Sphère et boule
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Introduction :
Les années précédentes nous ont fait découvrir de nombreux solides. Nous avons aussi appris à en représenter certains en perspective cavalière et à en calculer le volume, comme pour les prismes droits et les pyramides, les cylindres et les cônes de révolution.
Nous savons aussi reconnaître les sphères et les boules. Ce cours, qui leur est consacré, en donnera (ou en redonnera) les définitions mathématiques. Puis les formules pour calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule seront précisées.
Enfin, nous verrons comment nous pouvons nous repérer sur une sphère, en prenant l’exemple de la surface de la Terre. Nous apprendrons ainsi ce que sont précisément la latitude et la longitude, dont vous avez certainement entendu parler, et comment elles nous permettent de localiser n’importe quel point à la surface de la Terre.
Légende
Sphères et boules
Sphères et boules
Définitions
Définitions
Définition
Sphère et grand cercle :
Soit $O$ un point de l’espace et $R$ un nombre positif.
- La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $OM = R$.
- On appelle grand cercle de la sphère un cercle de centre $O$ et de rayon $R$.
Définition
Boule :
Soit $O$ un point de l’espace et $R$ un nombre positif.
La boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $OM \leq R$.
Exemple
On représente ci-dessous une sphère (et une boule) de centre $O$ et de rayon non nul $R=OM$, où $N$ appartient au segment $[OM]$ avec $ON < OM$.
Sphère et boule
Des trois points représentés, $M$ est le seul qui appartient à la sphère. En effet :
- par construction, $OM=R$ ;
- par construction aussi, $ON < R$, donc $ON\neq R$ ;
- et $OO=0\neq R$.
Les trois points $O$, $M$, $N$ appartiennent à la boule. En effet :
- la longueur $OO=0$ est bien inférieure ou égale à $R$ ;
- la longueur $ON < OM$ est bien inférieure ou égale à $R$ ;
- la longueur $OM=R$ est bien inférieure ou égale à $R$.
Astuce
- Une sphère est une surface : elle est « creuse ».
- Une boule est un solide : elle est « pleine » et sa surface est une sphère.
- Une sphère (ou une boule) n’a pas de patron.
Aire et volume
Aire et volume
Propriété
L’aire $\mathcal A$ d’une sphère de rayon $R$ est donnée par la formule :
$$A = 4\pi R^2$$
Le volume $V$ d’une boule de rayon $R$ est donné par la formule :
$$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$$
Exemple
On assimile la Terre à une boule, de rayon $R=6\,378\text{ km}$.
La surface de la Terre est alors une sphère de même rayon.
- Calculons l’aire de la surface de la Terre :
$$\begin{aligned} \mathcal A_\text{T} &= 4\pi R^2 \\ &= 4 \pi \times 6\,378^2 \\ &\approx 511\,185\,933 \end{aligned}$$
- L’aire de la surface de la Terre dépasse ainsi les $500$ millions de kilomètres carrés !
- Calculons maintenant son volume, que nous donnerons dans son écriture scientifique :
$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{T} &= \dfrac{4}{3}\pi R^3 \\ &= \dfrac{4}{3}\pi \times 6\ 378^3 \\ &\approx 1,087\times 10^{12} \end{aligned}$$
- L’ordre de grandeur du volume de la Terre est de mille milliards de kilomètres cubes !
Application
Application
Énoncé
On considère une boule de pétanque, de rayon extérieur $R=3,8\ \text{cm}$.
Elle est faite d’une couche d’acier d’épaisseur $e=0,65\ \text{cm}$.
- Cet acier est de masse volumique $\rho_\text{acier}=7,8\text{ g/cm}^3$.
Représentation en coupe de la boule de pétanque
Quelle est la masse de la boule ?
- On négligera la masse de l’air présente à l’intérieur, on la considérera donc comme nulle.
- On utilisera pour $\pi$ la valeur de la calculatrice.
- On arrondira les volumes calculés au centimètre cube près.
- On arrondira les masses au gramme près.
Corrigé
Astuce
Il s’agit ici de bien modéliser le problème : on veut avoir la masse de la boule, qui se résume à celle de l’acier qui la compose ; on a de plus comme donnée la masse volumique de l’acier.
Connaître le volume d’acier présent dans la boule permettra ainsi de déterminer rapidement la masse recherchée.
Pour cela, il faut bien voir que cette couche d’acier correspond, en quelque sorte, à une boule pleine, à l’intérieur de laquelle on a « enlevé » une autre boule (la partie pleine d’air).
- Calculer le volume d’acier demande donc le calcul de deux volumes (et une soustraction ensuite).
- Volume $\mathcal V_1$ de la boule de rayon $R=3,8\ \text{cm}$
On utilise la formule que l’on a donnée et la calculatrice :
$$\begin{aligned} \mathcal V_1&=\dfrac 43\times \pi\times R^3 \\ &=\dfrac 43\times \pi\times 3,8^3 \\ &\approx 230 \end{aligned}$$
- Le volume de la boule vaut environ $230\ \text{cm}^3$.
- Volume $\mathcal V_2$ de la « boule d’air »
Le rayon de cette boule est égal au rayon de la boule complète, moins l’épaisseur d’acier, soit : $R-e$.
En utilisant la même formule (et une calculatrice) :
$$\begin{aligned} \mathcal V_2&=\dfrac 43\times \pi\times (R-e)^3 \\ &=\dfrac 43\times \pi\times (3,8-0,65)^3 \\ &=\dfrac 43\times \pi\times 3,15^3 \\ &\approx 131 \end{aligned}$$
- Le volume de la « boule d’air » vaut environ $131\ \text{cm}^3$.
- Volume $\mathcal V_\text{acier}$ d’acier
Pour obtenir le volume d’acier contenu dans la boule de pétanque, on soustrait au volume de la boule complète le volume de la « boule d’air » :
$$\begin{aligned} V_\text{acier}&=V_1-V_2 \\ &\approx 230-131 \\ &\approx 99 \end{aligned}$$
- Le volume d’acier est d’environ $99\ \text{cm}^3$.
- Masse $m_\text{acier}$ d’acier
On connaît la masse volumique de l’acier : $\rho_\text{acier}=7,8\text{ g/cm}^3$.
Cela signifie qu’un centimètre cube d’acier a une masse de $7,8$ grammes.
On a calculé le volume $\mathcal V_\text{acier}$ d’acier contenu dans une boule de pétanque, environ égal à $99\ \text{cm}^3$. On peut alors déterminer la masse d’acier :
$$\begin{aligned} m_\text{acier}&=\mathcal V_\text{acier}\times \rho_\text{acier} \\ &\approx 99\times 7,8 \\ &\approx 772 \end{aligned}$$
On néglige la masse de l’air.
- La masse de la boule de pétanque est donc égale à la masse d’acier :
$$m_\text{b}=m_\text{acier}\approx \boxed{772\ \text{g}}$$
Repérage sur une sphère
Repérage sur une sphère
On assimile ici la surface de la Terre à une sphère.
Nous allons voir que l’on peut alors repérer n’importe quel point à sa surface. Pour cela, on utilise des lignes imaginaires, les parallèles et les méridiens, qui permettent de définir la latitude et la longitude d’un point.
Définition
Parallèles et méridiens :
Un parallèle est la section de la sphère terrestre par un plan perpendiculaire à la droite passant par les pôles et le centre de la Terre.
- Les parallèles sont donc des cercles.
- Parmi ces parallèles, l’un est un grand cercle de la sphère : il s’agit de l’équateur, qui est le parallèle de référence.
Un méridien est un demi-grand cercle passant par les deux pôles, qui a pour diamètre le segment délimité par les pôles et pour centre celui de la Terre.
- Le méridien de référence est le méridien de Greenwich, qui passe par le quartier londonien éponyme.
À retenir
Chaque point à la surface de la Terre est le point d’intersection d’un parallèle et d’un méridien.
Ainsi, tout point $M$ appartenant à la surface de la Terre peut être repéré par deux coordonnées dites géographiques, qui correspondent aux deux angles qui identifient le parallèle et le méridien dont $M$ est le point d’intersection :
- la latitude est la mesure de l’angle qui identifie ce parallèle par rapport à l’équateur ;
- la longitude est la mesure de l’angle qui identifie ce méridien par rapport à celui de Greenwich.
- On note, toujours dans cet ordre : $M\,(\textcolor{#FF0000}{\text{latitude}}\ ;\, \textcolor{#008B8B}{\text{longitude}})$.
Repérage d’un point à la surface de la Terre
- Les latitudes sont comprises entre $0$ et $90\degree$, nord ou sud selon si le point $M$ se situe au nord ou au sud de l’équateur.
- Les points situés sur l’équateur ont pour latitude $0\degree$.
- Les longitudes sont comprises entre $0$ et $180\degree$, est ou ouest selon si le point $M$ se situe à l’est ou à l’ouest du méridien de Greenwich.
- Les points situés sur le méridien de Greenwich ont pour longitude $0\degree$.
Exemple
- La position de New Delhi sur la surface de la Terre est indiquée ci-dessous :
Coordonnées géographiques de New Delhi
Quelles sont les coordonnées géographiques de New Delhi ?
- La mesure de l’angle qui identifie le parallèle passant par New Delhi par rapport à l’équateur est de $28\degree$.
New Delhi se situant au nord de l’équateur, sa latitude est de $\textcolor{#FF0000}{28\degree\text N}$. - La mesure de l’angle qui identifie le méridien passant par New Delhi à celui de Greenwich est de $77\degree$.
New Delhi se situant à l’est du méridien de Greenwich, sa longitude est de $\textcolor{#008B8B}{77\degree \text E}$. - Les coordonnées géographiques de New Delhi sont donc $(\textcolor{#FF0000}{28\degree \text N}\ ;\, \textcolor{#008B8B}{77\degree \text E})$.
- On a représente ci-dessous la Terre avec des parallèles et méridiens usuels :
Représentation de quelques parallèles et méridiens
Quelles sont alors les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ ?
Le point $A$ se situe au nord de l’équateur et à l’est du méridien de Greenwich.
- Ses coordonnées sont ($\textcolor{#FF0000}{15\degree \text N}\ ;\, \textcolor{#008B8B}{30\degree \text E}$).
Le point $B$ se situe au nord de l’équateur et à l’ouest du méridien de Greenwich.
- Ses coordonnées sont ($\textcolor{#FF0000}{45\degree \text N}\ ;\, \textcolor{#008B8B}{45\degree \text O})$.
Le point $C$ se situe au sud de l’équateur et sur le méridien de Greenwich.
- Ses coordonnées sont ($\textcolor{#FF0000}{15\degree \text S}\ ;\, \textcolor{#008B8B}{0\degree})$.