Les nombres relatifs
Prérequis :
- cours sur les nombres entiers et décimaux [repérage d’un nombre décimal sur une demi-droite graduée].
Introduction :
Au fil des siècles sont apparus les nombres relatifs pour les besoins des hommes dans de nombreux domaines. Prenons deux exemples simples.
- Un avion vole souvent à une altitude d’environ $10\,000\text{ m}$. La plongée, elle, permet d’observer les milieux sous-marins à une profondeur de $-30\text{ m}$, $-100\text{ m}$…
- À partir de la Révolution de 1789, le degré Celsius fut adopté pour mesurer les températures.
En été, elle peut monter $30\,\degree \text{C}$ « au-dessus de zéro », soit $+30\,\degree \text{C}$. Mais, en hiver, la température peut descendre $12\,\degree \text{C}$ « au-dessous de zéro », soit $-12\,\degree \text{C}$.
Pour chacune de ces grandeurs, un zéro a ainsi été fixé : pour l’altitude (et la profondeur), au niveau de la mer ; pour la température, à celle de solidification de l’eau (en dessous, l’eau est solide et, au-dessus, elle est liquide).
Dans ce cours, nous allons donc découvrir les nombres relatifs, qui regroupent les nombres supérieurs et inférieurs à $0$. Nous verrons aussi comment les placer sur une droite graduée par rapport à $0$, ce qui nous permettra de les comparer.
Enfin, forts de cette nouvelle notion de nombres relatifs, nous verrons comment nous repérer dans le plan (en deux dimensions).
Notion de nombres relatifs
Notion de nombres relatifs
Définition
Définition
Définition
Nombres positifs :
Les nombres supérieurs ou égaux à $0$ sont appelés nombres positifs.
- On peut les noter avec le signe $+$, mais, en général, on ne l’écrit pas.
Exemple
$+3$ ; $+4,25$ ; $+\frac 12$ sont des nombres positifs.
- On peut les noter plus simplement : $3$ ; $4,25$ ; $\frac 12$.
Définition
Nombres négatifs :
Les nombres inférieurs ou égaux à $0$ sont appelés nombres négatifs.
- On les note avec le signe $-$.
Exemple
$-1$ ; $-7,75$ ; $-\frac 94$ sont des nombres négatifs.
À retenir
Les deux définitions précédentes montrent que $0$ fait partie à la fois des nombres positifs et des nombres négatifs.
- C’est le seul nombre à être positif et négatif.
Nous pouvons maintenant définir les nombres relatifs.
Définition
Nombres relatifs :
Ils regroupent l’ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs.
- Ils sont donc formés d’un signe $+$ ou $-$ placé avant le nombre.
Repérage sur une droite graduée
Repérage sur une droite graduée
Vous avez appris en sixième à repérer des nombres supérieurs à $0$ sur une demi-droite graduée.
Mais, avec les nombres relatifs, nous considérons aussi des nombres plus petits que $0$. Nous allons donc apprendre à les repérer sur une droite graduée.
Définition
Droite graduée :
Une droite graduée est définie par :
- un sens ;
- une origine, souvent notée $O$, à laquelle est associée le nombre $0$ ;
- une unité de longueur, reportée régulièrement des deux côtés de l’origine.
Droite graduée
Définition
Abscisse d’un point :
Sur une droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.
Définition
Distance à zéro :
La distance à zéro d’un nombre relatif est la distance entre l’origine et le point de la droite associé à ce nombre, c’est-à-dire la longueur du segment délimité par l’origine et ce point.
À retenir
Quand on parcourt la droite dans son sens (généralement de la gauche vers la droite) :
- les nombres négatifs sont avant l’origine ;
- les nombres positifs sont après l’origine.
Exemple
Lire les abscisses de points sur une droite graduée
Le point $A$ a pour abscisse $-3,4$.
- On note : $A\,(-3,4)$.
- La distance à zéro de $-3,4$ est la distance $OA=3,4$.
Le point $B$ a pour abscisse $+3$.
- On note : $B\,(+3)$, ou, plus simplement, $B\,(3)$.
- La distance à zéro de $+3$ est la distance $OB=3$.
Opposé d’un nombre
Opposé d’un nombre
À l’avenir, vous utiliserez très souvent la notion de nombres opposés.
Définition
Nombre opposé :
Un nombre et son opposé ont la même distance à zéro, mais sont de signes contraires :
- si le nombre est positif, son opposé est négatif ;
- si le nombre est négatif, son opposé est positif.
- On dit que les deux nombres sont opposés.
L’opposé de $0$ est lui-même.
Exemple
Nombres opposés sur une droite graduée
$-3,4$ et $3,4$ ont la même distance à zéro ($OA=OB=3,4$), et ils sont de signes contraires.
- Ce sont des nombres opposés.
- $3,4$ est l’opposé de $-3,4$.
- $-3,4$ est l’opposé de $3,4$.
$-2$ et $2$ ont la même distance à zéro ($OC=OD=2$), et ils sont de signes contraires.
- Ce sont des nombres opposés.
- $-2$ est l’opposé de $2$.
- $2$ est l’opposé de $-2$.
Astuce
Pour obtenir l’opposé d’un nombre donné, il suffit de changer son signe.
Comparer des nombres relatifs
Comparer des nombres relatifs
Commençons par une propriété simple.
Propriété
Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
Comparons maintenant deux nombres qui sont de même signe.
Propriété
- De deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.
- De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Attention
Il faut insister sur ce point : quand on compare deux nombres négatifs, on regarde leurs distances à zéro, et c’est bien celui qui a la plus grande distance à zéro (soit la valeur numérique sans le signe moins) qui est le plus petit des deux nombres.
Une droite graduée est utile pour comparer, ou ranger, deux nombres.
Si on y place les points associés aux deux nombres, le plus grand sera toujours celui associé au point le plus à droite (si on a orienté la droite vers la droite).
Exemple
On souhaite comparer les nombres relatifs $-2,09$ et $-2,9$.
- Ce sont deux nombres négatifs, on compare leurs distances à zéro : $2,9>2,09$ (car le chiffre des dixièmes de $2,\red 9$ est plus grand que celui de $2,\red 09$).
- Le plus petit nombre est donc $-2,9$ :
$-2,9<-2,09$. - Plaçons les points $A\,(-2,09)$ et $B\,(-2,9)$ sur une droite graduée :
Comparaison de deux nombres sur une droite graduée
- Le point $A$ est plus à droite que $B$, son abscisse ($-2,09$) est donc plus grande que celle de $B$ ($-2,9$) :
$-2,09 > -2,9$, ce qui revient à : $-2,9 < -2,09$.
Repérage dans le plan
Repérage dans le plan
Repère orthogonal et coordonnées d’un point
Repère orthogonal et coordonnées d’un point
Nous avons vu comment repérer un point sur une droite. Mais il peut être important de savoir se repérer dans un plan, comme sur votre feuille de papier. Nous passons ainsi d’une dimension à deux dimensions.
- Nous nous servons alors d’un repère orthogonal.
Définition
Repère orthogonal :
Un repère orthogonal est formé par deux droites graduées perpendiculaires, dont les origines coïncident. Ces deux droites sont appelées :
- axe des abscisses ;
- axe des ordonnées.
Un repère orthogonal du plan
Définition
Coordonnées d’un point dans un repère :
Dans un repère orthogonal du plan, un point $M$ est repéré par deux nombres relatifs :
- l’un qu’on lit sur l’axe des abscisses, appelé abscisse du point ;
- l’autre qu’on lit sur l’axe des ordonnées, appelé ordonnée du point.
- Ce couple de nombres relatifs est appelé coordonnées du point.
On note : $M\,(\text{abscisse}\ ;\, \text{ordonnée})$, toujours dans cet ordre.
L’origine a pour coordonnées $(0\ ;\, 0)$.
Regardons maintenant comment on détermine les coordonnées d’un point dans un repère.
À retenir
Méthode : Comment lire les coordonnées d’un point
On considère un point $M$ placé dans un repère orthogonal.
- On trace la parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par $M$, et on repère où elle coupe l’axe des abscisses.
- On obtient ainsi l’abscisse de $M$.
- On trace la parallèle à l’axe des abscisses qui passe par $M$, et on repère où elle coupe l’axe des ordonnées.
- On obtient ainsi l’ordonnée de $M$.
- Quand on notera les coordonnées du point, on pensera bien à mettre d’abord l’abscisse, puis l’ordonnée.
Exemple
On a placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans un repère orthogonal.
Pour déterminer leurs coordonnées, on suit la méthode indiquée ci-dessus :
Lire les coordonnées d’un point dans un repère orthogonal
On note bien l’abscisse en premier, et on obtient :
$$\textcolor{#FF7F00}{A\,(-3\ ;\, 2)}\qquad \textcolor{#7F00FF}{B\,(-2\ ;\, -1)}\qquad \textcolor{#CC0000}{C\,(4\ ;\, 3)}\qquad \textcolor{#FF6699}{D\,(1\ ;\, -2)}$$
Il est aussi souvent demandé de placer, dans un repère du plan, des points dont les coordonnées sont connues. Donnons là aussi une méthode.
À retenir
Méthode : Comment placer dans un repère un point de coordonnées données
On considère un point $M$ dont on connaît les coordonnées dans un repère orthogonal, que l’on souhaite placer.
- On n’oublie pas que le premier nombre noté est l’abscisse, et le second l’ordonnée.
- On repère son abscisse et le point associé sur l’axe des abscisses.
- On trace une droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point.
- On repère son ordonnée et le point associé sur l’axe des ordonnées.
- On trace une droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point.
- Le point $M$ est le point d’intersection des deux droites tracées.
Exemple
On cherche à placer les points $A\,(-3\ ;\, 2)$ et $B\,(2\ ;\, -3)$.
On fait bien attention à l’ordre des coordonnées :
- $A$ a pour abscisse $-3$ et pour ordonnée $2$,
- quand $B$ a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $-3$.
- L’ordre est primordial !
Placer un point de coordonnées connues dans un repère orthogonal
Conclusion :
Nous avons découvert dans ce cours les nombres relatifs et appris à nous repérer sur une droite graduée.
Le prochain cours nous montrera comment faire des opérations d’addition et de soustraction avec ces nombres relatifs.
Nous avons aussi vu comment nous servir des nombres relatifs pour nous repérer dans le plan. Durant les classes supérieures, cette notion de repérage dans le plan sera fondamentale, que ce soit en mathématiques, en physique-chimie ou dans d’autres matières.