Égalité des produits en croix
Introduction :
L'égalité des produits en croix est un outil largement utilisé lorsqu'on manipule des fractions, mais également en situation de proportionnalité.
Nous définirons d'abord la notion de produits en croix appliquée aux fractions, puis énoncerons la propriété dite d’« égalité des produits en croix ». Nous parlerons ensuite des applications de cette propriété, d'abord en rapport avec les fractions égales puis en situation de proportionnalité avec notamment le calcul de la quatrième proportionnelle.
Notion de produits en croix
Notion de produits en croix
Appliqué à deux fractions, le produit en croix est le produit du numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre (d’où l’idée de « croisement »).
Soient deux fractions $\frac ab$ et $\frac cd$ avec $b$ et $d$ non nuls, leurs produits en croix sont $a \times d$ et $c \times b$.
Exemple
Soient les fractions $\dfrac{36}{27}$ et $\dfrac 43$.
Les produits en croix de ces fractions sont $36 \times 3$ et $4 \times 27$.
Égalité des produits en croix
Égalité des produits en croix
Propriété
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres avec $b$ et $d$ non nuls.
- Si $\frac ab = \frac cd$ alors $a \times d = c \times b$.
- Si $a \times d = c \times b$ alors $\frac ab = \frac cd$.
- On parle d’égalité des produits en croix.
Démonstration
On sait que $\frac ab = \frac{a \times d}{b \times d}$ et $\frac cd = \frac{c \times b}{d \times b}$.
- Si $\frac ab = \frac cd$ alors $\frac{a \times d}{b \times d} = \frac{c \times b}{d \times b}$. En multipliant les deux membres par $b\times d$ on obtient $a \times d = c \times b$.
- Si $a \times d = c \times b$ alors en divisant les deux membres par $b\times d$ on a $\frac{a \times d}{b \times d} = \frac{c \times b}{b \times d}$ d'où $\frac ab = \frac cd$.
- L'égalité des produits en croix a bien été démontrée.
Exemple
Pour les deux fractions $\frac{36}{27}$ et $\frac 43$, les produits en croix sont $36 \times 3 = 108$ et $4 \times 27 = 108$.
- On peut conclure que $\frac{36}{27}= \frac 43$
Applications
Applications
Démontrer que des fractions sont égales
Démontrer que des fractions sont égales
Pour démontrer que deux fractions sont égales, on pourra démontrer l'égalité de leurs produits en croix.
Exemple
- Démontrer que $\frac{-7}{4}$ et $\frac{-21}{12}$ sont des fractions égales.
$-7 \times 12 = -84$ et $-21 \times 4 = -84$
- Les produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales : $\frac{-7}{4} = \frac{-21}{12}$
- Les fractions $\frac 54$ et $\frac{15}{8}$ sont-elles égales ?
$5 \times 8 = 40$ et $15 \times 4 = 60$
- Les produits en croix ne sont pas égaux donc les fractions ne sont pas égales : $\frac 54 \neq \frac{15}{8}$
Déterminer un nombre manquant dans une égalité de fractions
Déterminer un nombre manquant dans une égalité de fractions
Pour déterminer un nombre manquant $x$ dans une égalité de fractions, on pourra écrire l'égalité des produits en croix et déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité.
Exemple
Déterminer le nombre manquant à l'égalité $\frac{…}{28} = \frac{11}{-7}$
Soit $x$ le nombre manquant. L'égalité s'écrit $\frac{x}{28} = \frac{11}{-7}$
La propriété des produits en croix permet d'écrire $x \times (-7) = 11 \times 28$ soit $x \times (-7) = 308$
Donc $x = 308 \div (-7) = -44$
Produits en croix et proportionnalité
Produits en croix et proportionnalité
Appliqué à un tableau de valeurs de deux grandeurs, un produit en croix est le produit d'un nombre de la 1re ligne par un nombre de la 2e ligne.
Propriété
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres non nuls.
- Si $\pink{a \times d} = \green{c \times b}$ alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
| $\pink a$ | $\green c$ |
| $\green b$ | $\pink d$ |
- Si le tableau suivant est un tableau de proportionnalité alors $\pink{a \times d} = \green{c \times b}$.
| $\pink a$ | $\green c$ |
| $\green b$ | $\pink d$ |
Ainsi, l'égalité des produits en croix peut être utilisée pour démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité ou calculer un nombre manquant dans un tableau de proportionnalité.
Démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité
Pour démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on pourra démontrer l'égalité des produits en croix du tableau.
Exemple
$1$ sachet de $3$ stylos billes noirs coûte $1,50$ €.
$1$ sachet de $5$ stylos billes noirs coûte $2,50$ €.
Le prix du stylo bille noir est-il proportionnel au nombre de stylos achetés ?
Cette situation peut être représentée par le tableau suivant :
| Nombre de stylos | $3$ | $5$ |
| Prix en euros | $1,50$ | $2,50$ |
Calculons les produit en croix :
- $3 \times 2,50 = 7,50$
- $5 \times 1,50 = 7,50$
Les produits en croix sont égaux. Ce tableau est un tableau de proportionnalité.
- Le prix du stylo bille est proportionnel au nombre de stylos billes achetés.
Calculer un nombre manquant dans un tableau de proportionnalité.
Définition
Quatrième proportionnelle :
Dans un tableau de proportionnalité contenant un nombre inconnu $x$, on appelle $x$ la quatrième proportionnelle.
Pour déterminer une quatrième proportionnelle $x$ dans un tableau de proportionnalité, on pourra écrire l'égalité des produits en croix du tableau et déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité.
Exemple
Une fabrique de jus de fruits a besoin de $8,5$ kilos d'oranges pour fabriquer $5$ litres de jus.
De combien de kilos d’oranges a-telle besoin pour fabriquer $100$ litres de jus ?
Voici le tableau de proportionnalité de cette situation :
| Quantité d'oranges (en kilos) | $8,5$ | $x$ |
| Quantité de jus (en litres) | $5$ | $100$ |
L'égalité des produits en croix nous permet d'écrire :
$8,5 \times 100 = x \times 5$ soit $5 x = 850$ d'où $x = 850 \div 5 = 170$
- Pour fabriquer $100$ litres de jus, l'usine a besoin de $170$ kilos d'oranges.
Conclusion :
L'égalité des produits en croix est un outil pratique pour confirmer ou infirmer l'égalité de deux fractions, mais aussi pour trouver une fraction égale à une autre lorsqu'on en connaît le numérateur ou le dénominateur.
En proportionnalité, elle permet de démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité. Elle permet également de calculer une quatrième proportionnelle.