Fiche de révision : Écoulement d’un fluide incompressible

Qu’est-ce que la poussée d’Archimède ?

Origine de la poussée d’Archimède

• Dans le cas particulier d’un solide de forme cubique, la résultante des forces pressantes est une force opposée au poids du volume de fluide déplacé : de direction verticale, orientée vers le haut et de même intensité.
• Cette force est appelée poussée d’Archimède. Elle est due à une différence de pression entre la partie inférieure du solide et sa partie supérieure.

Expression de la poussée d’Archimède

Propriété

Dans un champ de pesanteur uniforme $\vec g$, soit un solide plongé dans un fluide incompressible de masse volumique $\rho_\text{fluide}$. $V_\text{im}$ est le volume de la partie immergée du solide.
La poussée d’Archimède $\overrightarrow{\Pi\ }$ est alors égale à :

$$\overrightarrow{\Pi\ }=-\rho_\text{fluide}\cdot V_\text{im}\cdot \vec g$$

Avec :

• $\overrightarrow{\Pi\ }$ exprimée en $\text{N}$
• $\rho_{\text{fluide}}$ en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$
• $V_{\text{im}}$ en $\text{m}^3$
• $g = 9,81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

• Si la valeur du poids d’un corps immergé est inférieure à celle de la poussée d’Archimède, alors le corps remontera à la surface et « flottera ». Dans le cas contraire, il « coulera ».

Écoulement d’un fluide en régime permanent : conservation du débit volumique

• Un fluide parfait est un fluide de viscosité nulle dont l’écoulement se fait sans frottement interne.
• Un régime d’écoulement est dit permanent indépendant du temps, ou stationnaire, si, en une position donnée, la vitesse d’écoulement reste constante au cours du temps.
• Considérons un fluide incompressible qui s’écoule, en régime permanent indépendant du temps, dans une canalisation.

• Soit $V$ (en $\text{m}^3$) le volume de fluide qui s’écoule à travers la surface de contrôle pendant une durée $\Delta t$ (en $\text{s}$).
• Le débit volumique, noté $D_\text{V}$ (en $\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1}$), est le volume de fluide qui traverse la surface de contrôle par unité de temps. Il est donné par la formule :

$$\boxed{D_\text{V}=\dfrac V{\Delta t}}$$

• Pour l’écoulement dans notre conduite, la vitesse $\vec v$ des particules de fluide est uniforme sur toute la section droite.
  Pendant une durée $\Delta t$, le fluide qui traverse la section droite parcourt une distance $l$. Le volume $V$ de fluide est égal à : $V=S\times l$.
• Le débit volumique est ainsi égal au produit de l’aire $S$ (en $\text{m}^2$) de la section droite par la vitesse $v$ (en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$) d’écoulement du fluide :

$$\boxed{D_\text{V}=S\times v}$$

• Pour l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible en régime permanent, indépendant du temps, le débit volumique se conserve.
• $D_V$ est une constante.

Relation de Bernoulli et effet Venturi

Relation de Bernoulli

• On considère l’écoulement, en régime permanent indépendant du temps, d’un fluide parfait et incompressible de masse volumique $\rho$ (en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$) constante.
  Soit $A$ et $B$ deux points situés sur une même ligne de courant. On a alors :

$$\dfrac 12 \rho {v_A}^2+\rho g z_A+P_A =\dfrac 12 \rho {v_B}^2+\rho g z_B+P_B$$

• Autrement dit, le long d’une ligne de courant :

$$\dfrac 12 \rho v^2+\rho g z+P=\text{constante}$$

Avec :

• $v$ la vitesse du fluide en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$
• $z$ l’altitude du fluide en $\text{m}$
• $P$ la pression du fluide en $\text{Pa}$
• $g$ l’intensité du champ de pesanteur en $\text{N}$

• La relation de Bernoulli traduit ainsi une conservation d’énergie le long d’une même ligne de courant.
  Elle lie, en tout point d’une ligne de courant, la vitesse d’écoulement du fluide, l’altitude et la pression.

Effet Venturi

Soit un fluide répondant aux mêmes conditions et qui s’écoule dans une conduite horizontale de section droite d’aire $S_A$ possédant un étranglement de section droite d’aire $S_B$. On considère deux points $A$ et $B$ se trouvant sur la même ligne de courant et à une même hauteur.

Nous savons que la conduite est horizontale alors : $z_A=z_B$.

• Ainsi, la relation de Bernoulli s’écrit :

$$\dfrac 12 \rho {v_A}^2+P_A =\dfrac 12 \rho {v_B}^2+P_B$$

• L’aire $S_B$ étant inférieure à $S_A$, la vitesse d’écoulement $v_B$ est supérieure à $v_A$. nous pouvons en déduire que :

$$\dfrac 12 \rho {v_B}^2 > \dfrac 12 \rho {v_A}^2 \Rightarrow P_B < P_A$$

• Il se forme alors une dépression.
• L’effet Venturi est une conséquence de la relation de Bernoulli et de la loi de conservation du débit volumique.
• L’effet Venturi est un phénomène où les particules d’un fluide parfait et incompressible se retrouvent accélérées au niveau d’un étranglement. Le fluide subit alors une dépression.