Regardons, parmi ces $16$ nombres, lesquels sont des multiples de $8$.

$$_{\purple{1^{\text{er}}\text{ tirage }\downarrow}}^{\pink{2^{\text{d}}\text{ tirage }\rightarrow}}$$	$\pink 1$	$\pink 2$	$\pink 3$	$\pink 4$
$\purple 1$	$\purple 1\pink 1$	$\purple 1\pink 2$	$\purple 1\pink 3$	$\purple 1\pink 4$
$\purple 2$	$\purple 2\pink 1$	$\purple 2\pink 2$	$\purple 2\pink 3$	$\purple 2\pink 4$
$\purple 3$	$\purple 3\pink 1$	$\purple 3\pink 2$	$\purple 3\pink 3$	$\purple 3\pink 4$
$\purple 4$	$\purple 4\pink 1$	$\purple 4\pink 2$	$\purple 4\pink 3$	$\purple 4\pink 4$

Notons $G$ l’événement : « On gagne ».
Précisons aussi que, comme les jetons sont indiscernables au toucher et qu’on ne peut pas les voir, tous ont les mêmes chances d’être tirés : les issues sont équiprobables.
Il y a donc $2$ issues sur les $16$ (les nombres $24$ et $32$) qui réalisent l’événement $G$. Donc :

$$p(G)=\dfrac 2{16}=\dfrac 18=0,125=12,5\,\%$$

• Il y a donc $12,5\,\%$ de chance de gagner à ce jeu.

Prenons un dernier exemple, pour bien comprendre comment on étudie une expérience aléatoire à deux épreuves.

Exemple

Un couple souhaite avoir deux enfants.
En considérant que la probabilité d’avoir une fille et celle d’avoir un garçon sont égales, nous cherchons à déterminer la probabilité des deux événements suivants :

• $A$ : « Le couple n’a que des filles » ;
• $B$ : « Le couple a au moins un garçon ».

On note $F$ si l’enfant est une fille, et $G$ si c’est un garçon.
Nous construisons le tableau à double entrée correspondant :

$$_{1^{\text{er}}\text{ enfant }\downarrow}^{2^{\text{d}}\text{ enfant }\rightarrow}$$	$F$	$G$
$F$	$FF$	$FG$
$G$	$GF$	$GG$

Il y a donc $4$ issues possibles.
De plus, les probabilités d’avoir une fille ou un garçon étant égales, ces issues sont équiprobables.

• $1$ seule issue réalise l’événement $A$, donc :

$$p(A)=\dfrac 14$$

• On remarque qu’on peut traduire l’événement $B$ : « Le couple a au moins un garçon » par : « Le couple n’a pas que des filles ».

$B$ est donc l’événement contraire de $A$, et nous obtenons :

$$p(B)=p(\overline A)=1-p(A)=1-\dfrac 14=\dfrac 34$$

On peut aussi bien sûr, pour calculer cette probabilité, dénombrer le nombre d’issues qui réalisent $B$, soit $3$ sur $4$.

• La probabilité que le couple n’ait que des filles est de $\frac 14$.
• Celle qu’il ait au moins une fille vaut $\frac 34$.