Dépendance de deux grandeurs

Introduction :

L’aire d’un cercle qui dépend de son rayon, le volume d’un cube qui dépend de la longueur de ses arêtes, la pression de l’air qui dépend de l’altitude… Ou encore le prix d’un produit qui dépend de la quantité achetée, la quantité de papier cadeau qui dépend de la taille du cadeau… Les exemples de grandeurs qui dépendent d’autres grandeurs sont nombreux, en sciences comme au quotidien.

Dans ce cours, nous allons nous intéresser à la dépendance de deux grandeurs et découvrir comment nous pouvons l’étudier, à l’aide d’une formule littérale, d’un tableau de valeurs ou d’une représentation graphique. Pour cela, nous utiliserons le même exemple .

Formule littérale

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Définition

Dépendance de deux grandeurs :

On considère deux grandeurs, G1G_1 et G2G_2.
Lorsqu’il existe un lien entre les deux grandeurs, avec les valeurs de G2G_2 qui varient lorsque celles de G1G_1 varient, on dit qu’il y a dépendance entre les deux grandeurs. Autrement dit, les grandeurs G1G_1 et G2G_2 sont dépendantes.

  • On dit que la grandeur G2G_2 varie en fonction de la grandeur G1G_1.
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Attention

S’il y a proportionnalité entre deux grandeurs, alors il y a dépendance des deux grandeurs.
En revanche, deux grandeurs dépendantes ne sont pas nécessairement proportionnelles !

Nous allons illustrer cette situation de dépendance par un exemple.

Présentation de la situation

Lucie dispose d’un terrain rectangulaire, de largeur 7 m7\ \text{m} et de longueur 9 m9\ \text{m}. Elle veut y faire un espace potager, de forme carrée. Et elle s’intéresse à l’aire de terrain restant après délimitation du potager.

Représentation du projet de potager de Lucie Représentation du projet de potager de Lucie

Cette aire de terrain restant dépend de l’aire du potager : plus le potager est grand, plus l’aire restante sera petite ; plus le potager est petit, plus l’aire restante sera grande. Comme le potager est un carré, son aire dépend de la longueur de son côté. Ainsi, l’aire de terrain restant dépend de la longueur des côtés du « carré potager ».

  • Lucie souhaite exprimer l’aire restante en fonction de la longueur des côtés du carré.

Obtenir une formule littérale

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À retenir

Lorsqu’on souhaite exprimer une grandeur en fonction d’une autre :

  • on utilise le langage littéral, en choisissant une lettre pour représenter chacune des grandeurs ;
  • puis on traduit l’énoncé pour montrer le lien entre les deux grandeurs ; on se sert pour cela des informations données, afin d’obtenir l’expression littérale qui exprime les valeurs d’une grandeur en fonction de l’autre.

On s’intéresse ici à l’aire de terrain restant.

  • On la note A\mathcal A, elle s’exprime en mètre carré.

On veut l’exprimer en fonction de la longueur des côtés du carré.

  • On note cette longueur cc, elle s’exprime en mètre.

Aire de terrain restant et longueur des côtés du carré Aire de terrain restant et longueur des côtés du carré

On a alors :

aire de terrain restant=aire totale du terrainaire du potagerA=9×7c2A=63c2\begin{aligned} \text{aire de terrain restant}&=\text{aire totale du terrain}-\text{aire du potager} \\ \mathcal A&=9\times 7-c^2 \\ \mathcal A&=63-c^2 \end{aligned}

Cette dernière égalité exprime l’aire de terrain restant A\mathcal A en fonction de la longueur cc des côtés du carré.

  • Elle met bien en évidence la dépendance des grandeurs A\mathcal A et cc.

Pour vraiment montrer que A\mathcal A dépend de cc, on note désormais cette aire A(c)\mathcal A(c). On a alors :

A(c)=63c2\boxed{\mathcal A(c)=63-c^2}

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Attention

La notation A(c)\mathcal A(c) dit la dépendance de A\mathcal A à cc.

  • Il ne s’agit absolument pas de multiplier A\mathcal A par cc !

Tableau de valeurs

On peut aussi mettre en évidence la dépendance entre deux grandeurs grâce à un tableau de valeurs.

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Définition

Tableau de valeurs :

On considère une grandeur G2G_2 qui varie en fonction d’une grandeur G1G_1.
Dans un tableau de valeurs, on met alors :

  • sur la première ligne, plusieurs valeurs possibles pour G1G_1, qui sont données ou que l’on choisit soi-même ;
  • sur la seconde ligne, les valeurs correspondantes de la grandeur G2G_2.
  • Si ces dernières ne sont pas données, pour les déterminer, on se sert de l’expression littérale qui lie les deux grandeurs.

Pour le problème de Lucie, on considérera donc quelques longueurs possibles pour les côtés du carré, en pensant aux éléments suivants.

  • Une longueur est évidemment toujours positive.
  • Il est donc inutile de traiter des valeurs négatives pour cc.
  • Bien sûr, le potager ne devra pas dépasser les limites du terrain (même si Lucie s’entend bien avec ses voisins).
  • Le terrain a une largeur de 7 m7\ \text{m}, les côtés du carré ne pourront donc pas dépasser une longueur de 7 m7\ \text{m}.

On se propose ainsi de s’intéresser, pour cc, aux valeurs entières comprises entre 00 et 77.
On a alors le tableau de valeurs suivants, que l’on a partiellement rempli :

Longueur cc (en m\text m) 0\textcolor{#DF01D7}0 1\textcolor{#DF01D7}1 2\textcolor{#DF01D7}2 3\textcolor{#DF01D7}3 4\textcolor{#DF01D7}4 5\textcolor{#DF01D7}5 6\textcolor{#DF01D7}6 7\textcolor{#DF01D7}7
Aire A(c)\mathcal A(c) (en m2\text m^2) 63\textcolor{#1BAF79}{63} 62\textcolor{#1BAF79}{62} 59\textcolor{#1BAF79}{59} 54\textcolor{#1BAF79}{54}

Intéressons-nous d’abord aux colonnes déjà remplies.
Elles permettent de voir très rapidement l’aire restante correspondant à une longueur donnée.

  • Par exemple, si la longueur du côté du potager est égale à 0 m\textcolor{#DF01D7} {0\ \text{m}}, l’aire restante sera égale à 63 m2\textcolor{#1BAF79}{63\ \text{m}^2}.
  • Ce qui est logique : dans le cas où la longueur du carré est nulle, le potager n’existe pas (ce qui demande moins de jardinage, il est vrai)… On trouve donc l’aire totale du terrain.
  • Ou encore, si la longueur du côté du potager est égale à 3 m\textcolor{#DF01D7} {3\ \text{m}}, l’aire restante sera égale à 54 m2\textcolor{#1BAF79}{54\ \text{m}^2}.

On peut aussi y lire, pour une aire restante donnée, la longueur du carré correspondante.

  • Si Lucie souhaite une aire restante de 62 m2\textcolor{#1BAF79}{62\ \text{m}^2}, il faudra un carré de côté 1 m\textcolor{#DF01D7} {1\ \text{m}}.
  • À une aire restante de 59 m2\textcolor{#1BAF79}{59\ \text{m}^2}, correspond une longueur de côté de 2 m\textcolor{#DF01D7} {2\ \text{m}}.

Cherchons maintenant à remplir les cellules vides du tableau.
Il faut donc calculer, pour les longueurs de côté données, l’aire de terrain restant. On se sert alors de l’expression littérale trouvée dans la première partie :

A(c)=63c2\mathcal A(\textcolor{#DF01D7} c)=63-\textcolor{#DF01D7} c^2

Pour cela, on remplace, dans l’expression, cc par les valeurs voulues.

  • Pour c=4c=\textcolor{#DF01D7} 4, on a :

A(4)=6342=6316=47\mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 4)=63-\textcolor{#DF01D7} 4^2=63-16=\textcolor{#1BAF79}{47}

On interprète cette égalité ainsi : si Lucie réalise un potager de côté 4 m\textcolor{#DF01D7}{4\ \text{m}}, il lui restera 47 m2\textcolor{#1BAF79}{47\ \text{m}^2} de terrain « libre ».

  • On peut calculer ainsi toutes les aires voulues, jusqu’à c=7c=\textcolor{#DF01D7} 7 :

A(5)=6352=6325=38A(6)=6362=6336=27A(7)=6372=6349=14\begin{aligned} \mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 5)&=63-\textcolor{#DF01D7} 5^2=63-25=\textcolor{#1BAF79}{38} \\ \mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 6)&=63-\textcolor{#DF01D7} 6^2=63-36=\textcolor{#1BAF79}{27} \\ \mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 7)&=63-\textcolor{#DF01D7} 7^2=63-49=\textcolor{#1BAF79}{14} \end{aligned}

Cette dernière égalité signifie que, si Lucie veut que son potager prenne toute la largeur de son terrain, soit 7 m\textcolor{#DF01D7}{7\ \text{m}}, il lui restera seulement 14 m2\textcolor{#1BAF79}{14\ \text{m}^2} de terrain « libre ».

  • On obtient ainsi le tableau de valeurs complété :

Longueur cc (en m\text m) 0\textcolor{#DF01D7}0 1\textcolor{#DF01D7}1 2\textcolor{#DF01D7}2 3\textcolor{#DF01D7}3 4\textcolor{#DF01D7}4 5\textcolor{#DF01D7}5 6\textcolor{#DF01D7}6 7\textcolor{#DF01D7}7
Aire A(c)\mathcal A(c) (en m2\text m^2) 63\textcolor{#1BAF79}{63} 62\textcolor{#1BAF79}{62} 59\textcolor{#1BAF79}{59} 54\textcolor{#1BAF79}{54} 47\textcolor{#1BAF79}{47} 38\textcolor{#1BAF79}{38} 27\textcolor{#1BAF79}{27} 14\textcolor{#1BAF79}{14}

Comme on l’a vu, un tel tableau de valeurs a l’avantage de donner directement l’aire restante pour une longueur donnée, ou la longueur correspondant à une aire restante voulue. Mais il a le désavantage d’avoir un nombre limité de valeurs.

Représentation graphique

Nous allons, dans cette partie, chercher à représenter graphiquement la dépendance de deux grandeurs.

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À retenir

On considère une grandeur G2G_2 qui varie en fonction d’une grandeur G1G_1.
Pour représenter graphiquement la dépendance entre les deux grandeurs, on peut se servir d’un graphique cartésien.

  • On place alors, dans un repère, les points qui ont :
  • pour abscisses les valeurs de G1G_1 ;
  • pour ordonnées les valeurs correspondantes de G2G_2.
  • On pourra ensuite relier les points pour obtenir une courbe.
  • Cette courbe est la représentation graphique de G2G_2 en fonction de G1G_1.

Il est donc important de retenir que l’axe des ordonnées correspond à la grandeur qui varie en fonction de l’autre.

Pour le problème de Lucie, on place la longueur cc en abscisse, et l’aire restante A(c)\mathcal A(c) en ordonnées.

Coordonnées des points

Reprenons maintenant le tableau de valeurs :

Longueur cc (en m\text m) 0\textcolor{#DF01D7}0 1\textcolor{#DF01D7}1 2\textcolor{#DF01D7}2 3\textcolor{#DF01D7}3 4\textcolor{#DF01D7}4 5\textcolor{#DF01D7}5 6\textcolor{#DF01D7}6 7\textcolor{#DF01D7}7
Aire A(c)\mathcal A(c) (en m2\text m^2) 63\textcolor{#1BAF79}{63} 62\textcolor{#1BAF79}{62} 59\textcolor{#1BAF79}{59} 54\textcolor{#1BAF79}{54} 47\textcolor{#1BAF79}{47} 38\textcolor{#1BAF79}{38} 27\textcolor{#1BAF79}{27} 14\textcolor{#1BAF79}{14}

Chaque point aura pour abscisse c\textcolor{#DF01D7}c et ordonnée A(c)\textcolor{#1BAF79}{\mathcal A(c)}, et possède ainsi, pour coordonnées :

(c ;A(c))\boxed{\big(\textcolor{#DF01D7}c\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{\mathcal A(c)} \big)}

Nous obtenons ainsi les points suivants avec leurs coordonnées :

M(0 ;63)N(1 ;62)P(2 ;59)Q(3 ;54)M\,(\textcolor{#DF01D7}0\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{63}) \qquad N\,(\textcolor{#DF01D7}1\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{62}) \qquad P\,(\textcolor{#DF01D7}2\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{59}) \qquad Q\,(\textcolor{#DF01D7}3\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{54})

R(4 ;47)S(5 ;38)T(6 ;27)U(7 ;14)R\,(\textcolor{#DF01D7}4\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{47}) \qquad S\,(\textcolor{#DF01D7}5\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{38}) \qquad T\,(\textcolor{#DF01D7}6\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{27}) \qquad U\,(\textcolor{#DF01D7}7\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{14})

Placement des points dans un repère

Nous allons placer ces points dans un repère d’origine OO. Pour les axes, nous savons que :

  • les abscisses seront comprises entre 00 et 77 ;
  • les ordonnées iront jusqu’à 6363.
  • On choisit, pour des raisons de lisibilité, des graduations de 0,50,5 pour l’axe des abscisses, et de 55 pour l’axe des ordonnées :

Construction de la représentation graphique : placement des points Construction de la représentation graphique : placement des points

Tracé de la courbe

Pour tracer la courbe, on relie les points entre eux.
Mais, attention ici, les points ne sont visiblement pas alignés : on ne les joindra pas à la règle, mais à « main levée », en essayant de respecter l’allure donnée par les points :

Construction de la représentation graphique : tracé des points Construction de la représentation graphique : tracé des points

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Astuce

Si besoin, pour tracer la courbe, on peut déterminer les coordonnées d’autres points : plus les points seront nombreux, plus le tracé sera précis.

Cette courbe tracée, on va pouvoir l’exploiter pour répondre graphiquement à deux types de questions :

  • pour une longueur des côtés donnée, quelle est l’aire restante correspondante ?
  • pour une aire restante donnée, quelle est la longueur des côtés correspondante ?

Aire restante pour une longueur donnée

Par exemple, Lucie, dans un premier temps, réfléchit au plus grand potager possible, mais qui ne prenne tout de même pas toute la largeur de son terrain. Elle envisage ainsi un carré de côté 6,5 m \textcolor{#DF01D7}{6,5\ \text{m}} ; quelle sera alors l’aire de terrain restant ?

Nous venons de construire la représentation graphique, nous allons donc nous en servir pour répondre à cette question.

  • La longueur est donnée, elle se lit sur l’axe des abscisses.
  • On place, sur l’axe des abscisses, le point d’abscisse 6,5 \textcolor{#DF01D7}{6,5}.
  • On trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point.
  • Elle coupe la courbe en un point que l’on note II.
  • On regarde alors l’ordonnée de ce point II.
  • La valeur de l’ordonnée de II est alors l’aire restante correspondante.

Aire restante pour une longueur de 6,5 m Aire restante pour une longueur de 6,5 m

On trouve une aire restante légèrement inférieure à 21 m2 \textcolor{#1BAF79}{21\ \text{m}^2}.

Une représentation graphique a permis, de manière visuelle, rapide et efficace, de trouver la réponse à la question posée. Mais elle a la précision que le graphique permet. Assez souvent, donc, on ne trouvera qu’une valeur approchée.
Comme on connaît l’expression littérale qui décrit la dépendance des deux grandeurs, on peut aussi l’utiliser pour déterminer l’aire restante pour une longueur des côtés du carré égale à 6,5 m\textcolor{#DF01D7}{6,5\ \text{m}}. On trouve alors la valeur exacte :

A(6,5)=636,52=6342,25=20,75 m2\mathcal A(\textcolor{#DF01D7}{6,5})=63-\textcolor{#DF01D7}{6,5}^2=63-42,25=\textcolor{#1BAF79}{20,75\ \text{m}^2}

Toutefois, dans de nombreux cas, une valeur approchée peut suffire. Dans la réflexion de Lucie, savoir qu’il lui resterait environ 21 m221\ \text{m}^2 est pour l’instant suffisant.

Longueur pour une aire restante donnée

Finalement, Lucie décide de conserver une aire de terrain « libre » d’environ 40 m2\textcolor{#1BAF79}{40\ \text{m}^2} ; quelle longueur donner alors aux côtés du « carré potager » ?

En quatrième, nous ne savons pas encore répondre à cette question en utilisant l’expression littérale (nous l’apprendrons en troisième).
Par ailleurs, la valeur de 40 m240\ \text{m}^2 ne figure pas dans le tableau de valeurs que nous avons construit.

On dispose cependant la représentation graphique, on se sert donc de la courbe pour répondre à la question.

  • Cette fois, c’est l’aire restante qui est donnée, et elle se lit sur l’axe des ordonnées.
  • On place, sur l’axe des ordonnées, le point d’ordonnée 40\textcolor{#1BAF79}{40}.
  • On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point.
  • Elle coupe la courbe en un point que l’on note JJ.
  • On regarde alors l’abscisse de ce point JJ.
  • La valeur de l’abscisse de JJ est alors la longueur recherchée.

Longueur des côtés du carré pour une aire restante de 40 m2 Longueur des côtés du carré pour une aire restante de 40 m2

On trouve une longueur de côté d’environ 4,8 m\textcolor{#DF01D7}{4,8\ \text{m}}.

  • C’est, au final, la longueur des côtés du « carré potager » que retient Lucie.

Cette longueur choisie, on peut maintenant se servir de l’expression littérale pour donner les valeurs exactes :

  • l’aire de terrain « libre » sera égale à :

A(4,8)=634,82=6323,04=39,96 m2\mathcal A(\textcolor{#DF01D7}{4,8})=63-\textcolor{#DF01D7}{4,8}^2=63-\textcolor{#996600}{23,04}=\textcolor{#1BAF79}{39,96\ \text{m}^2}

  • l’aire du potager vaudra ainsi 23,04 m2\textcolor{#996600}{23,04\ \text{m}^2}.

Représentation à l’échelle du terrain de Lucie et du futur potager Représentation à l’échelle du terrain de Lucie et du futur potager

Conclusion :

Nous avons vu dans ce cours la notion de dépendance de deux grandeurs, que l’on peut définir par une expression littérale, un tableau de valeurs ou une représentation graphique.
En troisième, nous verrons comment les méthodes et outils traités dans ce chapitre peuvent être utilisés dans le domaine des fonctions, très important en mathématiques (et dans de nombreux domaines).

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