Cours : Les fonctions affines

Les fonctions affines

Définition et représentation graphique

Définition

Fonction affine :

Soit $a$ et $b$ deux nombres.
Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre $x$, associe le nombre $\red ax+\blue b$.

• On la note :

$$f: x\mapsto \red ax+\blue b$$

• La fonction $f$ est définie par $f(x)=\red ax +\blue b$.

Exemple

• La fonction $f$ définie par $f(x)=\red{3,5}x+ \blue 2$ est une fonction affine.

En effet, on a bien : $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $\red{a=3,5}$ et $\blue{b=2}$.

• La fonction $g$ définie par $g(x)=-x-4$ est une fonction affine.

En effet, on peut écrire : $g(x)=\red{-1}x+(\blue{-4})$.
On a donc bien : $g(x)=\red ax+\blue b$, avec $\red{a=-1}$ et $\blue{b=-4}$.

• La fonction $h$ définie par $h(x)=0,7x$ est une fonction affine.

En effet, on peut écrire : $h(x)=\red{0,7}x+\blue{0}$.
On a donc bien : $g(x)=\red ax+\blue b$, avec $\red{a=0,7}$ et $\blue{b=0}$.
On remarque que $h$ est une fonction linéaire, qui est en fait un cas particulier d’une fonction affine, où $b=0$.

• La fonction $l$ définie par $l(x)=-2,2$ est une fonction affine.

En effet, on peut écrire : $l(x)=\red{0}x+(\blue{-2,2})$.
On a donc bien : $l(x)=\red ax+\blue b$, avec $\red{a=0}$ et $\blue{b=-2,2}$.
On remarque que tous les nombres ont la même image par la fonction $l$.
$l$ est appelée fonction constante, qui est une fonction affine où $a=0$.

À retenir

• Une fonction affine où $\blue b$ est nul est une fonction linéaire.
• Le coefficient de la fonction linéaire vaut alors $\red a$.
• Une fonction affine où $\red a$ est nul est une fonction constante.
• Par une fonction constante, tous les nombres ont la même image, égale à $\blue b$.

Propriété

• Si une fonction est affine, alors sa représentation graphique est une droite.
• Réciproquement, si la représentation graphique d’une fonction est une droite, alors la fonction est affine.

Exemple

On donne ci-dessous, dans un même repère, les représentations graphiques des fonctions $f$, $g$, $h$ et $l$, que nous avons définies dans le paragraphe précédent :

$$\begin{aligned} \textcolor{#FF7F00}f:x&\mapsto 3,5x+2 \\ \textcolor{#339900}g:x&\mapsto -x-4 \\ \textcolor{#993300}h:x&\mapsto 0,7x \\ \textcolor{#FF00FF}l:x&\mapsto -2,2 \end{aligned}$$

Représentations graphiques des fonctions f, g, h et l

À retenir

On remarque, à partir des exemples donnés ci-dessus que :

• la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine – ce que nous savions déjà ;
• la représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Coefficient directeur d’une droite et ordonnée à l’origine

Définition

Coefficient directeur et ordonnée à l’origine :

Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres.
On note $\mathscr D$ sa représentation graphique, qui est une droite.

• $\red a$ est appelé coefficient directeur, ou pente, de $\mathscr D$;
• $\blue b$ est appelé ordonnée à l’origine de $\mathscr D$.

À retenir

Le coefficient directeur peut s’interpréter ainsi : en parcourant la droite, quand on augmente de $1$ l’abscisse, l’ordonnée varie de $\red a$ :

• si le coefficient directeur est positif, elle « monte » ;
• si le coefficient directeur est négatif, elle « descend ».

$\blue b$ est appelé ordonnée à l’origine car c’est l’ordonnée du point de $\mathscr D$ d’abscisse $0$, soit l’ordonnée du point d’intersection de $\mathscr D$ avec l’axe des ordonnées.

• Autrement dit encore, $\blue b$ est l’image de $0$ par la fonction $f$ :

$$f(0)=\red a\times 0+\blue b=\blue b$$

Exemple

On considère $f$ la fonction affine définie par $f(x)=\red{-0,5}x+\blue 3$ et $\mathscr D$ sa représentation graphique.

Coefficient directeur et ordonnée à l’origine

Méthodes

À retenir

Méthode : Comment représenter graphiquement une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres donnés.
Dans un repère, pour construire sa représentation graphique, qui est une droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux points.

• L’ordonnée à l’origine $\blue b$ permet de trouver rapidement les coordonnées du premier point : $(0\ ;\, \blue b)$ (il est sur l’axe des ordonnées).
• Pour en trouver un second, on se sert de l’expression algébrique pour trouver l’image $f(c)$ d’un nombre $c$, que l’on choisit assez éloigné du premier point pour un tracé plus précis, et avec une valeur qui facilite le calcul.
• Ce second point aura alors pour coordonnées $\big(c\ ;\, f(c)\big)$.
• En traçant la droite qui passe par les deux points, on obtient la représentation graphique de $f$.

Exemple

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=\red{1,5}x+\blue{4,5}$.
Pour construire sa représentation graphique :

• on commence par construire le point $B$, de coordonnées $(0\ ;\, \blue{4,5})$ ;
• puis on calcule l’image, par exemple, de $2$ :

$$f(2)=\red{1,5}\times 2+\blue{4,5}=7,5$$

• on peut alors placer le point $A$ de coordonnées $(2\ ;\, 7,5)$ ;
• on trace la droite $(AB)$, ce qui nous donne la représentation graphique de $f$.

Représentation graphique de f

À retenir

Méthode : Comment déterminer graphiquement les paramètres $a$ et $b$ d’une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine dont on connaît la représentation graphique dans un repère.
$f$, comme fonction affine, est définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres que l’on cherche à déterminer.

• Pour déterminer $b$, on lit l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
• On détermine ainsi l’ordonnée à l’origine de la droite, qui est égale à $\blue b$.
• On choisit un point de la droite, et on regarde, quand on « avance » de $1$ en abscisse, de combien on « monte » ou « descend » en ordonnée.
• Cette valeur donne le coefficient directeur de la droite (positif si on est « monté », négatif si on est « descendu »), qui est égal à $\red a$.

Exemple

On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction affine $f$.
On cherche à déterminer l’expression algébrique qui définit $f$. Autrement dit, on cherche à déterminer $a$ et $b$ dans l’expression :

$$f(x)=\red ax+\blue b$$

Représentation graphique de la fonction affine f

Pour déterminer $\red a$ et $\blue b$, on regarde donc :

• l’ordonnée du point d’intersection de la droite et de l’axe des ordonnées ;
• de combien on « monte » ou « descend » en ordonnée quand on « avance » de $1$ en abscisse, par exemple en partant du point de la droite de coordonnées $(1\ ;\, -5)$.

Coefficient directeur et ordonnée à l’origine de la droite

Le coefficient directeur de la droite vaut ainsi $\red{-3}$, et l’ordonnée à l’origine $\blue {-2}$.

• La fonction $f$ est définie par l’expression algébrique :

$$f(x)=\red {-3}x\blue{-2}$$

Application

Nous proposons ici d’appliquer ce que nous avons appris sur les fonctions affines à travers un exercice corrigé, adapté d’un sujet de brevet (centres étrangers, juin 2011).

Énoncé

Une école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Après une période d’essai d’un mois, elle décide d’acheter le logiciel.
Il y a trois tarifs :

• tarif F : $19\ \text €$ ;
• tarif G : $10$ centimes par élève ;
• tarif H : $8\ \text € + 5$ centimes par élève.
• Compléter le tableau suivant :

• Si $x$ est le nombre d’élèves de l’école, laquelle des fonctions suivantes correspond au tarif H ?

$$x\mapsto 8+5x\quad\qquad x\mapsto 8+0,05x\quad\qquad x\mapsto 0,05+8x$$

• On note cette fonction $h$. Quelle est la nature de cette fonction ?
• On note maintenant $f$ la fonction qui correspond au tarif F, et $g$ celle qui correspond au tarif G.
  Donner les expressions algébriques qui définissent $f$ et $g$. Préciser leurs natures en étant le plus précis possible.
• On a tracé dans un repère les représentations graphiques des fonctions $f$, $g$ et $h$, que l’on a nommées arbitrairement $\mathscr D_1$, $\mathscr D_2$ et $\mathscr D_3$ :

Retrouver quelle droite représente quelle fonction.

• À l’aide du graphique, déterminer à partir de combien d’élèves le tarif F est plus intéressant que le tarif H.
• L’école compte $209$ élèves.
  Quel tarif est le plus intéressant ? Combien paiera alors l’école ?

Corrigé

• Tableau de valeurs
• Pour le tarif F, le prix reste fixe quel que soit le nombre d’élèves. Le montant payé sera donc toujours de $\textcolor{#1BAF79}{19\ \text €}$, qu’il y ait $100$, $200$ ou $300$ élèves.
• Pour le tarif G, on paye un prix de $10$ centimes par élève. Il suffit donc de multiplier ce prix par le nombre d’élèves :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour 100 élèves\ :\ }} 0,10\times \textcolor{#DF01D7} {100}&=\textcolor{#1BAF79}{10} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour 200 élèves\ :\ }} 0,10\times \textcolor{#DF01D7}{200}&=\textcolor{#1BAF79}{20} \end{aligned}$$

On peut vérifier qu’avec cette logique on trouve le résultat donné pour $300$ élèves :

$$0,10\times \textcolor{#DF01D7}{300}=30$$

Attention

Les réponses attendues sont à exprimer en euro, il faut bien penser à écrire $10$ centimes sous la forme $0,10\ \text €$.

• Enfin, pour le tarif H, on paie un forfait de $\blue{8\ \text €}$, puis $5$ centimes par élève. Il faut donc ajouter, aux $8\ \text €$ forfaitaires, le produit de $0,05\ \text €$ par le nombre d’élèves :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour 100 élèves\ :\ }} 8+0,05\times \textcolor{#DF01D7} {100}&=8+5=\textcolor{#1BAF79}{13} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour 300 élèves\ :\ }} 8+0,05\times \textcolor{#DF01D7}{300}&=8+15=\textcolor{#1BAF79}{23} \end{aligned}$$

On trouve bien le même résultat que celui donné pour $200$ élèves :

$$8+0,05\times \textcolor{#DF01D7}{200}=8+10=18$$

On peut ainsi compléter le tableau :

• Fonction correspondant au tarif H

Pour le tarif H, on ajoute, aux $\blue{8\ \text €}$ forfaitaires, le produit de $\red{0,05\ \text €}$ par le nombre d’élèves, soit $x$.
La fonction qui correspond au tarif H est donc la deuxième :

$$\boxed{x\mapsto \blue 8+\red{0,05}x}$$

• Nature de la fonction $h$

On a donc : $h:x\mapsto 8+0,05x$.
Si on préfère, on peut écrire : $h(x)=\red{0,05}x+\blue 8$.
On reconnaît alors en $h$ une fonction de la forme : $h(x)=\red ax+\blue b$, avec $\red{a=0,05}$ et $\blue{b=8}$.
$h$ est donc une fonction affine.

• Fonctions $f$ et $g$

$f$ est la fonction qui correspond au tarif F, où le prix de $19\ \text €$ est fixe. La fonction $f$, correspondant au tarif F, est donc définie par :

$$\boxed{f(x)=\blue{19}}$$

$f$ est une fonction affine, de la forme $f(x)=\red ax +\blue b$, avec $\red{a=0}$ et $\blue{b=19}$. Cela signifie que, quel que soit le nombre $x$, son image par $f$ est égale à $19$.
$f$ est une fonction constante.

$g$ est la fonction qui correspond au tarif G, où l’on paye $0,10\ \text €$ par élève. La fonction $g$, correspondant au tarif G, est donc définie par :

$$\boxed{g(x)=\red{0,1}x}$$

$g$ est une fonction affine, de la forme $g(x)=\red ax +\blue b$, avec $\red{a=0,1}$ et $\blue{b=0}$.
Puisque $b=0$, $g$ est une fonction linéaire de coefficient $\red{0,1}$. Cela signifie que, avec le tarif G, le tarif à payer par l’école est proportionnel au nombre d’élèves.

• Représentations graphiques

• On voit que la droite $\textcolor{#006400}{\mathscr D_1}$ passe par l’origine.

Or on sait que, dans ce cas, c’est la représentation graphique d’une fonction linéaire. Et, on l’a dit plus haut, $g$ est la seule fonction linéaire parmi les trois.
$\textcolor{#006400}{\mathscr D_1}$ est la représentation graphique de la fonction $g$. On peut la noter, pour plus de clarté, $\textcolor{#006400}{\mathscr C_g}$.

• Ensuite, on remarque que $\textcolor{#FF7F00}{\mathscr D_3}$ est « horizontale », plus précisément parallèle à l’axe des abscisses.

Il s’agit donc de la représentation graphique d’une fonction constante. Et $f$ est la seule fonction constante parmi les trois. On peut confirmer cette correspondance en vérifiant avec la droite que toutes les images sont bien égales à $\blue{19}$.
$\textcolor{#FF7F00}{\mathscr D_3}$ est la représentation graphique de la fonction $f$. On la note désormais $\textcolor{#FF7F00}{\mathscr C_f}$.

• Enfin, par élimination, on sait que $\textcolor{#FF00FF}{\mathscr D_2}$ est la représentation graphique de la fonction $h$, que l’on note $\textcolor{#FF00FF}{\mathscr C_h}$.

On peut là aussi vérifier que l’ordonnée à l’origine est bien égale à $\blue{8}$.

• Comparaison des tarifs F et H.

Regardons les représentations graphiques de $f$ et $h$.

Au début, $\mathscr C_f$ est « au-dessus » de $\mathscr C_h$.

• Cela signifie que, si les élèves sont peu nombreux, le tarif F reviendra plus cher que le H.

Mais au bout d’un certain nombre d’élèves, c’est $\mathscr C_h$ qui passe « au-dessus » de $\mathscr C_f$.

• Le tarif F devient alors plus intéressant.

Ainsi, pour savoir à partir de combien d’élèves le tarif F devient plus intéressant, il faut s’intéresser au point d’intersection des deux droites, que l’on peut noter $I$.

• L’abscisse de $I$ donnera le nombre d’élèves pour lesquels les tarifs F et H sont égaux.

On lit graphiquement que l’abscisse de $I$ est $220$. Cela signifie que, pour $220$ élèves, les tarifs F et H sont égaux. Ce qu’on peut vérifier :

$$\begin{aligned} f(220)&=19 \\ h(220)&=8+0,05 \times 220=19 \end{aligned}$$

Ainsi, pour plus de $220$ élèves, le tarif F est plus avantageux que le tarif H.

• Quel tarif choisir pour l’école ?

Il y a $209$ élèves dans l’école.
On peut là aussi travailler graphiquement, en déterminant les images de $209$ par $f$, $g$ et $h$. Pour cela, on trace la parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le point de coordonnées $(209\ ;\, 0)$.

On voit que la droite rouge coupe $\mathscr C_h$ « plus bas » que $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. Cela signifie que l’image de $209$ par $h$ est inférieure à celles par $f$ et $g$.
Ainsi, l’école de $209$ élèves a tout intérêt à choisir le tarif H, qui lui reviendra le moins cher.

Pour savoir combien l’école paiera avec ce tarif H, on choisit de le faire avec l’expression algébrique, pour avoir une valeur exacte :

$$h(209)=8+0,05\times 209=\boxed{18,45}$$

L’achat du logiciel coûtera, avec le tarif H, $18,45\ \text €$ à l’école.

Proportionnalité des accroissements (approfondissement)

Dans cette partie, nous allons aller un peu plus loin, en traitant une notion qui n’est pas exigible en troisième. Elle est toutefois intéressante et vous permettra de vous projeter sur la classe de seconde.

Propriété

$a$ et $b$ sont des nombres donnés.
On considère $f$, une fonction affine définie par $f(x)= \red ax+\blue b$.

Soit maintenant deux nombres $x_1$ et $x_2$, qui sont différents.
On s’intéresse à l’accroissement de $f(x)$ entre $x_1$ et $x_2$, c’est-à dire à la différence $f(x_2)-f(x_1)$ :

$$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=\red ax_2+\blue b-(\red ax_1+\blue b) \\ &=\red ax_2+\blue b-\red ax_1-\blue b \\ &=\red ax_2-\red ax_1 \\ &=\red a(x_2-x_1) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par $\red a$]}}} \end{aligned}$$

On en déduit, comme $x_1\neq x_2$ (et donc $x_2-x_1\neq 0$) :

$$\red a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Pour une fonction affine, il y a ainsi proportionnalité entre les accroissements de $x$ et de $f(x)$ : la variation de $f(x)$ est proportionnelle à la variation de $x$, et le coefficient de proportionnalité est $\red a$.

• On a ainsi la propriété suivante.

Propriété

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres.
Quels que soient les nombres $x_1$ et $x_2$, avec $x_1\neq x_2$, on a :

$$\red a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Astuce

On a aussi : $\red a=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.

Application

La propriété que nous venons de voir permet notamment de déterminer l’expression algébrique qui définit une fonction affine en connaissant les images de deux nombres différents.

On considère la fonction affine $f$ telle que :

• $f(-2)=-16$ ;
• $f(4)=11$.

$f$, comme fonction affine, est de la forme $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres à déterminer.

• Recherche du coefficient $a$

On se sert de la propriété sur les accroissements pour déterminer $a$ :

$$\begin{aligned} \red a&=\dfrac{f(4)-f(-2)}{4-(-2)} \\ &=\dfrac{11-(-16)}{4+2} \\ &=\dfrac {11+16}6 \\ &=\dfrac{27}6\\ &=\red{4,5} \end{aligned}$$

Le coefficient directeur $a$ de $f$ vaut donc $4,5$.

• Recherche de $b$

On a donc, grâce au point précédent : $f(x)=\red{4,5}x+\blue b$.
On se sert d’un des deux nombres dont on connaît l’image, par exemple $4$, dont l’image est égale à $11$ :

$$\begin{aligned} f(4)&=11 \\ f(4)&=\red{4,5}\times 4+\blue b=18+\blue b \end{aligned}$$

On obtient ainsi :

$$18+\blue b=11$$

Il suffit donc de résoudre cette équation, d’inconnue $b$. On sait le faire et on obtient :

$$b=11-18=\blue {-7}$$

• On obtient finalement :

$$\boxed{f(x)=\red{4,5}x\blue{-7}}$$

On peut vérifier notre résultat, en calculant avec cette expression les images de $-2$ et $4$, pour voir si l’on trouve les bonnes :

$$\begin{aligned} f(-2)&=\red{4,5}\times (-2)\blue{-7}=-9-7=-16 \\ f(4)&=\red{4,5}\times 4\blue{-7}=-18-7=11 \end{aligned}$$

• On trouve bien les bonnes images.