Connaître les quadrilatères : rectangles, losanges et carrés
Introduction :
L’objectif de ce cours est d’étudier trois quadrilatères particuliers et de donner les propriétés des longueurs des côtés, des angles, des diagonales et de symétrie de chacun.
Dans ce cours, nous reverrons dans un premier temps le vocabulaire des quadrilatères, puis nous étudierons les propriétés du rectangle, du losange et du carré.
Généralités sur le quadrilatère
Généralités sur le quadrilatère
Rappel
Un quadrilatère est un polygone possédant quatre côtés.
À retenir
Le quadrilatère $ABCD$ a :
- $4$ sommets : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ;
- $4$ côtés : les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ ;
- $4$ angles : $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ et $\widehat{D}$ ;
- $2$ diagonales : les segments $[BD]$ et $[AC]$.
Le rectangle
Le rectangle
Définition
Définition
Rappel
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Dans le rectangle $ABCD$ ci-dessus : $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90\degree$.
Propriétés des côtés d’un rectangle
Propriétés des côtés d’un rectangle
À retenir
Un rectangle a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.
Dans le rectangle $ABCD$ ci-dessus, $AD = BC$, $BA = CD$ et les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles, de même que les côtés $ [BA]$ et $[CD]$.
Propriétés des diagonales d’un rectangle
Propriétés des diagonales d’un rectangle
Propriété
Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu.
Dans le rectangle $ABCD$ ci-dessus, $AC = BD$ et les segments $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu : $O$.
Axes de symétrie d’un rectangle
Axes de symétrie d’un rectangle
Propriété
Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.
Le losange
Le losange
Définition
Définition
Rappel
Un losange est un quadrilatère qui a $4$ côtés de même longueur.
Dans le losange $ABCD$ ci-dessus, $AB = BC = CD = DA$.
Propriétés des côtés d’un losange
Propriétés des côtés d’un losange
Propriété
Un losange a ses côtés opposés parallèles (et de même longueur).
Dans le losange $ABCD$ ci-dessus, les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles, de même que les côtés $[BA]$ et $[CD]$ sont parallèles.
Propriétés des diagonales d’un losange
Propriétés des diagonales d’un losange
Propriété
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Dans le losange $ABCD$ ci-dessus, les segments $[AC]$ et $[BD]$ sont perpendiculaires et qu’ils se coupent en leur milieu : $O$.
Axes de symétrie d’un losange
Axes de symétrie d’un losange
Propriété
Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.
Le carré
Le carré
Définition
Définition
Rappel
Un carré est à la fois un rectangle et un losange :
- il a $4$ angles droits ;
- il a $4$ côtés de même longueur.
Dans le carré $ABCD$ ci-dessus, $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90\degree$ et $AB = BC = CD = DA$.
Propriétés des côtés d’un carré
Propriétés des côtés d’un carré
Propriété
Un carré a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.
Dans le carré $ABCD$ ci-dessus, $AD = BC$ et $BA = CD$ et les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles, de même que $[BA]$ et $[CD]$.
Propriétés des diagonales d’un carré
Propriétés des diagonales d’un carré
Propriété
Les diagonales d’un carré ont la même longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu.
Dans le carré $ABCD$ ci-dessus, les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont même longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu : $O$.
Astuce
Un carré est un losange particulier dont les diagonales sont égales.
Axes de symétrie d’un carré
Axes de symétrie d’un carré
Propriété
Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés et ses diagonales.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu les propriétés de trois quadrilatères particuliers.
- Le rectangle, qui a $4$ angles droits, ses côtés opposés parallèles et de même longueur et ses diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu.
- Le losange, qui a $4$ côtés de même longueur, ses côtés opposés parallèles et de même longueur et ses diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.
- Et enfin le carré, qui a $4$ angles droits et $4$ côtés de même longueur, ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et ses diagonales de même longueur qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.