Cours : Caractéristiques des triangles

Rappel

Définition

Triangle :

Un triangle est un polygone particulier possédant trois côtés. La somme de ses angles vaut $180\degree$.

Rappel

Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par différents segments. Un polygone est dit régulier si l’ensemble de ses angles sont égaux les uns aux autres.

Rappelons maintenant les droites particulières relatives au triangle.

Les médianes

Le triangle possède trois médianes se coupant au niveau du centre de gravité $O$ du triangle.

Définition

Médiane :

Une médiane joint un sommet et le milieu du côté opposé.

Le centre de gravité se situe sur la médiane au $1/3$ du milieu d’un côté et au $2/3$ en partant du sommet. Si on place son doigt sous le centre de gravité d’un triangle fait dans un matériau rigide, alors il sera en équilibre.

Les bissectrices

Un triangle possède également trois bissectrices se coupant au centre $O$ du cercle inscrit du triangle.

Définition

Bissectrice :

Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux.

Les bissectrices s’utilisent dès qu’on est en présence d’un angle. Autrement dit, elles ne sont pas propres au triangle.

Définition

Cercle inscrit :

Le cercle inscrit d’un triangle est un cercle tangent à ses trois côtés.

Les médiatrices

Dans un triangle, nous trouvons également trois médiatrices se coupant au centre $O$ du cercle circonscrit du triangle.

Définition

Médiatrice :

Une médiatrice coupe le segment en son milieu de manière perpendiculaire.

On notera que tous les points situés sur la médiatrice d’un segment sont situés à équidistance des extrémités de ce segment.

Comme les bissectrices, les médiatrices ne s’utilisent pas que dans les triangles mais s’appliquent sur tout segment.

Définition

Cercle circonscrit :

Le cercle circonscrit à un triangle est un cercle passant par les trois sommets du triangle.

Les hauteurs

Un triangle possède trois hauteurs concourantes en un point nommé orthocentre.

Définition

Hauteur :

Une hauteur joint un sommet du triangle à son côté opposé perpendiculairement.

Voyons à présent le cas d’un triangle particulier, dit remarquable : le triangle rectangle.

Triangle rectangle

Définition

Triangle rectangle :

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est nommé hypoténuse.

Ce triangle possède plusieurs propriétés souvent exploitées dans les exercices de géométrie.

Activités :

• On trace un triangle $ABC$ rectangle en $A$.
  On trace les médiatrices du triangle.
  Le centre du cercle circonscrit se situe au milieu de l’hypoténuse.

On peut par conséquent dire que l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.

• On trace à présent un cercle de diamètre $[BC]$.
  On place un point $A$ sur le cercle.
  On trace le triangle $ABC$.

• On constate que le triangle est un triangle rectangle en A.

Propriété

• Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle se situe au milieu de son hypoténuse.
• Si on joint les extrémités du diamètre d’un cercle à un point de ce même cercle alors le triangle obtenu est un triangle rectangle en ce dernier point et son hypoténuse est le diamètre du cercle.
• La longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse. En effet les trois sommets du triangle se situent sur le cercle circonscrit et donc à équidistance du centre. Or le centre du cercle circonscrit, qui est le point situé au milieu de l’hypoténuse, est également le pied de la médiane issue de l’angle droit.
• Si dans un triangle la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté est égale à la moitié de ce grand côté, alors le triangle est rectangle.

Nous allons à présent nous intéresser à un autre triangle remarquable qu’est le triangle isocèle.

Triangle isocèle

Définition

Triangle isocèle :

Un triangle isocèle possède un axe de symétrie, deux côtés de même longueur et deux angles de même mesure.

Propriété

Un triangle possédant deux angles égaux est isocèle.

Activité :

• On trace un triangle $ABC$ isocèle en $A$.
• On trace les médianes, les médiatrices, les bissectrices et les hauteurs en rouge.

On constate que pour le triangle isocèle, les hauteurs, les médianes, les médiatrices, et les bissectrices issues de $A$ sont confondues.
Si on plie la feuille sur ce segment, on constate qu’il s’agit de l’axe de symétrie du triangle.

Cette activité nous conduit à la propriété suivante :

Propriété

Soit un triangle $ABC$ isocèle en $A$ (c’est-à-dire que $AB=AC$).
La hauteur et la médiane issues de $A$, la médiatrice de $[BC]$ et la bissectrice de $\widehat{BAC}$ sont confondues.

Voyons un autre triangle remarquable qu’est le triangle équilatéral.

Triangle équilatéral

Définition

Triangle équilatéral :

Un triangle équilatéral possède trois axes de symétries, trois côtés de même longueur et trois angles de même mesure ($60\degree$).

Propriété

Un triangle possédant deux angles de $60\degree$ est équilatéral.

Activité :

• On trace un triangle équilatéral.
• On trace les médianes, les médiatrices, les bissectrices et les hauteurs.

On constate que les hauteurs, les médianes, les médiatrices, et les bissectrices sont confondues.
Si on plie la feuille sur ces segments, on constate que ce sont les axes de symétrie du triangle.

Cette activité nous conduit à la propriété suivante :

Propriété

Soit un triangle $ABC$ équilatéral.

• La hauteur et la médiane issues de $A$, la médiatrice de $[BC]$ et la bissectrice de $\widehat{BAC}$ sont confondues.
• La hauteur et la médiane issues de $B$, la médiatrice de $[AC]$ et la bissectrice de $\widehat{ABC}$ sont confondues.
• La hauteur et la médiane issues de $C$, la médiatrice de $[AB]$ et la bissectrice de $\widehat{ACB}$ sont confondues.
• Le centre de gravité de $ABC$, le centre de son cercle circonscrit et celui de son cercle inscrit sont confondus.