Division décimale
Introduction :
L’objectif de ce cours est de revoir la division décimale qui a déjà été abordée à l’école primaire et de découvrir quelques propriétés de la division.
Dans un premier temps, nous allons revoir la méthode qui permet d’effectuer une division décimale en montrant quelques exemples. Dans un deuxième temps, nous verrons les propriétés des divisions particulières que sont celles par $10$, $100$ ou $1\ 000$. Enfin, dans un troisième temps, nous verrons des exemples d’exercices dont la résolution nécessite une division décimale.
La division décimale
La division décimale
Méthode
Méthode
- La division d’un nombre décimal par un nombre entier commence comme la division euclidienne : on doit diviser la partie entière du nombre décimal par le nombre entier.
- Une fois qu’on a trouvé le dernier reste de cette division euclidienne et qu’on est au niveau de la virgule du nombre décimal, on ajoute une virgule au quotient et on abaisse le chiffre après la virgule du dividende.
- On calcule ensuite chaque chiffre après la virgule du quotient en abaissant à chaque fois le nombre suivant du dividende au reste trouvé, ou un $0$ s’il n’y en a pas.
Exemple
Effectuons la division décimale du nombre décimal $\blue {21,6}$ par $\green 5$.
- On effectue d’abord la division euclidienne de $\blue {21}$ par $\green 5$.
- On obtient le quotient $\purple 4$ et le reste est $\orange 1$.
- On note maintenant la virgule après le quotient $\purple 4$ et on abaisse le chiffre $\blue 6$ après le reste $\orange 1$.
- Dans $16$, il y a $\purple 3$ fois $\green 5$ et il reste $\orange 1$.
- On abaisse maintenant le chiffre $\blue 0$ après le reste $\orange 1$.
- Dans $10$, il y a $\purple 2$ fois $\green 5$ et il reste $\orange 0$.
À retenir
La division décimale d’un nombre $\blue a$ (dividende) par un nombre $\green b$ non nul (diviseur) permet de calculer le nombre qui, multiplié par $\green b$, donne $\blue a$ : c’est le quotient de $\blue a$ par $\green b$.
$\blue {a} \div \green {b} = \purple {?}$ signifie la même chose que $\green{b} \times \purple{?}= \blue{a}$
On peut obtenir une valeur exacte de ce quotient ou une valeur approchée.
- Dans l’exemple précédent, $\blue{21,60} \div \green{5} = \purple{4,32}$ signifie la même chose que $\green {5} \times \purple{4,32} = \blue{21,60}$.
Exemple
Effectuons la division décimale du nombre décimal $\blue{34,7}$ par $\green{6}$.
- On effectue d’abord la division euclidienne de $\blue {34}$ par $\green 6$.
- On obtient le quotient $\purple 5$ et le reste est $\orange 4$.
- On note maintenant la virgule après le quotient $\purple 5$ et on abaisse le chiffre $\blue 7$ après le reste $\orange 4$.
- Dans $47$, il y a $\purple 7$ fois $\green 6$ ($7 \times 6 = 42$) et il reste $\orange 5$.
- On abaisse maintenant un $\blue 0$ après le reste $\orange 5$.
- Dans $50$, il y a $\purple 8$ fois $\green 6$ ($8\times 6 = 48$) et il reste $\orange 2$.
- On abaisse un autre $\blue 0$ après le reste $\orange 2$.
- Dans $20$, il y a $\purple 3$ fois $\green 6$ et il reste $\orange 2$.
- On abaisse encore un $\blue 0$ après le reste $\orange 2$.
- Dans $20$, il y a toujours $\purple 3$ fois $\green 6$ et il reste bien sûr aussi $\orange 2$.
On s’aperçoit que ce reste $\orange 2$ revient « en boucle » : la division ne s’arrête pas.
- On ne peut donc obtenir ici qu’une valeur approchée du résultat.
- La valeur approchée au millième près par défaut est $5,78\red{3}$ et celle par excès est $5,78\red{4}$.
- La valeur approchée au centième près par défaut est $5,7\red{8}$ et celle par excès est $5,7\red{9}$.
- La valeur approchée au dixième près par défaut est $5,\red{7}$ et celle par excès est $5,\red{8}$.
Résoudre une division décimale à l’aide du calcul mental
Résoudre une division décimale à l’aide du calcul mental
Certaines divisions peuvent être calculées mentalement. On a donc intérêt à les calculer de tête plutôt que de poser l’opération.
Exemple
$\blue{26} \div \green{4} = \blue{24} \div \green{4}+ \blue{2} \div \green{4} = 6 + 0,5 = 6,5$
- Diviser $26$ par $4$ revient à diviser $24$ par $4$ (ce qui donne $6$) et $2$ par $4$ (ce qui donne $0,5$).
$\blue{15} \div \green{6} = \blue{12} \div \green{6} + \blue{3} \div \green{6} = 2 + 0,5 = 2,5$
- Diviser $15$ par $6$ revient à diviser $12$ par $6$ (ce qui donne $2$) et $3$ par $6$ (ce qui donne $0,5$).
$\blue{33} \div \green{4} = \blue{32} \div \green{4} + \blue{1} \div \green{4} = 8 + 0,25 = 8,25$
- Diviser $33$ par $4$ revient à diviser $32$ par $4$ (ce qui donne $8$) et $1$ par $4$ (ce qui donne $0,25$).
$\blue{24,8} \div \green{2} = \blue{24} \div \green{2} + \blue{0,8} \div \green{2} = 12 + 0,4 = 12,4$
- Diviser $24,8$ par $2$ revient à diviser $24$ par $2$ (ce qui donne $12$) et $0,8$ par $2$ (ce qui donne $0,4$).
Astuce
Pour les divisions décimales du type $7,8 \div 6$, on peut diviser $78$ par $6$ (ce qui donne $13$), puis diviser cette valeur par $10$ car $7,8$ est $10$ fois plus petit que $78$.
On obtient ainsi : $7,8 \div 6 = 1,3$
Résoudre une division décimale à la calculatrice
Résoudre une division décimale à la calculatrice
Il faut aussi savoir calculer le résultat d’une division à la calculatrice.
On pourra obtenir :
- un résultat exact :
- ou un résultat approché :
Divisions par $10$, $100$ et $1\ 000$
Divisions par $10$, $100$ et $1\ 000$
Propriété
Propriété
Propriété
- Diviser un nombre décimal par $10$ revient à décaler la virgule de ce nombre d’un rang vers la gauche.
- Diviser un nombre décimal par $100$ revient à décaler la virgule de ce nombre de deux rangs vers la gauche.
- Diviser un nombre décimal par $1\ 000$ revient à décaler la virgule de ce nombre de trois rangs vers la gauche.
Attention
Pour appliquer cette règle, on peut avoir besoin de rajouter des zéros au nombre de départ.
Exemples
Exemples
Exemple
- $24,6 \div \red{10} = 2,46$ → Il faut décaler la virgule d’un rang vers la gauche.
- $192,7 \div \red{100} = 1,927$ → Il faut décaler la virgule de deux rangs vers la gauche.
- $38,5 \div \red{1\ 000} = 0,0385$ → Il faut décaler la virgule de trois rangs vers la gauche en rajoutant des $0$.
Exercices utilisant la division décimale
Exercices utilisant la division décimale
Nous allons voir maintenant quelques exemples dans lesquels une division décimale est nécessaire pour résoudre l’exercice. Ici, nous utiliserons la calculatrice pour effectuer le calcul.
Exemple
Pour des travaux chez un particulier, un artisan a facturé $975$ € de main d’œuvre.
Sachant qu’il a travaillé $30$ heures pour ces travaux, quel est son tarif horaire ?
Pour $30$ heures de travail, l’artisan a facturé $975$ €.
Son tarif horaire en euros est donc de $975 \div 30$
À la calculatrice, on trouve :
Le résultat peut aussi être trouvé de tête en remarquant que :
$975 \div 30 = 900 \div 30 + 60 \div 30 + 15 \div 30=30+2+0,5=32,5$
- Le tarif horaire de cet artisan est donc de $32,50$ €.
Ce même artisan fait un plein d’essence. Il paye $79,75$ € pour $55$ litres de gasoil.
Quel prix paye-t-il au litre de gasoil ?
Pour $55$ litres de gasoil, il paye $79,75$ €.
Un litre de gasoil coûte donc, en euros, $79,75 \div 55$
À la calculatrice, on trouve :
- Le prix du gasoil est donc de $1,45$ €/L.
Ce même artisan s’arrête acheter des pêches dans une supérette. Il paye $3,25$ € pour $1,250$ kilos de pêches.
Quel est le prix au kilogramme de ces pêches ?
Pour $1,250$ kilos de pêches, il paye $3,25$ €.
Un kilogramme de pêches coûte donc, en euros, $3,25 \div 1,250$
À la calculatrice, on trouve :
- Le prix au kilogramme des pêches est donc de $2,60$ €.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu la méthode pour poser et effectuer une division décimale, puis le cas particulier des divisions décimales par $10$, $100$ ou $1\ 000 $ où il s’agit de décaler la virgule du dividende de $1$, $2$ ou $3$ rangs vers la gauche pour obtenir le résultat.
Nous avons également vu que certaines divisions décimales pouvaient être calculées de tête, et donc ne nécessitaient pas de poser la division.
Concernant le résultat d’une division décimale, nous avons pu remarquer qu’elle pouvait « tomber juste » ou que nous pouvions donner une valeur approchée du résultat.