Fiche de révision : Compléments sur la dérivation

Compléments sur la dérivation

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Rappels

Dérivées des fonctions de référence

$f(x)$	$f^\prime(x)$	$f$ est dérivable sur
$ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R)$	$a$	$\mathbb R$
$x^n\ (n\in \mathbb Z)$	$nx^{n-1}$	$\mathbb R \text{ si } n\geq 0$ $\mathbb R^* \text{ si } n<0$
$\dfrac 1x$	$-\dfrac 1{x^2}$	$\mathbb R^*$
$\sqrt x$	$\dfrac 1{2\sqrt x}$	$]0\ ;\,+\infty[$
$\text e^x$	$\text e^x$	$\mathbb R$

Opération sur les dérivées
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

$u\times v$ est dérivable sur $I$

$(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}$

Si $v$ ne s’annule pas sur $I$,

$\frac 1v$ et $\frac uv$ sont dérivables sur $I$

$\left(\dfrac 1v\right)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}$

$\left(\dfrac {u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}$

$f$ est une fonction dérivable en $a\in I$.
La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation :

$$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$$

Nouvelles formules de dérivées

Soit la fonction $x\mapsto ax+b$ ($a$ et $b$ réels) définie et dérivable sur $I$, à valeurs dans $J$.
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $J$.
Alors $x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$$x\mapsto af^{\prime}(ax+b)$$

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
La fonction $u^2$ est dérivable sur $I$ et :

$$(u^2)^{\prime}= 2u^{\prime} u$$

La fonction ${\text{e}}^u$ est dérivable sur $I$ et :

$$(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u$$

Soit $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$

Méthodologie pour l’étude de fonction

Calculer la dérivée.
Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
Calculer les éventuels extremums et les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction.
Récapituler les informations dans un tableau de signe et de variations.
Tracer la courbe représentative de la fonction.

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