Égalité et équation

Prérequis :

Introduction :

Vous êtes-vous déjà demandé, préparant le dernier contrôle d’un trimestre, et connaissant donc les notes obtenues jusque-là, combien vous devriez avoir à ce devoir pour obtenir la moyenne sur votre bulletin ?
Si oui, alors vous avez, peut-être sans le savoir, résolu une équation !

Les équations sont centrales dans les mathématiques et permettent de trouver la solution à divers problèmes.
Nous allons donc, dans ce cours, les définir, avant de voir comment on les résout.

Équations, inconnues, solutions

Considérons le triangle équilatéral ABCABC et le carré BDEFBDEF représentés ci-dessous, où :

  • le point BB appartient au segment [AD][AD] ;
  • le segment [AD][AD] mesure 14 cm14\ \text{cm} ;
  • xx désigne la longueur, en centimètre, d’un côté de ABCABC.

Détermination de la longueur du côté d’un triangle équilatéral pour un périmètre égal à celui d’un carré

On souhaite que le triangle ABCABC et le carré BDEFBDEF aient le même périmètre.
On cherche donc à savoir s’il existe une valeur de xx qui permette de respecter cette condition.

Les côtés du triangle ABCABC sont chacun de longueur xx.

  • Le périmètre de ABCABC vaut donc : 3x3x.

Le segment [AD][AD] mesure 14 cm14\ \text{cm} et la longueur de [AB][AB] vaut xx.
Donc : BD=14xBD=14-x, et les côtés du carré BDEFBDEF sont chacun de longueur 14x14-x.

  • Le périmètre de BDEFBDEF vaut donc : 4(14x)4(14-x).

On souhaite que les deux périmètres soient égaux.

  • On obtient ainsi l’égalité :

3x=4(14x)3x=4(14-x)

  • Cette égalité, où la valeur de xx est inconnue, est appelée équation d’inconnue xx.
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Définition

Équation :

Une équation est une égalité dans laquelle figure au moins un nombre dont la valeur est inconnue et qui est alors désigné par une lettre.

Nous avons vu, dans le cours sur la distributivité, la propriété éponyme, qui permet par exemple d’écrire l’égalité : 2(x+5)=2x+102(x+5)=2x+10.
Il est important de bien comprendre la différence entre cette égalité et celle qui définit une équation.

  • L’égalité 2(x+5)=2x+102(x+5)=2x+10 est vraie quelle que soit la valeur de xx.
  • On parle alors d’identité, et xx est appelé indéterminée.
  • L’égalité de notre exemple 3x=4(14x)3x=4(14-x) peut être vraie ou non en fonction de la valeur de xx. Il s’agit alors de trouver quelle(s) valeur(s) rend(ent) vraie cette égalité.
  • On parle alors d’équation, et xx est appelé inconnue.

Regardons, pour quelques valeurs de xx, si l’égalité 3x=4(14x)3x=4(14-x) est vraie ou non.

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À retenir

Pour tester une égalité comme 3x=4(14x)3x=4(14-x) :

  • on calcule d’une part la valeur du membre de gauche, après avoir remplacé la lettre par la valeur à laquelle on s’intéresse ;
  • on calcule d’autre part la valeur du membre de droite, toujours après avoir remplacé la lettre par la valeur.
  • On peut alors regarder si les deux calculs donnent le même résultat, puis conclure.

Nous allons ainsi montrer que 3x=4(14x)3x=4(14-x) n’est pas vraie pour toutes les valeurs de xx et voir si une valeur au moins la rend vraie.

Valeur de xx Membre de gauche Membre de droite Conclusion
1\purple1 3x=3×1=3\begin{aligned} \small3x&=\small3\times \purple1 \\ &=\small\red 3 \end{aligned} 4(14x)=4(141)=4×13=52\begin{aligned} \small 4(14-x)&\small=4(14-\purple1) \\ &\small=4\times 13 \\ &\small=\red{52} \end{aligned} Fausse
3\purple3 3x=3×3=9\begin{aligned} \small 3x&\small =3\times \purple3 \\ &\small =\red 9 \end{aligned} 4(14x)=4(143)=4×11=44\begin{aligned} \small 4(14-x)& \small =4(14-\purple3) \\ &\small =4\times 11 \\ &\small =\red{44} \end{aligned} Fausse
6\purple6 3x=3×6=18\begin{aligned} \small 3x&\small =3\times \purple6 \\ &\small =\red {18} \end{aligned} 4(14x)=4(146)=4×8=32\begin{aligned} \small 4(14-x)& \small =4(14-\purple6) \\ &\small =4\times 8 \\ &\small =\red{32} \end{aligned} Fausse
8\purple8 3x=3×8=24\begin{aligned} \small 3x&\small =3\times \purple8 \\ &\small =\green {24} \end{aligned} 4(14x)=4(148)=4×6=24\begin{aligned} \small 4(14-x)& \small =4(14-\purple8) \\ &\small =4\times 6 \\ &\small =\green{24} \end{aligned} Vraie

Nous voyons donc que l’égalité est vraie pour x=8x=8 (parmi, nos tests, c’est la seule valeur qui la rend vraie).

  • On dit que 88 est solution de l’équation 3x=4(14x)3x=4(14-x).
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Définition

Solution d’une équation :

Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend vraie l’égalité de l’équation.

Prenons deux autres exemples, pour bien comprendre comment tester si un nombre est solution d’une équation, ou non.

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Exemple

On considère l’équation :

x228=27\boxed{\dfrac {x-2}{28}=\dfrac 27}

  • 44 et 1010 sont-ils solutions de l’équation ?

Il suffit de remplacer xx par les valeurs proposées : 44, puis 1010.

Pour x=4 : x228=4228=228Pour x=10 : x228=10228=828=8÷428÷4=27\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour $x=4$\ :\ }} \dfrac {x-2}{28}&=\dfrac {4-2}{28} \\ &=\red{\dfrac 2{28}} \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour $x=10$\ :\ }} \dfrac {x-2}{28}&=\dfrac {10-2}{28} \\ &=\dfrac 8{28}=\dfrac{8\div 4}{28\div 4} \\ &=\green{\dfrac 27} \end{aligned}

  • 44 n’est pas solution de l’équation.
    1010 est solution de l’équation.

On considère maintenant l’équation :

x2+2=3x+6\boxed{x^2+2=3x+6}

  • Parmi les nombres : 44 ; 22 et 1-1, lesquels sont solutions de l’équation ?

Valeur de xx Membre de gauche Membre de droite Solution ?
44 x2+2=42+2=16+2=18\begin{aligned} \footnotesize x^2+2&\footnotesize =4^2+2 \\ &\footnotesize =16+2 \\ &\footnotesize =\green{18} \end{aligned} 3x+6=3×4+6=12+6=18\begin{aligned} \footnotesize 3x+6&\footnotesize =3\times 4+6 \\ &\footnotesize =12+6 \\ &\footnotesize =\green{18} \end{aligned} Oui
22 x2+2=22+2=4+2=6\begin{aligned} \footnotesize x^2+2&\footnotesize =2^2+2 \\ &\footnotesize =4+2 \\ &\footnotesize =\red 6 \end{aligned} 3x+6=3×2+6=6+6=12\begin{aligned} \footnotesize 3x+6&\footnotesize =3\times 2+6 \\ &\footnotesize =6+6 \\ &\footnotesize =\red {12} \end{aligned} Non
1-1 x2+2=(1)2+2=1+2=3\begin{aligned} \footnotesize x^2+2&\footnotesize =(-1)^2+2 \\ &\footnotesize =1+2 \\ &\footnotesize =\green 3 \end{aligned} 3x+6=3×(1)+6=3+6=3\begin{aligned} \footnotesize 3x+6&\footnotesize =3\times (-1)+6 \\ &\footnotesize =-3+6 \\ &\footnotesize =\green 3 \end{aligned} Oui
  • 1-1 et 44 sont solutions de l’équation.
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Astuce

Nous venons de le voir dans ce dernier exemple, une équation peut admettre plusieurs solutions.
À l’inverse, il arrive qu’une équation n’admette aucune solution, c’est-à-dire qu’il n’existe aucune valeur pour les inconnues qui rende l’égalité vraie.

Résoudre une équation

Nous savons maintenant ce qu’est une équation, et nous avons vu comment tester si un nombre est solution ou non.
Ainsi, dans notre exemple du triangle équilatéral et du carré accolés, on cherchait la ou les valeurs de xx qui rendent leurs périmètres égaux :

Nous avons traduit ce problème géométrique par l’équation : 3x=4(14x)3x=4(14-x), d’inconnue xx. Et nous avons vu que 88 est une solution de l’équation.
Cette valeur de 88 nous a été donnée pour que nous puissions tester l’égalité. Si ça n’avait pas été le cas, nous aurions pu procéder par tâtonnements, jusqu’à trouver une valeur qui rende l’égalité vraie – c’est d’ailleurs ce que vous avez sans doute fait dans les classes précédentes.
Cela peut être assez long (ou alors il faut avoir de la chance), et cela ne dit pas si le nombre trouvé est la seule solution ou s’il y en a d’autres.

Dans cette partie, nous allons apprendre la méthode pour trouver, de manière plus directe et complète, les solutions d’une équation comme celle de notre problème. Nous apprendrons ainsi à résoudre une équation.

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Définition

Résoudre une équation :

Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Pour cela, nous avons besoin de quelques propriétés sur les égalités et les opérations.

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Propriété

  • Une égalité reste vraie si on ajoute, ou soustrait, un même nombre aux deux membres de l’égalité.

aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.

  • Si a=ba=b, alors :

a+c=b+cac=bc\begin{aligned} a\green{+c}&=b\green{+c} \\ a\green{-c}&=b\green{-c} \end{aligned}

  • Une égalité reste vraie si on multiple, ou divise, les deux membres de l’égalité par un même nombre non nul.

aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs, et cc est différent de 00.

  • Si a=ba=b, alors :

a×c=b×cac=bc\begin{aligned} a\green{\times c}&=b\green{\times c} \\ \green{\dfrac {\textcolor{#585858} a}c}&=\green{\dfrac {\textcolor{#585858} b}c} \end{aligned}

Regardons maintenant comment résoudre l’équation de notre problème :

3x=4(14x)3x=4(14-x)

Nous allons chercher à isoler l’inconnue xx.
C’est-à-dire que nous allons transformer l’égalité initiale grâce aux propriétés pour arriver à l’égalité :

x=nombre connux=\text{nombre connu}

Ainsi, l’objectif ici est de mettre d’un côté les xx et de l’autre les nombres connus (ou calculables).

  • Nous développons donc le membre de droite, pour avoir dans les deux membres des termes avec xx et des nombres connus :

3x=4×144x3x=564x\begin{aligned} 3x&=4\times 14-4x \\ 3x&=56-4x \end{aligned}

Nous pouvons ajouter un même nombre aux deux membres sans changer l’égalité.

  • Ajoutons donc 4x4x aux deux membres, pour nous « débarrasser » du 4x4x dans le membre de droite :

3x+4x=564x+4x3x\green{+4x}=56-4x\green{+4x}

4x-4x et 4x4x sont des nombres opposés, leur somme est nulle.

  • Ainsi, on se « débarrasse » bien du 4x4x dans le membre de droite :

3x+4x=563x+4x=56

Nous savons réduire une expression.

  • Nous réduisons donc le terme de gauche :

7x=567x=56

Maintenant, nous pouvons diviser les deux membres par un même nombre non nul.

  • Nous divisons donc par 77, ce qui nous permettra, après simplification, d’avoir un xx « tout seul » :

7x7=567\green{\dfrac {\textcolor{#585858} {7x}}7}=\green{\dfrac {\textcolor{#585858} {56}}7}

Nous pouvons maintenant simplifier le membre de gauche (c’est ce que nous voulions), et faire l’opération du membre de droite.

  • Nous obtenons la valeur de xx qui rend l’égalité vraie :

x=8\boxed{x=8}

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Astuce

Quand on dit que l’égalité d’une équation reste vraie quand on effectue la même opération dans les deux membres, cela signifie qu’on transforme l’équation en une autre équation, mais qui a les mêmes solutions.
Ainsi, les équations 3x=4(14x)3x=4(14-x) et x=8x=8 ont la même solution, donc résoudre la seconde revient à résoudre la première.

Nous avons trouvé 88 comme solution de l’équation 3x=4(14x)3x=4(14-x).
Nous pouvons aussi dire que c’est la seule solution – le seul nombre qui soit égal à 88, eh bien, c’est 88

  • L’équation 3x=4(14x)3x=4(14-x) admet 88 comme unique solution.

On peut alors répondre à la question initiale de notre problème. Avec x=8x=8 :

  • les côtés du triangle équilatéral mesurent chacun 8 cm8\ \text{cm} ;
  • 14x=148=614-x=14-8=6, donc les côtés du carré mesurent chacun : 6 cm6\ \text{cm}.
  • On a bien :
  • périmètre du triangle équilatéral ABCABC en cm\text{cm} : 3×8=243\times 8=24 ;
  • périmètre du carré BDEFBDEF en cm\text{cm} : 4×6=244\times 6=24.
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À retenir

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on isole l’inconnue en transformant l’équation initiale grâce aux propriétés des opérations sur les égalités, jusqu’à obtenir la valeur de xx :

x=nombre connux=\text{nombre connu}

Avec la pratique, vous apprendrez à aller plus vite, en vous servant notamment des propriétés suivantes, conséquences de tout ce que nous venons de voir.

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Propriété

  • aa et bb sont des nombres relatifs donnés.
    L’équation x+a=bx+a=b, d’inconnue xx, admet pour unique solution x=bax=b-a.
  • On fait « passer » +a+\,a d’un membre à l’autre, et on change son signe.
  • aa et bb sont des nombres relatifs donnés, avec aa non nul.
    L’équation ax=bax=b, d’inconnue xx, admet pour unique solution x=bax=\dfrac ba.

Entraînons-nous sur un autre exemple, parmi ceux donnés dans la première partie, et voyons si nous trouvons bien le même résultat.

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Exemple

On cherche à résoudre l’équation :

x228=27\boxed{\dfrac {x-2}{28}=\dfrac 27}

Première méthode

On commence par multiplier les deux membres par 2828 :

x228×28=27×28(x2)×2828=2×287(x2)×1=2×4x2=8\begin{aligned} \dfrac {x-2}{28}\green{\times 28}&=\dfrac 27\green{\times 28} \\ (x-2)\times \dfrac {28}{28}&=2\times \dfrac {28}7 \\ (x-2)\times 1&=2\times 4 \\ x-2&=8 \end{aligned}

On fait « passer » 2-2 du membre de gauche dans le membre de droite, en changeant son signe. Et on obtient :

x=8+2=10\begin{aligned} x&=8+2 \\ &=10 \end{aligned}

  • L’équation admet 1010 comme unique solution (c’est bien ce que nous avons vu plus haut).

Deuxième méthode

Nous allons ici utiliser l’égalité des produits en croix.
Elle nous permet de dire que résoudre l’équation : x228=27\dfrac {\pink{x-2}}{\orange{28}}=\dfrac {\orange 2}{\pink 7}, revient à résoudre l’équation :

7(x2)=28×27(x2)=56\begin{aligned} \pink {7(x-2)}&=\orange{28\times 2} \\ 7(x-2)&=56 \end{aligned}

Nous procédons en utilisant les propriétés, pour obtenir :

x2=567x2=8x=8+2x=10\begin{aligned} x-2&=\dfrac {56}7 \\ x-2&=8 \\ x&=8+2 \\ x&=10 \end{aligned}

  • L’équation admet 1010 comme unique solution.

Conclusion :

Dans ce cours, qui nous a permis de découvrir la notion d’équation et comment en résoudre certaines, nous sommes partis d’un problème de géométrie. Pour le résoudre :

  • nous avons traduit la question par une équation d’inconnue xx, la longueur d’un côté du triangle équilatéral ;
  • nous avons ensuite résolu cette équation, en déterminant sa solution, c’est-à-dire la valeur de xx qui rend l’égalité de l’équation vraie ;
  • cela nous a permis de conclure en donnant la longueur des côtés du triangle et du carré qui satisfait la condition demandée.

Nous avons ainsi modélisé le problème par une équation. Autrement dit : nous l’avons traduit sous la forme d’une équation, que nous avons pu manipuler grâce à quelques opérations et propriétés simples, et ainsi obtenir la solution au problème posé.
Cette modélisation mathématique est primordiale : nombre de problèmes, en sciences comme dans la vie quotidienne, trouvent leur solution grâce à de tels outils mathématiques.
Nous nous entraînerons donc encore à modéliser des problèmes dans le cours « Modéliser une situation ».

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