Calculer et convertir des volumes
Introduction :
L’objectif de ce cours est de mieux connaître les volumes.
Nous verrons dans un premier temps la définition du volume d’un solide et nous donnerons la formule du volume d’un parallélépipède rectangle. Dans un deuxième temps, nous effectuerons des conversions entre les unités de volumes et de contenances et, dans un troisième temps, nous calculerons des volumes dans des situations concrètes.
Définition du volume d’un solide
Définition du volume d’un solide
Définition
Volume d’un solide :
Le volume d’un solide est l’espace qu’occupe l’intérieur de ce solide.
En prenant comme unité un « cube unité », le volume du solide est le nombre de fois que l’on trouve ce « cube unité » à l’intérieur du solide.
À retenir
Le volume peut être exprimé en nombre de « cube unité » ou plus généralement à partir des unités de longueur habituelles (${\mathrm{cm}}^3$, ${\mathrm{m}}^3$) ou encore, s’il agit d’une contenance, à partir des litres ($\text L$).
Exemple
Le cube unité est présent $4\times 5 = 20$ fois sur une épaisseur et le solide a $2$ épaisseurs. Le volume de ce parallélépipède rectangle est donc de $20\times 2 = 40$ cubes unité.
Volume d’un parallélépipède rectangle
Volume d’un parallélépipède rectangle
Le volume du parallélépipède rectangle représenté ci-dessous en perspective cavalière est le produit de ses dimensions exprimées dans la même unité : $V = a\times b \times c$.
À retenir
Quand toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des carrés, le parallélépipède rectangle est un cube. Les longueurs $a$, $b$ et $c$ sont égales, donc le volume de ce cube de côté $a$ est : $V = a\times a\times a = a^3$.
Un parallélépipède rectangle est aussi appelé pavé droit.
Exemple
- Le volume d’un parallélépipède rectangle de dimensions $2\text{ cm}$, $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$ est :
$$V = 2\times 3 \times 4 = 24~{\mathrm{cm}}^3$$
- Le volume d’un cube de côté $2\text{ m}$ est :
$$V' = 2\times 2 \times 2 = 8~{\mathrm{m}}^3$$
Attention
L’unité de volume obtenue est l’unité de longueur commune à toutes les dimensions et exprimée « au cube » : des centimètres ($\text{cm}$) donneront des ${\mathrm{cm}}^3$, des mètres ($\text m$) des ${\mathrm{m}}^3$, etc.
Unités de volume et de contenance, et conversions
Unités de volume et de contenance, et conversions
Unités de volume et de contenance
Unités de volume et de contenance
Les unités de volumes les plus courantes sont le kilomètre cube (${\mathrm{km}}^3$), le mètre cube (${\mathrm{m}}^3$) et le centimètre cube (${\mathrm{cm}}^3$).
La principale unité de contenance est le litre ($\text L$).
Elle est liée aux autres unités de volume par la relation $1\text{ L} = 1~{\mathrm{dm}}^3$.
À retenir
$1~{\mathrm{m}}^3$ correspond au volume d’un cube de $1\text{ m}$ de côté.
Pour convertir un volume d’une unité de volume à la suivante, il faut multiplier ou diviser la valeur numérique par $1\ 000$.
Conversion de volumes et de contenances
Conversion de volumes et de contenances
Pour convertir des volumes ou contenances d’une unité à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion. Convertissons les volumes $1~500~{\mathrm{m}}^3$ et $49,9~{\mathrm{cm}}^3$, et la contenance $2,8\text{ L}$ dans d’autres unités, en commençant par placer ces volumes ou contenances dans un tableau.
On rajoute des zéros puis on place la virgule dans la colonne de l’unité dans laquelle on souhaite effectuer la conversion.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ | ||||||||||||||
| $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$ | |||||||||||||||
| $1$ | $5$ | $0$ | $0$ | $\green 0$ | $\green 0$ | $\green 0$ | ||||||||||||||
| $\green 0$ | $\green 0$ | $4$ | $9\red ,$ | $9$ | ||||||||||||||||
| $\green 0$ | $\green 0$ | $\green 0$ | $2\red ,$ | $8$ | $\green 0$ | $\green 0$ | ||||||||||||||
On obtient par exemple :
- $1~500~{\mathrm{m}}^3 = 1~500~000~{\mathrm{dm}}^3 = 1,5~{\mathrm{dam}}^3$ ;
- $49,9~{\mathrm{cm}}^3 = 0,0499~{\mathrm{dm}}^3$ ;
- $49,9~{\mathrm{cm}}^3 = 0,0499\text{ L} = 4,99\text{ cL}$ car $1~{\mathrm{dm}}^3 = 1\text{ L}$ ;
- $2,8\text{ L} = 28\text{ dL} = 0,028\text{ hL}= 2\ 800\text{ mL}$ ;
- $2,8\text{ L} = 2,8~{\mathrm{dm}}^3= 0,0028~{\mathrm{m}}^3$ car $1\text{ L} = 1 {\mathrm{dm}}^3$.
Exemples de calculs de volume
Exemples de calculs de volume
Exemple
Pour réaliser un muret, une bricoleuse utilise $400$ parpaings de dimensions $50\text{ cm} \times 20\text{ cm} \times 10\text{ cm}$ identiques à celui représenté ci-dessous.
Calculons le volume de chaque parpaing, puis celui du muret entier.
- Le volume de chaque parpaing est celui d’un parallélépipède rectangle de dimensions $50\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$ :
$$V = 10\times 20 \times 50 = 10~000~{\mathrm{cm}}^3 = 10~{\mathrm{dm}}^3$$
- Le volume du muret est :
$$V'= 400\times 10 = 4~000~{\mathrm{dm}}^3 = 4~{\mathrm{m}}^3$$
Une cuve de récupération d’eau de pluie a la forme d’un pavé droit dont les dimensions sont indiquées ci-dessous.
Calculons le volume de cette cuve en litres.
- Le volume de cette cuve est celui d’un parallélépipède rectangle de dimensions $50\text{ cm}$, $60\text{ cm}$ et $1\text{ m} = 100\text{ cm}$ :
$$V = 50\times 60 \times 100 = 300~000~{\mathrm{cm}}^3 = 300~{\mathrm{dm}}^3 = 300\text{ L}$$
Le local d’une entreprise a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur $6,40\text{ m}$, de largeur $5,20\text{ m}$ et de hauteur sous plafond $2,80\text{ m}$.
Calculons le volume de ce local.
- Le volume de ce local est celui d’un parallélépipède rectangle de dimensions $2,80\text{ m}$, $6,40\text{ m}$ et $5,20\text{ m}$ :
$$V = 2,80\times 6,40 \times 5,20 = 93~184~{\mathrm{m}}^3$$
Conclusion :
Nous avons vu dans ce cours que le volume d’un solide est l’espace qu’occupe l’intérieur de ce solide dans une unité donnée. Nous avons également vu la formule donnant le volume d’un parallélépipède rectangle, appelé aussi pavé droit, qui est le produit de ses trois dimensions. Enfin, nous avons effectué des conversions entre les différentes unités de volumes et de contenances.