Fiche de révision : Droites, plans et vecteurs de l'espace

• Nous nous plaçons dans une configuration spatiale à $3$ dimensions, noté $\mathcal E$.
• Souvenons-nous aussi que nombre de propriétés valables dans le plan, que nous avons apprises en seconde, sont aussi valables dans l’espace.

Vecteurs de l’espace

La plupart des notions vues en seconde se généralisent dans $\mathcal E$.

• À tout couple de points $(A,\,B)$ de $\mathcal E$, on peut associer un unique vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ à la translation qui transforme $A$ en $B$.
• $\overrightarrow{AB\,}$ a trois caractéristiques :
• sa direction : la droite $(AB)$ ;
• son sens : de $A$ vers $B$ ;
• sa norme : $\Vert\overrightarrow{AB\ }\Vert = AB$.
• Tout vecteur qui vérifie ces trois caractéristiques est égal à $\overrightarrow{AB\ }$. C’est un représentant du même vecteur, qu’on peut noter $\vec u$.
• Si $B$ et $A$ sont confondus, alors $\overrightarrow{AB\ }=\vec 0$.
• $\overrightarrow{BA\ }$ est le vecteur de direction $(AB)$, de sens de $B$ vers $A$ et de norme $AB$.
• C’est le vecteur opposé à $\overrightarrow{AB\ }$ : $\overrightarrow{BA\ }=-\overrightarrow{AB\ }$
• $\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs non nuls de $\mathcal E$.
• Si $\overrightarrow{AB\,}$ représente $\vec u$ et $\overrightarrow{AC\ }$ représente $\vec v$, alors la somme $\vec u + \vec v$ est représentée par le vecteur $\overrightarrow{AD\,}$ tel que $ABDC$ est un parallélogramme.
• $A$, $B$ et $C$ sont trois points de $\mathcal E$.
• $\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=\overrightarrow{AC\ }$.
• Soit $\lambda$ un nombre réel non nul et un vecteur $\vec u$ non nul.
• $\lambda \cdot \vec u$ est un vecteur a :
• la direction de $\vec u$ ;
• pour norme $\Vert \lambda \cdot \vec u \Vert=\vert \lambda \vert \times \Vert \vec u \Vert $ ;
• le sens de $\vec u$ si $\lambda >0$, et le sens contraire si $\lambda < 0$.
• Pour tout réel $\lambda$ et tout vecteur $\vec u$ :
• $0\cdot \vec u=\vec 0$ ;
• $\lambda\cdot \vec 0 = \vec 0$.
• Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec v=\lambda \cdot \vec u$.
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.
• $\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs de $\mathcal E$, $\lambda$ et $\mu$ deux nombres réels.
• $\lambda \cdot \vec u=\vec 0$ si et seulement si $\vec u=\vec 0$ ou $\lambda = 0$.
• $\lambda \cdot (\vec u + \vec v)=\lambda \cdot \vec u+\lambda \cdot \vec v$.
• $(\lambda +\mu)\cdot \vec u=\lambda\cdot \vec u + \mu \cdot \vec u$.
• $\lambda (\mu\cdot \vec u)=\lambda\cdot \mu\cdot \vec u$.
• On appelle $\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v$ une combinaison linéaire des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$.

Droites et plans de l’espace

• Soit $\vec u$ un vecteur non nul, et $(d)$ une droite de $\mathcal E$.
• $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$ lorsqu’il existe deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à $(d)$ tels que $\vec u=\overrightarrow{AB\ }$.
• Si $\vec u$ est un vecteur directeur de $(d)$, il indique la direction de $(d)$.
• Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec u$ est aussi un vecteur directeur de $(d)$.
• $(d)$ admet donc une infinité de vecteurs directeurs.
• La droite $(D)$ passant par les points $A$ et $B$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }$, où $\lambda \in \mathbb R$.
• C’est-à-dire : la droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vec u$ et $\overrightarrow{AM\ }$ sont colinéaires.
• Une droite est caractérisée par la donnée d’un point $A$ lui appartenant et d’un vecteur directeur $\vec u$.
• On note : $(D) = (A\ ;\,\vec u)$.
• Pour montrer l’alignement de trois points $A$, $M$ et $B$ de l’espace, nous prouvons qu’ils forment deux vecteurs colinéaires.
• Nous vérifions qu’il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }$.
• Un plan de l’espace $\mathcal E$ est défini par $3$ points non alignés, c’est-à-dire $2$ droites sécantes.
• On peut nommer un plan à l’aide de $3$ de ses points non alignés, ou le désigner par une lettre.
• $(P)$ est un plan de $\mathcal E$.
• On appelle base du plan $(P)$ tout couple $(\vec u,\,\vec v)$ de vecteurs non nuls et non colinéaires dont il existe des représentants dans le plan.
• $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont $3$ vecteurs de $\mathcal E$.
• Ces $3$ vecteurs sont dits coplanaires lorsqu’il existe $4$ points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan $(P)$ tels que $\vec u=\overrightarrow{AB\ }$, $\vec v=\overrightarrow{AC\ }$ et $\vec w=\overrightarrow{AD\ }$.
• Soit un plan $(P)$, contenant le point $A$ et dont $(\vec u,\,\vec v)$ est une base.
• $M$ appartient à $(P)$ :
• si et seulement si il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que : $\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v$.
• si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM\ }$, $\vec u$ et $\vec v$ sont coplanaires.
• Un plan est caractérisé par un point $A$ lui appartenant et un couple de vecteurs $(\vec u,\,\vec v)$ formant une base.
• On note : $(P) = (A\ ;\,\vec u,\,\vec v)$.
• Tout triplet $(A\ ;\,\vec u,\,\vec v)$, où $A$ est un point du plan et $(\vec u,\,\vec v)$ une base de ce plan, est appelé repère du plan.
• Dans ce repère, tout point $M$ de $(P)$ est déterminé par des coordonnées uniques, c’est-à-dire le couple de réels $(\lambda\ ;\,\mu)$ tel que $\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v$.
• $M$ est un point du plan $(P)$ muni d’un repère $(A\ ;\,\vec u,\,\vec v)$.
• Pour trouver les coordonnées d’un point $M$ dans le repère $(A\ ;\,\vec u,\,\vec v)$, on décompose le vecteur $\overrightarrow{AM\ }$ pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.

Repérage dans l’espace

• On appelle base de l’espace $\mathcal E$ tout triplet de vecteurs $(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ non coplanaires.
• $A$ est un point et $(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ une base de $\mathcal E$.
• On appelle repère de l’espace $\mathcal E$ tout quadruplet $(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ où $A$ est un point et $ (\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ une base de $\mathcal E$.
• Dans ce repère, tout point $M$ est déterminé par ses coordonnées uniques telles que $\overrightarrow{AM\ }= x\cdot \vec \imath+y\cdot \vec \jmath+z\cdot \vec k $.
• On note : $M\,(x\ ;\,y\ ;\,z)$ et on appelle $x$ l’abscisse de $M$, $y$ son ordonnée et $z$ sa cote.
• Pour trouver les coordonnées d’un point $M$ dans le repère $(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, on décompose le vecteur $\overrightarrow{AM\ }$ pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.
• L’espace $\mathcal E$ est muni d’un repère $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$. Dans ce repère, $A$ a pour coordonnées $(x_A\ ;\,y_A\ ;\,z_A)$ et $B\,(x_B\ ;\,y_B\ ;\,z_B)$.
• Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :

$$\left( \dfrac{x_A+x_B}2\ ;\, \dfrac{y_A+y_B}2\ ;\, \dfrac{z_A+z_B}2\right)$$

• On considère un repère $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ de $\mathcal E$. Soit $\vec u$ un vecteur et le point $M$ tel que $\overrightarrow{OM\ }=\vec u$.
• On appelle coordonnées de $\vec u$ le triplet $(x\ ;\,y\ ;\,z)$ tel que $\overrightarrow{OM\ }=x\cdot \vec \imath + y\cdot \vec \jmath + z\cdot \vec k$.
• On note : $\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.
• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un même repère de $\mathcal E$.
• Soit $\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix}$ deux vecteurs de $\mathcal E$, et $\lambda \in \mathbb R$.
• $\vec u +\vec v$ a pour coordonnées :

$$\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \\ y+y^{\prime} \\ z+z^{\prime} \end{pmatrix}$$

• $\lambda\cdot \vec u$ a pour coordonnées :

$$\begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z \end{pmatrix}$$

• Soit $A\,(x_A\ ;\, y_A\ ;\, z_A)$ et $B\,(x_B\ ;\, y_B\ ;\, z_B)$ deux points de $\mathcal E$.
• Le vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ a pour coordonnées :

$$\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}$$