Cours : Dépendance de deux grandeurs

Formule littérale

Définition

Dépendance de deux grandeurs :

On considère deux grandeurs, $G_1$ et $G_2$.
Lorsqu’il existe un lien entre les deux grandeurs, avec les valeurs de $G_2$ qui varient lorsque celles de $G_1$ varient, on dit qu’il y a dépendance entre les deux grandeurs. Autrement dit, les grandeurs $G_1$ et $G_2$ sont dépendantes.

• On dit que la grandeur $G_2$ varie en fonction de la grandeur $G_1$.

Attention

S’il y a proportionnalité entre deux grandeurs, alors il y a dépendance des deux grandeurs.
En revanche, deux grandeurs dépendantes ne sont pas nécessairement proportionnelles !

Nous allons illustrer cette situation de dépendance par un exemple.

Présentation de la situation

Lucie dispose d’un terrain rectangulaire, de largeur $7\ \text{m}$ et de longueur $9\ \text{m}$. Elle veut y faire un espace potager, de forme carrée. Et elle s’intéresse à l’aire de terrain restant après délimitation du potager.

Cette aire de terrain restant dépend de l’aire du potager : plus le potager est grand, plus l’aire restante sera petite ; plus le potager est petit, plus l’aire restante sera grande. Comme le potager est un carré, son aire dépend de la longueur de son côté. Ainsi, l’aire de terrain restant dépend de la longueur des côtés du « carré potager ».

• Lucie souhaite exprimer l’aire restante en fonction de la longueur des côtés du carré.

Obtenir une formule littérale

À retenir

Lorsqu’on souhaite exprimer une grandeur en fonction d’une autre :

• on utilise le langage littéral, en choisissant une lettre pour représenter chacune des grandeurs ;
• puis on traduit l’énoncé pour montrer le lien entre les deux grandeurs ; on se sert pour cela des informations données, afin d’obtenir l’expression littérale qui exprime les valeurs d’une grandeur en fonction de l’autre.

On s’intéresse ici à l’aire de terrain restant.

• On la note $\mathcal A$, elle s’exprime en mètre carré.

On veut l’exprimer en fonction de la longueur des côtés du carré.

• On note cette longueur $c$, elle s’exprime en mètre.

On a alors :

$$\begin{aligned} \text{aire de terrain restant}&=\text{aire totale du terrain}-\text{aire du potager} \\ \mathcal A&=9\times 7-c^2 \\ \mathcal A&=63-c^2 \end{aligned}$$

Cette dernière égalité exprime l’aire de terrain restant $\mathcal A$ en fonction de la longueur $c$ des côtés du carré.

• Elle met bien en évidence la dépendance des grandeurs $\mathcal A$ et $c$.

Pour vraiment montrer que $\mathcal A$ dépend de $c$, on note désormais cette aire $\mathcal A(c)$. On a alors :

$$\boxed{\mathcal A(c)=63-c^2}$$

Attention

La notation $\mathcal A(c)$ dit la dépendance de $\mathcal A$ à $c$.

• Il ne s’agit absolument pas de multiplier $\mathcal A$ par $c$ !

Tableau de valeurs

On peut aussi mettre en évidence la dépendance entre deux grandeurs grâce à un tableau de valeurs.

Définition

Tableau de valeurs :

On considère une grandeur $G_2$ qui varie en fonction d’une grandeur $G_1$.
Dans un tableau de valeurs, on met alors :

• sur la première ligne, plusieurs valeurs possibles pour $G_1$, qui sont données ou que l’on choisit soi-même ;
• sur la seconde ligne, les valeurs correspondantes de la grandeur $G_2$.
• Si ces dernières ne sont pas données, pour les déterminer, on se sert de l’expression littérale qui lie les deux grandeurs.

Pour le problème de Lucie, on considérera donc quelques longueurs possibles pour les côtés du carré, en pensant aux éléments suivants.

• Une longueur est évidemment toujours positive.
• Il est donc inutile de traiter des valeurs négatives pour $c$.
• Bien sûr, le potager ne devra pas dépasser les limites du terrain (même si Lucie s’entend bien avec ses voisins).
• Le terrain a une largeur de $7\ \text{m}$, les côtés du carré ne pourront donc pas dépasser une longueur de $7\ \text{m}$.

On se propose ainsi de s’intéresser, pour $c$, aux valeurs entières comprises entre $0$ et $7$.
On a alors le tableau de valeurs suivants, que l’on a partiellement rempli :

Intéressons-nous d’abord aux colonnes déjà remplies.
Elles permettent de voir très rapidement l’aire restante correspondant à une longueur donnée.

• Par exemple, si la longueur du côté du potager est égale à $\textcolor{#DF01D7} {0\ \text{m}}$, l’aire restante sera égale à $\textcolor{#1BAF79}{63\ \text{m}^2}$.
• Ce qui est logique : dans le cas où la longueur du carré est nulle, le potager n’existe pas (ce qui demande moins de jardinage, il est vrai)… On trouve donc l’aire totale du terrain.
• Ou encore, si la longueur du côté du potager est égale à $\textcolor{#DF01D7} {3\ \text{m}}$, l’aire restante sera égale à $\textcolor{#1BAF79}{54\ \text{m}^2}$.

On peut aussi y lire, pour une aire restante donnée, la longueur du carré correspondante.

• Si Lucie souhaite une aire restante de $\textcolor{#1BAF79}{62\ \text{m}^2}$, il faudra un carré de côté $\textcolor{#DF01D7} {1\ \text{m}}$.
• À une aire restante de $\textcolor{#1BAF79}{59\ \text{m}^2}$, correspond une longueur de côté de $\textcolor{#DF01D7} {2\ \text{m}}$.

Cherchons maintenant à remplir les cellules vides du tableau.
Il faut donc calculer, pour les longueurs de côté données, l’aire de terrain restant. On se sert alors de l’expression littérale trouvée dans la première partie :

$$\mathcal A(\textcolor{#DF01D7} c)=63-\textcolor{#DF01D7} c^2$$

Pour cela, on remplace, dans l’expression, $c$ par les valeurs voulues.

• Pour $c=\textcolor{#DF01D7} 4$, on a :

$$\mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 4)=63-\textcolor{#DF01D7} 4^2=63-16=\textcolor{#1BAF79}{47}$$

On interprète cette égalité ainsi : si Lucie réalise un potager de côté $\textcolor{#DF01D7}{4\ \text{m}}$, il lui restera $\textcolor{#1BAF79}{47\ \text{m}^2}$ de terrain « libre ».

• On peut calculer ainsi toutes les aires voulues, jusqu’à $c=\textcolor{#DF01D7} 7$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 5)&=63-\textcolor{#DF01D7} 5^2=63-25=\textcolor{#1BAF79}{38} \\ \mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 6)&=63-\textcolor{#DF01D7} 6^2=63-36=\textcolor{#1BAF79}{27} \\ \mathcal A(\textcolor{#DF01D7} 7)&=63-\textcolor{#DF01D7} 7^2=63-49=\textcolor{#1BAF79}{14} \end{aligned}$$

Cette dernière égalité signifie que, si Lucie veut que son potager prenne toute la largeur de son terrain, soit $\textcolor{#DF01D7}{7\ \text{m}}$, il lui restera seulement $\textcolor{#1BAF79}{14\ \text{m}^2}$ de terrain « libre ».

• On obtient ainsi le tableau de valeurs complété :

Comme on l’a vu, un tel tableau de valeurs a l’avantage de donner directement l’aire restante pour une longueur donnée, ou la longueur correspondant à une aire restante voulue. Mais il a le désavantage d’avoir un nombre limité de valeurs.

Représentation graphique

Nous allons, dans cette partie, chercher à représenter graphiquement la dépendance de deux grandeurs.

À retenir

On considère une grandeur $G_2$ qui varie en fonction d’une grandeur $G_1$.
Pour représenter graphiquement la dépendance entre les deux grandeurs, on peut se servir d’un graphique cartésien.

• On place alors, dans un repère, les points qui ont :
• pour abscisses les valeurs de $G_1$ ;
• pour ordonnées les valeurs correspondantes de $G_2$.
• On pourra ensuite relier les points pour obtenir une courbe.
• Cette courbe est la représentation graphique de $G_2$ en fonction de $G_1$.

Il est donc important de retenir que l’axe des ordonnées correspond à la grandeur qui varie en fonction de l’autre.

Pour le problème de Lucie, on place la longueur $c$ en abscisse, et l’aire restante $\mathcal A(c)$ en ordonnées.

Coordonnées des points

Reprenons maintenant le tableau de valeurs :

Chaque point aura pour abscisse $\textcolor{#DF01D7}c$ et ordonnée $\textcolor{#1BAF79}{\mathcal A(c)}$, et possède ainsi, pour coordonnées :

$$\boxed{\big(\textcolor{#DF01D7}c\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{\mathcal A(c)} \big)}$$

Nous obtenons ainsi les points suivants avec leurs coordonnées :

$$M\,(\textcolor{#DF01D7}0\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{63}) \qquad N\,(\textcolor{#DF01D7}1\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{62}) \qquad P\,(\textcolor{#DF01D7}2\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{59}) \qquad Q\,(\textcolor{#DF01D7}3\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{54})$$

$$R\,(\textcolor{#DF01D7}4\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{47}) \qquad S\,(\textcolor{#DF01D7}5\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{38}) \qquad T\,(\textcolor{#DF01D7}6\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{27}) \qquad U\,(\textcolor{#DF01D7}7\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{14})$$

Placement des points dans un repère

Nous allons placer ces points dans un repère d’origine $O$. Pour les axes, nous savons que :

• les abscisses seront comprises entre $0$ et $7$ ;
• les ordonnées iront jusqu’à $63$.
• On choisit, pour des raisons de lisibilité, des graduations de $0,5$ pour l’axe des abscisses, et de $5$ pour l’axe des ordonnées :

Tracé de la courbe

Pour tracer la courbe, on relie les points entre eux.
Mais, attention ici, les points ne sont visiblement pas alignés : on ne les joindra pas à la règle, mais à « main levée », en essayant de respecter l’allure donnée par les points :

Astuce

Si besoin, pour tracer la courbe, on peut déterminer les coordonnées d’autres points : plus les points seront nombreux, plus le tracé sera précis.

Cette courbe tracée, on va pouvoir l’exploiter pour répondre graphiquement à deux types de questions :

• pour une longueur des côtés donnée, quelle est l’aire restante correspondante ?
• pour une aire restante donnée, quelle est la longueur des côtés correspondante ?

Aire restante pour une longueur donnée

Par exemple, Lucie, dans un premier temps, réfléchit au plus grand potager possible, mais qui ne prenne tout de même pas toute la largeur de son terrain. Elle envisage ainsi un carré de côté $ \textcolor{#DF01D7}{6,5\ \text{m}}$ ; quelle sera alors l’aire de terrain restant ?

Nous venons de construire la représentation graphique, nous allons donc nous en servir pour répondre à cette question.

• La longueur est donnée, elle se lit sur l’axe des abscisses.
• On place, sur l’axe des abscisses, le point d’abscisse $ \textcolor{#DF01D7}{6,5}$.
• On trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point.
• Elle coupe la courbe en un point que l’on note $I$.
• On regarde alors l’ordonnée de ce point $I$.
• La valeur de l’ordonnée de $I$ est alors l’aire restante correspondante.

On trouve une aire restante légèrement inférieure à $ \textcolor{#1BAF79}{21\ \text{m}^2}$.

Une représentation graphique a permis, de manière visuelle, rapide et efficace, de trouver la réponse à la question posée. Mais elle a la précision que le graphique permet. Assez souvent, donc, on ne trouvera qu’une valeur approchée.
Comme on connaît l’expression littérale qui décrit la dépendance des deux grandeurs, on peut aussi l’utiliser pour déterminer l’aire restante pour une longueur des côtés du carré égale à $\textcolor{#DF01D7}{6,5\ \text{m}}$. On trouve alors la valeur exacte :

$$\mathcal A(\textcolor{#DF01D7}{6,5})=63-\textcolor{#DF01D7}{6,5}^2=63-42,25=\textcolor{#1BAF79}{20,75\ \text{m}^2}$$

Toutefois, dans de nombreux cas, une valeur approchée peut suffire. Dans la réflexion de Lucie, savoir qu’il lui resterait environ $21\ \text{m}^2$ est pour l’instant suffisant.

Longueur pour une aire restante donnée

Finalement, Lucie décide de conserver une aire de terrain « libre » d’environ $\textcolor{#1BAF79}{40\ \text{m}^2}$ ; quelle longueur donner alors aux côtés du « carré potager » ?

En quatrième, nous ne savons pas encore répondre à cette question en utilisant l’expression littérale (nous l’apprendrons en troisième).
Par ailleurs, la valeur de $40\ \text{m}^2$ ne figure pas dans le tableau de valeurs que nous avons construit.

On dispose cependant la représentation graphique, on se sert donc de la courbe pour répondre à la question.

• Cette fois, c’est l’aire restante qui est donnée, et elle se lit sur l’axe des ordonnées.
• On place, sur l’axe des ordonnées, le point d’ordonnée $\textcolor{#1BAF79}{40}$.
• On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point.
• Elle coupe la courbe en un point que l’on note $J$.
• On regarde alors l’abscisse de ce point $J$.
• La valeur de l’abscisse de $J$ est alors la longueur recherchée.

On trouve une longueur de côté d’environ $\textcolor{#DF01D7}{4,8\ \text{m}}$.

• C’est, au final, la longueur des côtés du « carré potager » que retient Lucie.

Cette longueur choisie, on peut maintenant se servir de l’expression littérale pour donner les valeurs exactes :

• l’aire de terrain « libre » sera égale à :

$$\mathcal A(\textcolor{#DF01D7}{4,8})=63-\textcolor{#DF01D7}{4,8}^2=63-\textcolor{#996600}{23,04}=\textcolor{#1BAF79}{39,96\ \text{m}^2}$$

• l’aire du potager vaudra ainsi $\textcolor{#996600}{23,04\ \text{m}^2}$.