Démonstration : Démonstration des solutions complexes dans une équation du second degré

Nous connaissons déjà la méthode pour trouver les racines d’un polynôme du second degré dans l’ensemble des réels. Ici, nous allons nous intéresser à sa solution dans l’ensemble des complexes, c’est-à-dire le cas où le discriminant $\Delta$ est négatif.

Propriété :

• Résolution d’une équation du second degré dans $\mathbb{C}$ :

Soit, dans $\mathbb{C}$, l’équation $(E)$ : $az^2+bz+c=0$,
les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\neq 0$. On pose $\Delta=b^2-4ac$ et on appelle $S$ l’ensemble des solutions de $(E)$.

• Si $\Delta>0$, $S=\Big\lbrace \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a};\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\Big \rbrace $
• Si $\Delta =0$, $S=\dfrac{-b}{2a}$
• Si $\Delta<0$, $S=\Big\lbrace \dfrac{-b+i\sqrt-\Delta}{2a};\dfrac{-b-i\sqrt-\Delta}{2a}\Big \rbrace $

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

• Écriture canonique d'un polynôme du second degré de la forme $z^2+bz+c=0$. Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $a\neq 0$
  $x^2+bx+c=a\Big((x+\dfrac{b}{2a})^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}\Big)$
  avec $\Delta=b^2-4ac$
• Identité remarquable : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Soit, dans $\mathbb{C}$, l’équation $(E)$ : $az^2+bz+c=0$, les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\neq 0$. On pose $\Delta =b^2-4ac$.

Nous connaissons les solutions d'une équation du second degré à coefficients réels lorsque $\Delta$ est positif ou nul.

Pour déterminer la solution lorsque ∆ est négatif, nous nous servons des nombres complexes.

Si $\Delta<0$, alors$-\Delta>0$ On pose : $\Delta=-(-\Delta)=i^2(-\Delta)=(i\sqrt{-\Delta})^2$

Donc, l'écriture canonique devient :

$\begin {aligned}a\Big(\big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\dfrac{(i\sqrt-\Delta)}{4a^2}\big)&=0 \\ \big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\Big(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{4a^2}\Big)^2&=0 \end{aligned}$

À l'aide de l'identité remarquable, on obtient : $\big(z+\dfrac{b}{2a}-(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0$
$\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0$

Or un produit de facteurs est nul, si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$$\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0$$ ou $$\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0$$

soit : $$z=\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ ou $$z=\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

et donc , si $\Delta<0$, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ ou $$z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$