Tle S MathématiquesCours : Positions relatives de 2 droites, parralélisme et orthogonilité dans l'espace
Positions relatives de 2 droites, parralélisme et orthogonilité dans l'espace
Introduction :
Dans cette leçon, nous allons commencer par faire des rappels sur les droites et les plans puis nous étudierons les propriétés et théorèmes du parallélisme. Enfin, nous aborderons la notion d’orthogonalité.
La partie sur les vecteurs et le repérage dans l’espace sera traitée dans une deuxième leçon et le produit scalaire dans l’espace fera l’objet d’une troisième leçon.
Positions relatives de deux droites
Positions relatives de deux droites
Positions relatives de deux droites
Positions relatives de deux droites
Définition
Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (elles appartiennent à un même plan) soit non coplanaires.
Et, si elles sont coplanaires, alors elles sont soit parallèles soit sécantes.
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Définition
Positions relatives d’une droite et d’un plan :
Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants soit parallèles.
Positions relatives de deux plans
Positions relatives de deux plans
Définition
Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont soit sécants soit parallèles.
Parallélisme dans l’espace
Parallélisme dans l’espace
Propriété
- Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
- Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux.
- Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
Exemple
Sur le schéma, $(d_1)$ est parallèle à la droite $(d_2)$ du plan $P$ donc $(d_1)$ est parallèle au plan $P$.
Propriété
Si deux plans $P$ et $P'$ sont parallèles, tout plan qui coupe le plan $P$ coupe aussi le plan $P'$ et les droites d’intersection $d$ et $d'$ sont parallèles.
Théorème
Théorème du toit :
Si une droite $D$ est parallèle à deux plans sécants, alors $D$ est parallèle à la droite $\Delta$ d’intersection de ces deux plans.
Propriété
Si un plan $P$ contient deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes et toutes deux parallèles à un plan $ P '$, alors les plans $P$ et $P '$ sont parallèles (voir schéma ci-dessus).
Propriété
Si deux droites sécantes d’un plan $P$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan $P'$, alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.
Orthogonalité dans l’espace
Orthogonalité dans l’espace
Propriété
Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont dites orthogonales s’il existe une droite $(d'_1)$ parallèle à $(d_1)$ et une droite $(d'_2)$ parallèle à $(d_2)$ telles que $(d'_1)$ et $(d'_2)$ soient perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.
On peut observer sur ce schéma, un cube et deux droites $(EH)$ et $(GC)$.
Si on regarde le plan $(HDC)$, on constate que $(HD)$ est une parallèle à $(GC)$ dans ce plan.
Or $(HD)$ est perpendiculaire en $H$ dans le plan $(EHD)$. Donc les droites $(EH)$ et $(GC)$ sont orthogonales.
Astuce
On retiendra la différence entre le mot « perpendiculaire » qui s’utilise lorsque les droites sont situées dans le même plan et le mot « orthogonal » sinon.
Propriété
Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
Définition
Orthogonalité dans l’espace :
Dire qu’une droite $(d)$ et un plan $P$ sont orthogonaux signifie que la droite $(d)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $P$.
Théorème
Si une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $P$, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan $P$.
Propriété
- Si deux droites $(d)$ et $(d')$ sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.
- Et inversement si deux droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles alors tout plan orthogonal à $(d)$ est aussi orthogonal à $(d')$.
Propriété
- Si deux plans $P$ et $P'$ sont parallèles, toute droite $(d)$ orthogonale à $P$ est aussi orthogonale à $P'$.
Définition
Le plan médiateur :
Le plan médiateur d’un segment $[AB]$ est le plan passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et orthogonal à la droite $(AB)$.
Astuce
Ainsi, tous les points $M$ situés sur le plan médiateur de $[AB]$ sont équidistants de $A$ et de $B$.