Cours : Cinématique du point

Attention

Ici, afin de simplifier l’approche et les notions, nous travaillerons uniquement dans le plan. Vous découvrirez plus tard, dans les niveaux supérieurs, comment généraliser de telles études dans l’espace.

• Dans toutes les parties du cours, sauf indication différente, nous nous plaçons dans un repère orthonormé direct $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, que nous nommons $\mathcal R$.

Pour alléger le cours, nous donnons ici les unités dans lesquelles seront exprimées les grandeurs :

• les temps en seconde : $\text{s}$ ;
• les distances en mètre : $\text{m}$ ;
• les angles en radian : $\text{rad}$ ;
• les vitesses linéaires en mètre par seconde : $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• les vitesses angulaires en radian par seconde : $\text{rad}\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• les accélérations linéaires en mètre par seconde au carré : $\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$ ;
• les accélérations angulaires en radian par seconde au carré : $\text{rad}\cdot \text{s}^{-2}$.

Enfin, la notion de dérivée sera importante pour bien comprendre le cours. Vous pouvez accéder au cours de mathématiques correspondant : Dérivation

Caractéristiques d’un mouvement

Pour décrire le mouvement d’un point, nous avons besoin de caractériser sa trajectoire, sa vitesse et son accélération.

• Le mouvement est une notion relative, c’est-à-dire qu’un objet se déplace toujours par rapport à un autre pris comme repère. Ce repère est appelé référentiel.
• En outre, la position d’un point variant dans le temps, il nous faut également un repère de temps : nous définirons donc un temps « de départ » $t_0=0\ \text{s}$.

Trajectoire et repères

La trajectoire d’un point $A$ appartenant à un solide $S$ est la ligne décrite par les positions successives occupées par le point au cours de son mouvement

Définition

Vecteur position :

Soit $M$ la position du point $A$ à l’instant $t$.

La position d’un point est alors indiquée par le vecteur position $\overrightarrow{OM\ }$.
Ses composantes dans $\mathcal R$ sont fonction du temps :

$$\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}_\mathcal R$$

• $\overrightarrow{OM\ }=x(t)\cdot \vec \imath + y(t)\cdot \vec \jmath$

Exemple

Considérons le vecteur position $\overrightarrow{OM\ }$ qui a pour composantes les fonctions du temps suivantes :

$$\overrightarrow{OM\ }\begin{pmatrix} x(t) = 2\times t \\ y(t)=5\times t^2 + 4 \end{pmatrix}_\mathcal R$$

• Pour tout instant $t$, nous pouvons ainsi définir la position du point $A$.

Les équations $ x(t) = 2\times t$ et $ y(t)=5\times t^2 + 4$ sont appelées équations paramétriques, ou horaires, du mouvement.

Par exemple, à $t = 2\ \text{s}$ :

$$\overrightarrow{OM\ }\begin{pmatrix} 2\times 2 = 4 \\ 5\times 2^2 + 4 = 24 \end{pmatrix}_\mathcal R$$

• À $t=2\ \text{s}$, le point $A$ du solide $S$ sera au point de coordonnées $(4\ ;\,24)$.

Nous venons de donner les coordonnées cartésiennes du vecteur position, mais, parfois, il sera plus simple de caractériser une position avec un angle et une distance.

Exemple

Le mouvement d’un pendule, par exemple, est plus simplement décrit avec une distance et un angle qu’avec les cordonnées cartésiennes.

• Nous pouvons alors aussi définir le vecteur position avec des coordonnées polaires.

Pour cela, nous munissons une droite du plan d’un repère $(O\ ;\,\vec \imath\,)$, que nous notons $\mathcal D$.
La position de $A$ à l’instant $t$ sera alors définie par :

• la distance, notée $\rho$, de $O$ à $M$ (appelée coordonnée radiale),
• la mesure de l’angle orienté, notée $\theta$, formé par $\overrightarrow{OM\ }$ et $\vec \imath$ (appelé coordonnée angulaire, ou azimuth).

À retenir

Nous obtenons donc, pour le vecteur position $\overrightarrow{OM\ }$ :

$$\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} \rho(t) \\ \theta(t) \end{pmatrix}_\mathcal D=\left\Vert \overrightarrow{OM\ }\right\Vert\cdot \vec u$$

Avec $\vec u$ le vecteur de norme $1$, porté par la droite $(OM)$ et dirigé vers $M$, tel que $(\vec \imath,\, \vec u)=\theta$.

Nous allons maintenant découvrir une nouvelle notion : l’abscisse curviligne.

Définition

Abscisse curviligne :

Soit $M_0$ la position de $A$ à l’instant $t_0$ fixé, et $M$ sa position à l’instant $t$. Choisissons aussi un sens positif, par exemple de $M_0$ vers $M$.

L’abscisse curviligne, notée $s$, est la mesure algébrique de l’arc $\overset{\Large{\frown}}{M_0M}$, c’est-à-dire la mesure algébrique de la distance parcourue par $A$ entre $M_0$ et $M$.

• Elle est fonction du temps.

Attention

Il nous faut bien sûr connaître la trajectoire pour pouvoir utiliser l’abscisse curviligne.

Vitesse instantanée

Nous allons maintenant nous intéresser à la vitesse instantanée de $A$ à l’instant $t$.

Définition

Vecteur vitesse instantanée :

Soit $M$ la position du point $A$ à l’instant $t$, et $M^{\prime}$ sa position à l’instant $t^{\prime} = t+\Delta t$.

Alors, à l’instant $t$, le vecteur vitesse instantanée $\vec v_{A\in S / \mathcal R}$ se définit ainsi :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) &= \lim\limits_{t^{\prime} \to t} \dfrac {\overrightarrow{MM^{\prime}\ }}{t^{\prime} - t} \\ &= \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac {\overrightarrow{MM^{\prime}\ }}{\Delta t} \\ &= \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac {\overrightarrow{OM^\prime\ }-{\overrightarrow{OM\ }}}{\Delta t} \\ &=\left(\dfrac{\text{d} \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t}\right)_\mathcal R \end{aligned}$$

À retenir

• Le vecteur vitesse instantanée est portée par la tangente à la trajectoire en $M$.
• Il est orienté dans le sens du mouvement.

Nous obtenons ainsi les composantes du vecteur vitesse instantanée :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} x^{\prime} (t) \\ y^{\prime} (t) \end{pmatrix}_\mathcal R&=\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} \dfrac{\text dx}{\text dt} \\ \\ \dfrac{\text dy}{\text dt} \end{pmatrix}_\mathcal R \\ &=\dfrac{\text dx}{\text dt}\cdot \vec \imath + \dfrac{\text dy}{\text dt} \cdot \vec \jmath \end{aligned}$$

Exemple

Reprenons notre exemple précédent :

$$\overrightarrow{OM\ }\begin{pmatrix} x(t) = 2\times t \\ y(t)=5\times t^2 + 4 \end{pmatrix}_\mathcal R$$

Nous obtenons les composantes du vecteur vitesse instantané en dérivant les équations horaires :

$$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} x^{\prime} (t)=2 \\ y^{\prime} (t)=10t \end{pmatrix}_\mathcal R$$

À $t=2\ \text{s}$, le vecteur vitesse a pour composantes :

$$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(2) \begin{pmatrix} x^{\prime} (2) = 2 \\ y^{\prime} (2)=20 \end{pmatrix}_\mathcal R$$

Astuce

Pour alléger les écritures, on utilise souvent les notations $\dot x$ et $\dot y$ pour indiquer les dérivées par rapport au temps.

• Nous pouvons ainsi écrire :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) &= x^\prime(t)\cdot \vec \imath + y^\prime(t)\cdot \vec \jmath \\ &= \dfrac {\text d x}{\text d t}\cdot \vec \imath\ + \dfrac {\text d y}{\text d t}\cdot \vec \jmath\ \\ &=\dot x\cdot \vec \imath\ + \dot y \cdot\, \vec \jmath \end{aligned}$$

Repère de Frenet et vecteur vitesse instantanée

Nous venons d’exprimer le vecteur vitesse instantanée par rapport à $\mathcal R$. Il est intéressant de l’exprimer dans un autre repère, appelé repère de Frenet.

Définition

Repère de Frenet :

Soit $M$ la position du point $A$ de $S$ à l’instant $t$.

Ce repère se présente sous la forme $\left(M\ ;\,\vec T,\, \vec N\right)$ :

• il a pour origine le point mobile $M$ ;
• $\vec T$ est le vecteur unitaire tangent à la courbe au point $M$, orienté dans le sens du mouvement ;
• $\vec N$ est le vecteur unitaire orthogonal à $\vec T$, orienté vers l’intérieur de la courbure de la trajectoire.
• Le repère de Frenet se déplace donc avec notre point $A$ et change selon la trajectoire.

Exprimons maintenant le vecteur vitesse instantanée avec $\vec T$ et $\vec N$, sachant qu’il est porté par la tangente à la trajectoire au point $M$ :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&= v\cdot \vec T + 0\cdot \vec N \\ &= v\cdot \vec T \end{aligned}$$

Où $v$ est la vitesse linéaire de $A$ en $M$.

À retenir

Le vecteur vitesse instantanée peut s’écrire :

$$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) = \dfrac {\text{d}s}{\text{d}t}\cdot \vec T$$

Où $s$ est l’abscisse curviligne.

Vecteur accélération instantanée

À l’instant $t$, nous connaissons la position et la vitesse instantanée du point $A$.

• Il nous reste à définir le vecteur accélération.

Définition

Vecteur accélération instantanée :

Soit $\vec v$ le vecteur vitesse instantanée du point $A$ à l’instant $t$, et $ \overrightarrow {v^\prime\ }$ son vecteur vitesse instantanée à l’instant $t^{\prime} = t+\Delta t$.

Alors, à l’instant $t$, le vecteur accélération instantanée $\vec a_{A\in S / \mathcal R}$ se définit ainsi :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) &= \lim\limits_{t^{\prime} \to t} \dfrac {\overrightarrow{v^{\prime}\ }-\vec v}{t^{\prime} - t} \\ &= \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac {\overrightarrow{v^{\prime}\ }-\vec v}{\Delta t} \\ &=\left(\dfrac{\text{d} \vec v}{\text{d}t}\right)_\mathcal R \\ &=\left(\dfrac{\text{d}^2\ \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t^2}\right)_\mathcal R \end{aligned}$$

Avec $\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \end{pmatrix}$, nous obtenons ainsi les composantes du vecteur accélération instantanée :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} v_x^{\prime} (t) \\ v_y^{\prime} (t) \end{pmatrix}_\mathcal R&= \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} \dfrac{\text dv_x}{\text dt} \\ \\ \dfrac{\text dv_y}{\text dt} \end{pmatrix}_\mathcal R \\&= \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} \dfrac{\text d^2x}{\text dt^2} \\ \\ \dfrac{\text d^2y}{\text dt^2} \end{pmatrix}_\mathcal R \\ &=\dfrac{\text d^2x}{\text dt^2}\cdot \vec \imath + \dfrac{\text d^2y}{\text dt^2} \cdot \vec \jmath \end{aligned}$$

Exemple

Reprenons notre exemple précédent :

$$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} v_x(t)= 2 \\ v_y(t)= 10t \end{pmatrix}_\mathcal R$$

Nous obtenons les composantes du vecteur accélération instantanée en dérivant les composantes :

$$\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} v_x^{\prime} (t)=0\\ v_y^{\prime} (t)=10 \end{pmatrix}_\mathcal R$$

Pour tout $t$, le vecteur accélération instantanée est constant et est égal à $10\vec \jmath$.

Astuce

Comme pour le vecteur vitesse instantanée, nous pouvons alléger les écritures, en utilisant les notations $\dot v_x$ et même $\ddot x$ pour indiquer les dérivées et les dérivées secondes par rapport au temps.

• Nous pouvons ainsi écrire :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) &= \dfrac {\text d v_x(t)}{\text d t}\cdot \vec \imath\ + \dfrac {\text d v_y(t)}{\text d t}\cdot \vec \jmath\ \\ &=\dot v_x\cdot \vec \imath\ + \dot v_y \cdot\, \vec \jmath \\ &= \dfrac {\text d^2 x(t)}{\text d t^2}\cdot \vec \imath\ + \dfrac {\text d^2 y(t)}{\text d t^2}\cdot \vec \jmath\ \\ &=\ddot x\cdot \vec \imath\ + \ddot y \cdot\, \vec \jmath \\ \end{aligned}$$

Repère de Frenet et vecteur accélération instantanée

Comme pour le vecteur vitesse, exprimons le vecteur accélération instantanée dans un repère de Frenet $\left(M\ ;\,\vec T,\,\vec N\right)$.

• Nous cherchons donc à exprimer la vecteur vitesse accélération instantanée sous la forme :

$$\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) = a_T\cdot \vec T + a_N\cdot \vec N$$

Nous allons donc repartir de l’expression du vecteur vitesse instantanée :

$$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) = v\cdot \vec T $$

• Commençons par la définition d’une nouvelle notion, sans entrer dans le détail.

Pour $\Delta t$ très petit, nous pouvons approcher l’arc de la trajectoire parcourue par un arc de cercle de rayon $R$, appelé rayon de courbure de la trajectoire en $M$.

• Dans le cas d’une trajectoire circulaire, comme nous le verrons plus tard, le rayon de courbure sera le rayon du cercle de la trajectoire.

Nous avons alors la propriété suivante (que nous ne démontrerons pas ici) :

Propriété

$\left(\dfrac{\text d \vec T}{\text d t}\right)_\mathcal R=\dfrac{v}R\cdot \vec N$

• Ainsi, nous calculons :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) &= \left(\dfrac {\text{d}(v\cdot \vec T)}{\text{d}t}\right)_\mathcal R \\ &= \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + v\cdot \left(\dfrac{\text d \vec T}{\text d t}\right)_\mathcal R \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par produit des dérivées]}}} \\ &= \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + v\cdot\left( \dfrac{v}{R}\cdot \vec N\right) \\ &= \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + \dfrac{v^2}{R}\cdot \vec N \end{aligned}$$

À retenir

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération instantanée s’exprime :

$$\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)=a_T\cdot \vec T + a_N\cdot \vec N$$

Avec :

• $a_T=\dfrac {\text d v}{\text d t}$
• Il s’agit de la composante tangentielle, qui résulte de la variation de la valeur de la vitesse.
• $a_N=\dfrac{v^2}{R}$
• Il s’agit de la composante normale, qui résulte de la variation de la direction du vecteur vitesse.

De cette formule, nous pouvons déduire :

• le vecteur accélération est normal à la trajectoire s’il s’agit d’un mouvement uniforme (le vecteur vitesse instantanée reste constant dans le temps, sa dérivée est donc nulle) ;
• la composante normale est nulle s’il s’agit d’un mouvement rectiligne (le rayon de courbure $R$ tend alors vers $+\infty$).

Translation rectiligne

Forts de ces formules que nous venons de découvrir (ou de redécouvrir), nous allons nous intéresser à deux types de mouvements simples : la translation rectiligne uniforme et la translation rectiligne uniformément variée.

Translation rectiligne uniforme

Soit un solide $S$ en translation rectiligne uniforme.

• Tous les points appartenant à ce solide ont pour trajectoire des droites parallèles.
• Connaître le mouvement d’un seul point $A$ appartenant à $S$ suffit à décrire le mouvement du solide.
• À chaque instant $t$, le vecteur vitesse instantanée est constant (i.e. il a la même direction, le même sens et la même norme) : $\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)=\vec v_0$.
• Nous plaçons le repère de telle façon que la direction de $\vec \imath$ soit portée par la trajectoire du point $A$ auquel nous nous intéressons.

À retenir

Soit le point $M_0$, d’abscisse $x_0$, la position de $A$ à l’instant initial $t=0$.
Soit le point $M$ la position de $A$ à l’instant $t$.
Soit $v_0$ la vitesse linéaire, constante.

• L’équation horaire est alors de la forme :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x(t)\cdot \vec \imath \\ &= (v_0t+x_0)\cdot \vec \imath \end{aligned}$$

• En dérivant l’équation horaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de la vitesse :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot x\cdot \vec \imath \\ &=\dfrac {\text{d}(v_0t+x_0)}{\text{d}t}\cdot \vec \imath \\ &=v_0\cdot \vec\imath \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } v_0 \text{ et } x_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}$$

• Le mouvement étant rectiligne et uniforme, le vecteur accélération instantanée sera nul à tout instant $t$ :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot v\cdot \vec \imath \\ &=\dot v_0\cdot \vec \imath \\ &=\vec 0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } v_0 \text{ est une constante]}}} \end{aligned}$$

Prenons un exemple, pour montrer comment exprimer concrètement, à partir d’une équation horaire, le vecteur vitesse instantanée et le vecteur accélération instantanée.

Exemple

Étudions le mouvement qui a pour équation horaire : $3t+4$.

• Nous pouvons déterminer la position de $A$, le vecteur vitesse instantanée et le vectuer accélération instantanée en fonction du temps :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ }&=(3t+4)\cdot \vec \imath \\ \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&=3\cdot \vec \imath \\ \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)&=\vec 0 \end{aligned}$$

Trajectoire (translation rectiligne uniforme)

• Le graphe du mouvement, qui donne la position de $A$ en fonction du temps, sera la droite d’équation $x=3t+4$.
• Il s’agit d’une fonction affine.

Graphe du mouvement (translation rectiligne uniforme)

• Le graphe de la vitesse, constante, sera la droite horizontale d’équation $v=3$.
• Le graphe de l’accélération, nulle, sera la droite horizontale d’équation $a=0$.

Translation rectiligne uniformément variée

Soit un solide $S$ en translation rectiligne uniformément variée.

• Tous les points appartenant à ce solide ont pour trajectoire des droites parallèles.
• Connaître le mouvement d’un seul point $A$ appartenant à $S$ suffit à décrire le mouvement du solide.
• À chaque instant $t$, le vecteur vitesse instantanée a la même direction et le même sens.
• À chaque instant $t$, le vecteur accélération instantanée est constant (i.e. il a la même direction, le même sens et la même norme : $\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)=\vec a_0$.
• Nous plaçons le repère de telle façon que la direction de $\vec \imath$ soit portée par la trajectoire du point $A$ auquel nous nous intéressons.

À retenir

Soit le point $M_0$, d’abscisse $x_0$, la position de $A$ à l’instant initial $t=0$.
Soit le point $M$ la position de $A$ à l’instant $t$.
Soit $v_0$ la vitesse linéaire à l’instant $t=0$.
Soit $a_0$ l’accélération linéaire, constante.

• L’équation horaire est alors de la forme :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x(t)\cdot \vec \imath \\ &= \left(\dfrac 12 \,a_0\,t^2+v_0t+x_0\right)\cdot \vec \imath \end{aligned}$$

• Dérivons l’équation horaire par rapport au temps :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot x\cdot \vec \imath \\ &=\dfrac {\text{d}\left(\frac 12\,a_0\,t^2+v_0t+x_0\right)}{\text{d}t}\cdot \vec \imath \\ &=(a_0\,t + v_0)\cdot \vec\imath \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } a_0,\ v_0 \text{ et } x_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}$$

• En dérivant le vecteur vitesse instantanée par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de l’accélération :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot v\cdot \vec \imath \\ &=\dfrac {\text{d}(a_0\,t+v_0)}{\text{d}t}\cdot \vec \imath \\ &=a_0\cdot \vec \imath \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } a_0 \text{ et }v_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}$$

Comme pour la translation rectiligne uniforme, nous allons prendre un exemple.

Exemple

Étudions le mouvement qui a pour équation horaire : $t^2+2t+1$.

• Nous pouvons déterminer la position de $A$, le vecteur vitesse instantanée et le vecteur accélération instantanée en fonction du temps :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ }&=(t^2+2t+1)\cdot \vec \imath \\ \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&=(2t+2)\cdot \vec \imath \\ \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)&=2\cdot \vec \imath \end{aligned}$$

Trajectoire (translation rectiligne uniformément variée)

• Le graphe du mouvement, qui donne la position de $A$ en fonction du temps, sera la parabole d’équation $x=t^2+2t+1$.
• Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré.

Graphe du mouvement (translation rectiligne uniformément variée)

• Le graphe de la vitesse, qui donne la vitesse de $A$ en fonction du temps, sera la droite d’équation $v=2t+2$.
• Il s’agit d’une fonction affine.

Graphe de la vitesse (translation rectiligne uniformément variée)

• Le graphe de l’accélération, constante, sera la droite horizontale d’équation $a=2$.

Mouvement circulaire

Dans cette dernière partie, nous allons étudier les mouvements circulaires : la trajectoire du point forme un cercle parfait. Là aussi, nous nous intéresserons aux mouvement circulaires uniformes et uniformément variés.

• Pour ce faire, nous allons d’abord définir l’abscisse angulaire et la vitesse angulaire.

Attention

Dans la suite de ce cours, nous considérons que le point $A$ tourne dans le sens direct (trigonométrique, c’est-à-dire antihoraire).

Abscisse angulaire et vitesse angulaire

Soit $M$ la position, à l’instant $t$, d’un point $A$ appartenant à un solide $S$ en rotation autour d’un point $O$.

• Sa trajectoire est un cercle de centre $O$ et de rayon $OM=R$.

Nous allons ici travailler avec les coordonnées polaires, que nous avons définies dans la première partie :

• $\rho(t)$ est une constante, car la trajectoire est circulaire, et est donc égal à $R$ ;
• $\theta(t)$ permettra donc de définir la position de $A$ à tout instant $t$.

À retenir

$\theta(t)$ est l’abscisse angulaire.

Considérons maintenant $s(t)$, l’abscisse curviligne du point $A$ en fonction du temps.

À retenir

Toujours parce que la trajectoire est un cercle, de rayon $R$, nous pouvons écrire l’équation horaire suivante :

$$s(t)=R\cdot\theta(t)$$

Lorsque nous avons étudié le repère de Frenet, nous avons vu la relation qui nous permet d’écrire, avec $v(t)$ la vitesse linéaire du point $A$ à l’instant $t$ :

$$\begin{aligned} v(t)&=\dfrac{\text{d}s}{\text{d}t} \\ &=\dfrac{\text{d}(R\cdot\theta)}{\text{d}t} \\ &=R\cdot \dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}t} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }R\text{ est constant]}}}\\ &=R\cdot \dot \theta \end{aligned}$$

À retenir

$\dot \theta$ est par définition la vitesse angulaire, que nous notons $\omega$ :

$$v(t)=R\omega(t)$$

Mouvement circulaire uniforme

Un point est en mouvement circulaire uniforme si sa vitesse angulaire $\omega$ est constante.

À retenir

Soit le point $M_0$, d’abscisse angulaire $\theta_0$, la position de $A$ à l’instant initial $t=0$.
Soit le point $M$, d’abscisse angulaire $\theta$, la position de $A$ à l’instant $t$.
Soit $\omega_0$ la vitesse angulaire, constante, du point $A$.

• L’équation horaire peut s’écrire sous la forme :

$$\theta(t) = \omega_0t+\theta_0$$

La fonction $\theta\,:\,t\mapsto \omega_0t + \theta_0$ qui nous donnera la position de $A$ en fonction du temps, est une fonction affine.

À retenir

En dérivant l’équation horaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de la vitesse angulaire :

$$\begin{aligned} \omega(t)&=\dot \theta \\ &=\dfrac {\text{d}(\omega_0t+\theta_0)}{\text{d}t} \\ &=\omega_0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \omega_0 \text{ et } \theta_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}$$

La courbe représentative de la fonction $\omega\,:\,t\mapsto \omega_0$, qui donne la vitesse angulaire de $A$ en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation $y=\omega_0$.

À retenir

Le mouvement étant uniforme, l’accélération angulaire $\dot \omega$ sera nulle à tout instant $t$ :

$$\begin{aligned} \dot \omega(t)&=\dfrac {\text{d}\omega_0}{\text{d}t} \\ &=0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \omega_0 \text{ est une constante]}}} \end{aligned}$$

La courbe représentative de la fonction $\dot \omega\,:\,t\mapsto 0$, qui donne l’accélération angulaire de $A$ en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation $y=0$.

Mouvement circulaire uniformément varié

Un point est en mouvement circulaire uniformément variée si son accélération angulaire $\dot \omega$ est constante.

À retenir

Soit le point $M_0$, d’abscisse angulaire $\theta_0$, la position de $A$ à l’instant initial $t=0$.
Soit le point $M$ la position de $A$ à l’instant $t$.
Soit $\omega_0$ la vitesse angulaire à l’instant $t=0$.
Soit $\dot \omega_0$ l’accélération angulaire, constante, de $A$ à l’instant $t=0$.

• L’équation horaire est alors de la forme :

$$\theta(t) = \dfrac 12 \,\dot\omega_0\,t^2+\omega_0t+\theta_0$$

La fonction $\dfrac 12 \,\dot\omega_0\,t^2+\omega_0t+\theta_0$ qui nous donnera la position de $A$ en fonction du temps, est une fonction polynôme du second degré.

• La courbe représentative sera une parabole.

À retenir

Dérivons l’équation horaire par rapport au temps :

$$\begin{aligned} \omega(t)&=\dfrac {\text{d}(\frac 12 \,\dot\omega_0\,t^2+\omega_0t+\theta_0)}{\text{d}t} \\ &=\dot\omega_0\ t+\omega_0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \omega_0\ \text{et}\ \theta_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}$$

La fonction $\omega\,:\,t\mapsto \dot \omega_0\,t + \omega_0$, qui donne la vitesse angulaire de $A$ en fonction du temps, est une fonction affine.

À retenir

En dérivant la vitesse angulaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de l’accélération angulaire :

$$\begin{aligned} \dot \omega(t)&=\dfrac {\text{d}(\dot \omega_0\,t + \omega_0)}{\text{d}t} \\ &=\dot \omega_0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \dot\omega_0 \text{ et } \omega_0\text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}$$

La courbe représentative de la fonction $\dot \omega\,:\,t\mapsto \dot \omega_0$, qui donne l’accélération angulaire de $A$ en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation $y=\dot \omega_0$.

Vitesse et accélération linéaires

Dans les deux paragraphes précédents, nous avons décrit la trajectoire de $A$ grâce aux vitesse et accélération angulaires.
Pour être complets, il nous faut aussi donner les expressions des vecteurs vitesse et accélération.

• Le tableau suivant nous donne ces expressions.

Elles se déduisent des formules que nous avons vues jusqu’ici, notamment de celles avec le repère de Frenet.

À retenir

Mouvement…	circulaire uniforme	circulaire uniformément varié
Équation horaire	$s(t)=v_0t+s_0$	$s(t)=\dfrac 12 a_0t^2+ v_0t+s_0$
$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)$	$\omega_0 R\cdot \vec T$	$R(\dot\omega_0t+\omega_0)\cdot \vec T$
$\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t)$	$\omega_0^2R\cdot \vec N$	$\dot \omega_0R\cdot \vec T+R(\dot\omega_0t+\omega_0)^2\cdot \vec N$