Cours : Croissance et fonctions exponentielles

La fonction exponentielle $g$ de base $0,75$ est définie, pour tout réel $x$ positif, par $g(x)=0,75^x$.
On a alors, par exemple, $g(9,7)=0,75^{9,7}$.
Avec la calculatrice, on obtient : $g(9,7)\approx 0,0614$.

$$\begin{aligned} \dfrac {2,3^{\purple{4,72}}\times 2,3^{\purple{0,88}}}{{(2,3^{1,04})}^{2,5}}&=\dfrac {2,3^{\purple{4,72+0,88}}}{{(2,3^{1,04})}^{2,5}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec la prop. 1]}}} \\ &=\dfrac {2,3^{5,6}}{{(2,3^{\orange{1,04}})}^{\orange{2,5}}} \\ &=\dfrac {2,3^{5,6}}{2,3^{\orange{1,04\times 2,5}}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec la prop. 2]}}} \\ &=\dfrac {2,3^{\pink{5,6}}}{2,3^{\pink{2,6}}} \\ &=2,3^{\pink{5,6-2,6}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec la prop. 3]}}} \\ &=2,3^3 \\ &=12,167 \end{aligned}$$

Dans un pays, la population augmente de $0,3\,\%$ chaque année. En $2023$, elle est estimée à $68,043$ millions de personnes.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u(n)$ la population, en million, du pays en l’année $2023+n$.

• Le premier terme de la suite $u$ est égale à la population en $2023+0$, soit $2023$. On a donc :
  $$u(0)=68,043$$
• La population augmente chaque année de $0,3\,\%$. Pour obtenir la population en $2023+(n+1)$, on doit multiplier celle en $2023+n$ par $1,003$. On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
  $$u(n+1)=1,003\times u(n)$$
• Ainsi, si on considère que le taux d’évolution de la population reste constant d’une année à l’autre, on peut modéliser l’évolution de la population de ce pays par une suite géométrique $u$, de premier terme $u(0)=68,043$ et de raison $q=1,003$. On a alors, pour tout entier naturel $n$ :
  $$u(n)=68,043\times 1,003^n$$

Dans ce modèle, par exemple, la population du pays en $2050=2023+27$ est donnée par $u(27)$ :
$$\begin{aligned} u(27)&=68,043\times 1,003^{27} \\ &\approx 73,775 \end{aligned}$$

• D’après ce modèle, en $2050$, la population sera d’environ $73,775$ millions d’habitants.

Un garde forestier suit l’évolution de la superficie d’une forêt. Il estime sa superficie à $7\,500\ \text{ha}$ et, d’après les observations des années précédentes, il calcule que la forêt perd chaque année $4,5\,\%$ de sa superficie, à cause de l’exploitation de son bois.
Il souhaite donc modéliser l’évolution future de la superficie de la forêt en fonction du temps, afin de pouvoir l’estimer pour tout instant $t$.

On peut commencer par modéliser l’évolution de la superficie de la forêt d’une année à la suivante par une suite géométrique $v$.
Pour tout entier $n$, on note $v(n)$ la superficie, en hectare, de la forêt après $n$ années.

• Le premier terme de la suite $v$ est égale à la superficie initiale, donc :
  $$v(0)=7\,500$$
• La forêt perd chaque année $4,5\,\%$ de sa superficie. Pour obtenir la superficie en l’année $n+1$, on doit multiplier celle en l’année $n$ par $0,955$. On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
  $$v(n+1)=0,955\times v(n)$$
• La suite géométrique $v$ a donc pour premier terme $v(0)=7\,500$ et pour raison $0,955$. On a alors, pour tout entier naturel $n$ :
  $$v(n)=7\,500\times 0,955^n$$

Comme le garde forestier souhaite connaître l’évolution à chaque instant de la superficie de la forêt, il faut la modéliser de manière continue.
Par prolongement pour tout réel positif $t$ de la suite $v$, on considère alors la fonction $f$, définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par $f(t)= 7\,500\times 0,955^t$, où $t$ est le nombre (entier ou non) d’années.

Par exemple, pour connaître la superficie de la forêt après $3$ trimestres, on calcule $f\left(\frac 34\right)$ (puisqu’il y a $4$ trimestres dans une année), en s’aidant de la calculatrice :
$$ f\left(\frac 34\right)= 7\,500\times 0,955^{\frac 34}\approx7\,245,42$$

• Après $3$ trimestres, la superficie de la forêt sera, d’après ce modèle, d’environ $7\,245,42\ \text{ha}$ – soit une perte, en $9$ mois, de déjà plus de $200\ \text{ha}$.