Égalité des produits en croix

Notion de produits en croix

Appliqué à deux fractions, le produit en croix est le produit du numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre (d’où l’idée de « croisement »).
Soient deux fractions $\dfrac {\red a}{\blue b}$ et $\dfrac {\blue c}{\red d}$ avec $b$ et $d$ non nuls, leurs produits en croix sont $\red a \times \red d$ et $\blue c \times \blue b$.

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres avec $b$ et $d$ non nuls.
Si $\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue c}{\red d}$ alors $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$
Si $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$ alors $\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue c}{\red d}$
On parle d’égalité des produits en croix

Pour démontrer que deux fractions sont égales, on pourra démontrer l'égalité de leurs produits en croix.
Inversement, si les produits en croix ne sont pas égaux, on peut en déduire que les fractions ne sont pas égales.
Pour déterminer un nombre manquant $x$ dans une égalité de fractions, on pourra écrire l'égalité des produits en croix et déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité.
Si $\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue x}{\red c}$ alors $\blue x\times \blue b=\red a\times \red c$ et donc $\blue x=\dfrac{\red a\times \red c}{\blue b}$
Appliqué à un tableau de valeurs de deux grandeurs, un produit en croix est le produit d'un nombre de la 1^re ligne par un nombre de la 2^e ligne.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres non nuls.
Si $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$ alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

$\red a$	$\blue c$
$\blue b$	$\red d$

Inversement, si le tableau précédent est un tableau de proportionnalité alors $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$
Pour démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on pourra démontrer l'égalité des produits en croix du tableau.
Dans un tableau de proportionnalité contenant un nombre inconnu $x$, on appelle $x$ la quatrième proportionnelle.
Pour déterminer une quatrième proportionnelle $x$ dans un tableau de proportionnalité, on pourra écrire l'égalité des produits en croix du tableau et déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité.