Fiche de révision : Positions relatives de 2 droites, parralélisme et orthogonilité dans l'espace

Positions relatives

• Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (elles appartiennent à un même plan) soit non coplanaires. Et, si elles sont coplanaires, alors elles sont soit parallèles, soit sécantes, soit confondues.
• Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants soit parallèles.
• Deux plans de l’espace sont soit sécants soit parallèles.

Parallélisme dans l’espace

• Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
• Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux.
• Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Propriété :

Si deux plans $P$ et $P'$ sont parallèles, tout plan qui coupe le plan $P$ coupe aussi le plan $P'$ et les droites d’intersection $d$ et $d'$ sont parallèles.

Théorème du toit :

Si une droite $D$ est parallèle à deux plans sécants, alors $D$ est parallèle à la droite $\Delta$ d’intersection de ces deux plans.

Propriété :

Si un plan $P$ contient deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes et toutes deux parallèles à un plan $P'$, alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles (voir schéma ci-dessus à gauche).

Propriété :

Si deux droites sécantes d’un plan $P$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan $P'$, alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.

Orthogonalité dans l’espace

Propriété :

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont dites orthogonales s’il existe une droite $(d'_1)$ parallèle à $(d_1)$ et une droite $(d'_2)$ parallèle à $(d_2)$ telles que $(d'_1)$ et $(d'_2)$ soient perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.

Propriété :

Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Propriété :

Dire qu’une droite $(d)$ et un plan $P$ sont orthogonaux signifie que la droite $(d)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $P$.

Théorème :

Si une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $P$, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan $P$.

Propriété :

Si deux droites $(d)$ et $(d')$ sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles. Et inversement si deux droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles alors tout plan orthogonal à $(d)$ est aussi orthogonal à $(d')$.

Propriété :

Si deux plans $P$ et $P'$ sont parallèles, toute droite $(d)$ orthogonale à $P$ est aussi orthogonale à $P'$.

Définition : plan médiateur

Le plan médiateur d’un segment $[AB]$ est le plan passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et orthogonal à la droite $(AB)$.