Cours : Croissance linéaire et suites arithmétiques

On considère la liste des carrés parfaits, classés dans l’ordre croissant :
$$\lbrace 0\ ;\, 1\ ;\, 4\ ;\, 9,\,16\ ;\, 25\ ;\, 36\ ;\, … \rbrace$$

Cette liste peut être considérée comme une suite $u$ :

• son premier terme est le terme de rang $0$ et vaut $0$ : $u(0)=0$ ;
• son terme de rang $1$ vaut $1$ : $u(1)=1$ ;
• son terme de rang $2$ vaut $4$ : $u(2)=4$ ;
• et ainsi de suite :

• Cette suite $u$ associe, à tout entier naturel $n$, son carré ; elle est définie sur $\mathbb N$ par $u(n)=n^2$.

Ainsi, par exemple :
$$\begin{aligned} u(12)&=12^2=144 \\ u(50)&=50^2=2\,500 \\ u(10^6)&={(10^6)}^2=10^{12} \end{aligned}$$

Attention : On a commencé la numérotation des termes à $0$. Ainsi, $u(0)$ est le premier terme. Le terme de rang $1$, $u(1)$, est le deuxième terme. Le terme de rang $2$, $u(2)$, est le troisième terme….

On peut représenter les $11$ premiers termes de la suite par les points de coordonnées :

• $\big(0\ ;\, u(0)\big)$, soit $(0\ ;\, 0)$ ;
• $\big(1\ ;\, u(1)\big)$, soit $(1\ ;\, 1)$ ;
• $\big(2\ ;\, u(2)\big)$, soit $(2\ ;\, 4)$ ;
• $\big(3\ ;\, u(3)\big)$, soit $(3\ ;\, 9)$ ;
• etc.

Soit $u$ la suite arithmétique de premier terme $\purple{u(0)=-4}$ et de raison $\red{r=2,5}$.

• On a alors la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u(n+1)=u(n)+\red r=u(n)+\red{2,5}$$
  On a ainsi, par exemple :
  $$\begin{aligned} \green{u(1)}&= \purple{u(0)}+\red r=\purple{-4}+\red {2,5}=\green{-1,5} \\ \pink{u(2)}&= \green{u(1)}+\red r= \green{-1,5}+\red{2,5}=\pink{1} \end{aligned}$$
• On a aussi la formule explicite, qui exprime le terme général $u(n)$ en fonction de $n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :
  $$u(n)=\purple{u(0)}+ n\red r=\purple {-4}+ \red{2,5}n$$
  On peut alors calculer directement, par exemple, les termes de rangs $12$ et $20$ :
  $$\begin{aligned} \orange{u(12)}&=\purple {-4}+ \red{2,5}\times \orange{12}= \orange{26} \\ \blue{u(21)}&=\purple {-4}+ \red{2,5}\times \blue{21}= \blue{48,5} \end{aligned}$$

Soit $v$ la suite arithmétique de premier terme $\purple{v(0)=7}$ et de raison $\red{r^{\prime}=-3}$.
De la même façon que pour la suite $u$, on peut donner la relation de récurrence qui la définit, et la formule explicite. Pour tout entier naturel $n$ :
$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Récurrence\ :\ }}&v(n+1)= v(n)+\red {r^{\prime}}= v(n)\red{-3} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Explicite\ :\ }}&v(n)=\purple{v(0)}+ n\red{r^{\prime}} =\purple{7}\red{-3}n \end{aligned}$$

Soit $u$ la suite arithmétique de premier terme $u(0)=-4$ et de raison $r=2,5$.
On veut représenter la suite $u$ par un nuage de points de coordonnées $\big(n\ ;\, u(n)\big)$ , pour $0 \leq n \leq 10$.
On peut calculer les termes voulus, en utilisant soit la relation de récurrence, soit la formule explicite, comme expliqué dans l’exemple de la partie 2.a. Le tableau suivant donne les résultats :

On peut maintenant placer dans un repère les points de coordonnées $(0\ ;\, -4)$, $(1\ ;\, -1,5)$, $(2\ ;\, 1)$, etc.

La raison $r=2,5$ de $u$ est strictement positive, donc $u$ est strictement croissante.
On voit bien que, sur la représentation, le nuage de points « monte » : quand $n$ augmente, $u(n)$ augmente.
On peut aussi voir que les points sont effectivement alignés.

On a représenté ci-dessous les $11$ premiers termes de la suite arithmétique $v$, de premier terme $v(0)=7$ et de raison $r^{\prime}=-3$ :

La raison $r^{\prime}=-3$ de $v$ est strictement négative, donc $v$ est strictement décroissante.
On voit bien que, sur la représentation, le nuage de points « descend » : quand $n$ augmente, $u(n)$ diminue.
On peut voir que, ici aussi, les points sont effectivement alignés.