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Cours : Croissance linéaire et fonctions affines

Croissance linéaire et fonctions affines

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Le bac de français 2025 arrive à grand pas ! Pas de stress, on a pensé à toi avec la liste des oeuvres ou bien un plan de révision pour les épreuves anticipées de 1ere 💪

Introduction :

Dans ce cours, nous allons continuer à découvrir, après les suites numériques, les outils mathématiques pour étudier des phénomènes à croissance dite linéaire.
Pour cela, nous commencerons par réactiver rapidement nos connaissances sur les fonctions affines, découvertes déjà au collège et approfondies en seconde.
Puis nous verrons le lien entre suite arithmétique et fonction affine, et comment elles permettent de modéliser certains phénomènes.

Fonctions affines (rappels)

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Définition

Fonction affine :

Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des réels.

Remarques :

  • Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine $f:x\mapsto mx+p$ est la droite d’équation réduite $y=mx+p$, où $m$ est appelé coefficient directeur de la droite, et $p$ ordonnée à l’origine.
  • Si le coefficient directeur $m$ est nul, la fonction est constante : pour tout réel $x$, $f(x)=p$ (la droite représentative est alors parallèle à l’axe des abscisses).
  • Si l’ordonnée à l’origine $p$ est nulle, la fonction est linéaire : pour tout réel $x$, $f(x)=mx$ (la droite représentative passe alors par l’origine du repère).
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Propriété

On considère une fonction affine $f$ définie par $f(x)=mx+p$.
Pour tous réels $a$ et $b$ distincts, le nombre $\frac {f(b)-f(a)}{b-a}$, appelé taux d’accroissement de $f$, est constant et vaut $m$ :

$$m=\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$$

Dans le cas particulier où $b-a=1$, on a $m=f(b)-f(a)$.

Lien entre taux d’accroissement et coefficient directeur Lien entre taux d’accroissement et coefficient directeur

Remarque :
Pour $A\,(x_A\ ;\, y_A)$ et $B\,(x_B\ ;\, y_B)$ deux points distincts quelconques de la droite représentant la fonction $f$, on a :
$$m=\dfrac {y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

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Exemple

Exemple 1
Soit $f$ la fonction affine telle que $f(-2)=5$ et $f(1)=-7$.
$f$ étant affine, son expression est de la forme $f(x)=mx+p$, avec $m$ et $p$ deux réels à déterminer.

  • $m$ est égal au taux d’accroissement de $f$ :
    $$\begin{aligned} m&=\dfrac {f(1)-f(-2)}{1-(-2)} \\ &=\dfrac {-7-5}{3} \\ &=-4 \end{aligned}$$ L’expression de $f$ est donc de la forme $f(x)=-4x+p$.
  • On peut ensuite déterminer $p$, car on sait par exemple que l’image de $-2$ par $f$ est égal à $5$.
    On a alors $f(-2)=-4\times (-2)+p=5$, soit $p=5-8=-3$.
    La fonction $f$ est donc définie, pour tout réel $x$, par $f(x)=-4x-3$.

Exemple 2
Soit $g$ la fonction affine représentée, dans un repère, par la droite $(d)$ qui passe par $A\,(-4\ ;\, -10)$ et $B\,(2\ ;\, 8)$.
L’expression de $g$ est de la forme $g(x)=m^{\prime}x+p^{\prime}$, avec $m^{\prime}$ et $p^{\prime}$ deux réels à déterminer.

  • le coefficient directeur de $(d)$ est égal à :
    $$\begin{aligned} m^{\prime}&=\dfrac {8-(-10)}{2-(-4)} \\ &=\dfrac {18}{6} \\ &=3 \end{aligned}$$ L’expression de $g$ est donc de la forme $g(x)=3x+p^{\prime}$.
  • On peut ensuite déterminer $p^{\prime}$, connaissant par exemple les coordonnées de $B\,(2\ ;\, 8)$, qui appartient à $(d)$.
    Ainsi, $g(2)=3\times 2+p^{\prime}=8$, soit $p^{\prime}=8-6=2$.
    La fonction $g$ est donc définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=3x+2$.
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Propriété

On considère une fonction affine $f$ définie par $f(x)=mx+p$.
Son sens de variation dépend du signe de son coefficient directeur :

  • si $m > 0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ :

Tableau de variations de f pour m strictement positif Tableau de variations de f pour m strictement positif

  • si $m < 0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$ ;

Tableau de variations de f pour m strictement négatif Tableau de variations de f pour m strictement négatif

  • si $m=0$, $f$ est constante sur $\mathbb R$.
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Exemple

  • La fonction affine $f:x\mapsto f(x)=-4x-3$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$, puisque $-4 < 0$.
  • La fonction affine $g:x\mapsto g(x)=3x+2$ est strictement croissante sur $\mathbb R$, puisque $3 > 0$.

Phénomènes discrets et continus à croissance linéaire

Suites arithmétiques et fonctions affines

On considère la suite arithmétique $u$, de premier terme $\pink{u(0)=2}$ et de raison $\green{r=0,5}$. On a alors, pour tout entier naturel $n$ :
$$u(n)=\pink{2}+\green{0,5}n$$

On donne ci-dessous les premiers termes de la suite $u$, qu’on représente ensuite graphiquement par un nuage de points que l’on sait alignés : on représente donc aussi la droite $(d)$ qui passe par l’ensemble de ces points :

Premiers termes de la suite u Premiers termes de la suite u

Représentation des premiers termes de la suite u Représentation des premiers termes de la suite u

On voit que :

  • l’ordonnée à l’origine de $(d)$ est égal à $\pink 2$, soit la valeur du premier terme $\pink {u(0)}$ ;
  • son coefficient directeur est égal à $\green {0,5}$, soit la valeur de la raison $\green r$.
  • Ainsi, la droite $(d)$, qui passe par les points de la représentation graphique de $u$, est la droite représentative de la fonction affine définie par :
    $$f(x)=\green{0,5}x+\pink{2}=\green rx+\pink {u(0)}$$
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Propriété

Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u(0)$ et de raison $r$, définie sur $\mathbb N$ par $u(n)=u(0)+nr$.
On a alors $u(n)=f(n)$, avec $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=rx+u(0)$.
Les points représentant la suite $u$ appartiennent à la droite représentative de $f$.

Remarques :
Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u(0)$ et de raison $r$, et $f$ la fonction affine définie par $f(x)=rx+u(0)$.

  • La fonction $f$ est le prolongement pour tout réel $x$ de la suite $u$.
  • La suite $u$ et la fonction $f$ ont le même sens de variation.

Modélisation d’un phénomène à croissance linéaire

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À retenir

Une suite est une fonction dont la variable ne prend que des valeurs entières positives, qui sont « isolées ». Les suites permettent de modéliser des phénomènes dont l’évolution est dite discrète.

  • En particulier, les suites arithmétiques permettent de modéliser des phénomènes dont l’évolution est discrète et linéaire (la variation absolue entre deux termes consécutifs est constante).

Une fonction est définie sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) de $\mathbb R$ : la variable prend alors « toutes » les valeurs réelles appartenant au domaine de définition. Les fonctions permettent de modéliser des phénomènes dont l’évolution est dite continue.

  • En particulier, les fonctions affines permettent de modéliser des phénomènes dont l’évolution est continue et linéaire (le taux d’accroissement est constant).
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Exemple

Justine décide d’épargner $225\ €$ à chaque début de mois, qu’elle dépose sur son compte d’épargne où il y avait déjà $750\ €$. Elle décide de ne pas retirer d’argent du compte jusqu’à nouvel ordre.
L’évolution du capital disponible sur le compte juste après chaque dépôt est discrète : la variable est le nombre entier et positif de dépôts.
De plus, l’évolution est linéaire : Justine dépose à chaque fois le même montant de $225\ €$, et elle n’y retire rien ; ainsi, le capital augmente toujours du même montant.

On peut modéliser l’évolution de l’épargne de Justine par une suite arithmétique $u$ où, pour tout entier naturel $n$, $u(n)$ est le capital, en euro, disponible sur le compte après $n$ dépôts. La raison de $u$ est alors $r=225$.
Le premier terme $u(0)$ est égal au capital après $0$ dépôt, c’est donc le capital initial, en euro : $u(0)=750$.

  • La suite $u$ est une suite arithmétique définie, pour tout entier naturel $n$, par :
    $$u(n)=750+225n$$

Par exemple, après $12$ dépôts mensuels, Justine disposera sur son compte d’épargne d’un montant, en euro, de :
$$u(12)=750+225\times 12=3\,450$$

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Exemple

Pour l’électricité de sa maison, Justine paye un abonnement de $131,90\ €$ par an, puis $0,20\ €$ par kilowattheure consommé.
L’évolution du montant de sa facture annuelle en fonction de sa consommation est continue : la variable est le nombre de kilowattheures consommés, qui peut prendre n’importe quelle valeur réelle positive.
De plus, l’évolution est linéaire : le prix d’un kilowattheure reste constant.

  • On peut alors modéliser l’évolution du montant à payer, en euro, en fonction de l’électricité consommée, en kilowattheure, par la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb R^+$ par :
    $$f(x)=0,2x+131,9$$

Par exemple, si Justine consomme dans l’année $3\,813,55\ \text{kWh}$, sa facture, en euro, s’élèvera à :
$$f(3\,813,55)=0,20\times 3\,813,55+131,90=894,61$$