Continuité d'une fonction sur un intervalle
Introduction :
Ce cours permettra de compléter l’étude de fonction. On abordera le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications.
Langage de la continuité
Langage de la continuité
Rappel sur la dérivabilité d’une fonction
Rappel sur la dérivabilité d’une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
- $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ est le taux d’accroissement entre $a$ et $h$.
Dire que $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, c’est dire que :
- $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$
$f'(a)$ étant un réel.
Astuce
L’étude de la dérivabilité :
- Calcul de la limite quand $h$ tend vers $0$ de $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ ;
- Si cette limite est un nombre réel, on dit que $f$ est dérivable en $a$.
- Si cette limite est infinie, on dit que $f$ n’est pas dérivable en $a$.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^3$ et $a=1$. Cherchons si la fonction $f$ est dérivable en $a$.
- Calcul du taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ :
$\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \\ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \\ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \\ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \\ &=h^2+3h+3\end{aligned}$
- Calcul de la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$ :
$\lim\limits_{h \to 0}(h^2 +3h+3)= 3$
- $3$ est bien un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie. $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=3$
Notion de continuité sur un intervalle
Notion de continuité sur un intervalle
Définition
Continuité d’une fonction sur un intervalle :
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ est un nombre réel de $I$.
- $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, $f$ a une limite en $a$ égale à $f(a)$ , ainsi : $\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)$
- $f$ est continue sur $I$ si, et seulement si, $f$ est continue en tout nombre réel de $I$.
Astuce
On peut tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.
- Cette fonction n’est pas continue sur $[-2\ ;\ 3]$ car elle n’est pas continue en $1.$
En effet : $g(1)=1 \neq \lim\limits_{\stackrel{x \to 1} {x>1}} g(x) =-1$
Astuce
On ne peut pas tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.
Propriété
- Les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.
- Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors $u+v$ et $u\times v$ sont continues sur $I$.
- Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$ et non nulles sur $I$, alors $\dfrac{1}{u}$ et $\dfrac{1}{v}$sont continues sur les intervalles où elles sont définies.
Continuité des fonctions usuelles
Continuité des fonctions usuelles
Propriété
Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de leur dérivabilité.
C’est-à-dire :
- Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb {R}$
- Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb {R}$
- La fonction inverse est continue sur $] - \infty ; 0[ ∪ ]0 ; +\infty[$
- La fonction racine carrée est continue sur $]0 ; +\infty[$
- La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb {R}$
- La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb {R}$.
Exemple
Étudions la continuité de la fonction $f(x) =(3x^2-2x+1)e^x$.
La fonction $3x^2-2x+1$ est continue sur $\mathbb {R}$ et la fonction $e^x$ est continue sur $\mathbb {R}$.
Or $f(x)$ est le produit de ces deux fonctions, on peut donc dire que $f$ est continue sur $\mathbb {R}$.
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème concernant les fonctions continues
Théorème concernant les fonctions continues
Théorème
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction $f$ est définie et continue sur un intervalle $[a; b ]$ ; alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
- Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d’existence : il affirme l’existence d’au moins une solution à l’équation $f(x)=k$.
Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones
Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones
- Un corollaire est un théorème qui est une conséquence d’un autre théorème.
Théorème
Corrolaire :
Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b ]$ alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a; b ].$
À gauche : cas d’une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle $[a; b ]$. Le réel $c$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=k$ dans l’intervalle $[a; b ]$.
À droite : cas d’une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle $[a; b ]$. Le réel $c$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=k$ dans l’intervalle $[a; b ]$.
- Ce corollaire est un théorème d’unicité : il affirme l’existence d’une unique solution à une équation que l’on ne peut pas résoudre par le calcul.
Illustration par un exemple
Illustration par un exemple
Exemple
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x) = 2x^3-3x^2-1$.
Démontrons que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans $\mathbb {R}$.
Attention
L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
- Étude des variations de la fonction $f$ pour voir si elle est bien strictement monotone :
- Calcul de la dérivée de $f$ :
$$\begin{aligned}f'(x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \\&=6x^2-6x\\&=6x(x-1)\end{aligned}$$
- Tableaux de signe et de variations :
Pour réaliser ces tableaux, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la dérivée s’annule :
$6x=0 \Leftrightarrow x=0$
et
$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
Calculs des extremums :
$f(0)=2\times 0^3-3\times 0^2-1=-1$
$f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=-2$
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)= \lim\limits_{x \to -\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= \lim\limits_{x \to +\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=+\infty$
- Vérification que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution :
Il apparaît clairement dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle $] -\infty\ ; 1]$ puisque sur cet intervalle la fonction $f$ est strictement négative (son maximum étant $-1$).
Par contre sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution :
À retenir
La fonction $f$est continue sur $\mathbb {R}$ puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur $[1\ ; +\infty[$ ;
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\ ; +\infty[$ ;
$f(1)=-2<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= +\infty >0$ donc $0 \in ]-2;+\infty[$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.
Méthode d’encadrement d’une solution
Méthode d’encadrement d’une solution
Attention
Nous allons utiliser le tableur de la calculatrice.
Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.
Exemple
Encadrer la solution à $10^{-2}$ près.
- Rentrer l’expression de la fonction dans la calculatrice ;
- Régler le tableur correspondant :
- Régler le point de départ :
Nous règlons le point de départ sur $1$ puisque nous nous intéressons à l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.
- Régler le pas du tableau :
Nous règlons le pas sur $1$, cela signifie qu’il toutes les images des nombres entiers ($1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; etc.)
- Observer le tableur correspondant :
On repère assez facilement que $-2 < 0 < 3$ donc notre solution est encadrée de la manière suivante : $1< a <2$.
Il s’agit pour le moment d’un encadrement à l’unité, et non pas à $10^{-2}$.
Nous recommençons donc les étapes 1 et 2 :
Nous règlons le point de départ sur $1$, puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle $[1\ ; 2]$, avec un pas de $0,1$.
- Observer le nouveau tableur :
On a $-0,488 < 0 < 0,156$ donc $1,6 < a < 1,7$. Il s’agit d’un encadrement à $10^{-1}$ près.
On règle alors le point de départ du tableau sur $1,6$ avec un pas de $0,01$.
On obtient :
On a $-0,0518 < 0 < 0,01606$ donc $1,67 < a < 1,68$ ou $a \approx 1,68$ pour la valeur approchée à $10^{-2}$.