Fiche de révision : Cinématique du point

• Sauf indication contraire, nous nous plaçons dans un repère orthonormé direct $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, noté $\mathcal R$.

Caractéristiques d’un mouvement

• Soit $M$ la position du point $A$ à l’instant $t$.
• $\overrightarrow{OM\ }$ est le vecteur position :

$$\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}_\mathcal R=x(t)\cdot \vec \imath + y(t)\cdot \vec \jmath$$

• Coordonnées polaires du vecteur position dans un repère $(O\ ;\,\vec \imath\,)$, noté $\mathcal D$ :

$$\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} \rho(t) \\ \theta(t) \end{pmatrix}_\mathcal D$$

• $\rho$, distance de $O$ à $M$ (coordonnée radiale),
• $\theta=\left(\vec i,\, \overrightarrow{OM\ }\right)$ (coordonnée angulaire).
• Soit $M_0$ la position de $A$ à l’instant $t_0$ fixé, et $M$ sa position à l’instant $t$.
• L’abscisse curviligne $s$ est la mesure algébrique de la distance parcourue par $A$ entre $M_0$ et $M$.
• Soit $M$ la position du point $A$ à l’instant $t$, et $M^{\prime}$ sa position à l’instant $t^{\prime} = t+\Delta t$.
• Le vecteur vitesse instantanée $\vec v_{A\in S / \mathcal R}$ se définit ainsi :

$$\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) =\left(\dfrac{\text{d} \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t}\right)_\mathcal R = \dot x\cdot \vec \imath + \dot y\cdot \vec \jmath$$

• Le vecteur vitesse instantanée est portée par la tangente à la trajectoire en $M$.
• Il est orienté dans le sens du mouvement.
• Dans un repère de Frenet $\left(M\ ;\,\vec T,\, \vec N\right)$, le vecteur vitesse instantanée s’écrit :

$$\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&= v\cdot \vec T\\ &= \dfrac {\text{d}s}{\text{d}t}\cdot \vec T \end{aligned}$$

• $v$ est la vitesse linéaire de $A$ en $M$.
• $s$ est l’abscisse curviligne.
• Soit $M$ la position du point $A$ à l’instant $t$, et $M^{\prime}$ sa position à l’instant $t^{\prime} = t+\Delta t$.
• Le vecteur accélération instantanée $\vec a_{A\in S / \mathcal R}$ se définit ainsi :

$$\begin{aligned} \vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) &=\left(\dfrac{\text{d} \vec v}{\text{d}t}\right)_\mathcal R \\ &=\left(\dfrac{\text{d}^2\ \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t^2}\right)_\mathcal R = \ddot x\cdot \vec \imath + \ddot y\cdot \vec \jmath \end{aligned}$$

• Dans un repère de Frenet $\left(M\ ;\,\vec T,\, \vec N\right)$, le vecteur accélération instantanée s’écrit :

$$\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) = \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + \dfrac{v^2}{R}\cdot \vec N$$

• Pour un mouvement circulaire, dont la trajectoire est un cercle de rayon $R$, on définit l’abscisse angulaire $\theta$, l’abscisse curviligne $s$ (qui est donc la longueur d'un arc de cercle), la vitesse linéaire $v$ et la vitesse angulaire $\omega$, et on a les relations suivantes :

$$\begin{aligned} s(t)&=R\cdot \theta(t) \\ v(t)&=R\cdot \omega(t) \end{aligned}$$

Mouvements uniformes

• Soit un solide $S$ en mouvement rectiligne uniforme (resp. circulaire uniforme).
• Soit le point $M_0$, d’abscisse $x_0$ en $\text m$ (resp. d’abscisse angulaire $\theta_0$ en $\text{rad}$), la position de $A$ appartenant à $S$ à l’instant initial $t=0$.
• Soit $v_0$ la vitesse linéaire en $\text{m}\cdot \text s^{-1}$ (resp. $\omega_0$ la vitesse angulaire en $\text{rad}\cdot \text s^{-1}$) de $A$ à l’instant initial $t=0$.
• Soit $a_0$ l’accélération linéaire en $\text{m}\cdot \text s^{-2}$ (resp. $\dot\omega_0$ l’accélération angulaire en $\text{rad}\cdot \text s^{-2}$) de $A$ à l’instant initial $t=0$.
• Le tableau suivant récapitule les formules à connaître pour les translations rectilignes uniformes et les mouvements circulaires uniformes.

Mouvements uniformément variés

• Soit un solide $S$ en mouvement rectiligne uniformément varié (resp. circulaire uniformément varié).
• Soit le point $M_0$, d’abscisse $x_0$ en $\text m$ (resp. d’abscisse angulaire $\theta_0$ en $\text{rad}$), la position de $A$ appartenant à $S$ à l’instant initial $t=0$.
• Soit $v_0$ la vitesse linéaire en $\text{m}\cdot \text s^{-1}$ (resp. $\omega_0$ la vitesse angulaire en $\text{rad}\cdot \text s^{-1}$) de $A$ à l’instant initial $t=0$.
• Soit $a_0$ l’accélération linéaire en $\text{m}\cdot \text s^{-2}$ (resp. $\dot\omega_0$ l’accélération angulaire en $\text{rad}\cdot \text s^{-2}$) de $A$ à l’instant initial $t=0$.
• Le tableau suivant récapitule les formules à connaître pour les translations rectilignes uniformément variées et les mouvements circulaires uniformément variés.