Équations de droites
Introduction :
Une équation de droite permet de mettre en relation les coordonnées $x$ et $y$ de tous les points appartenant à cette droite.
Par exemple : $y=2x-3$
On a exprimé ici l'ordonnée $y$ des points de la droite en fonction des abscisses $x$ de ces points.
Dans ce cours, nous allons nous pencher sur les équations de droites et plus précisément sur la façon de les déterminer, de trouver une représentation graphique à partir d'une équation et de résoudre un système d'équations.
Déterminer l'équation d'une droite
Déterminer l'équation d'une droite
Il y a 3 types de droites :
- les droites parallèles à l'axe des ordonnées : les droites verticales,
- les droites parallèles à l'axe des abscisses : les droites horizontales,
- les droites non parallèles aux axes du repère : les droites obliques.
Droites verticales
Droites verticales
Définition
Équation réduite d'une droite verticale :
L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit $x=k$ où $k$ est un nombre réel constant.
Exemple
- Soit $x=-2$
Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour abscisse $-2$ décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur ordonnée.
Les points $A(-2\ ; 0)$ ; $B(-2\ ; 26)$ ; $C(-2\ ; 36)$ et $D(-2\ ; \dfrac{\sqrt{5}}{6})$ appartiennent tous à la droite d'équation $x=-2$.
À retenir
Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.
Exemple
Le point $(-3\ ;-8)$ appartient à la droite verticale $d$.
- Donc $d:x=-3$
Droites horizontales
Droites horizontales
Définition
Équation réduite d'une droite horizontale :
L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit $y=k$ où $k$ est un nombre réel constant.
Exemple
- Soit $y=7$
Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour ordonnée $7$ décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur abscisse.
Les points $A(86\ ;7)$ ; $B(-\dfrac{2}{3}\ ;7)$ ; $C(-2\ ;7)$ et $D(0\ ;7)$ appartiennent tous à la droite d'équation $y=7$.
À retenir
Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.
Exemple
Le point $(-3\ ;-8)$ appartient à la droite horizontale $d$.
- Donc $d:y=-8$
Droites obliques
Droites obliques
Définition
Équation réduite d'une droite oblique :
L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels constants.
$a$ est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse $x$ des points de la droite.
$b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.
Exemple
- Soit $y=5x-3$
- $5$ est le coefficient directeur.
- $-3$ est l'ordonnée à l'origine.
À retenir
- Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points $A(x_A\ ;y_A)$ et $B(x_B\ ;y_B)$ qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite.
Ensuite, il suffit d'appliquer la formule : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on utilise à nouveau l'un des deux points, par exemple le point $A(x_A\ ;y_A)$.
Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation : $y_A=a\times x_A+b$
Astuce
Dans l'équation $y_A=a\times x_A+b$, comme on connaît le $a$ calculé juste avant ainsi que $x_A$ et $y_A$ qui sont les coordonnées du point $A$, on peut résoudre l'équation pour trouver le $b$.
Exemple
- Soient $A(2\ ;5)$ et $B(3\ ;4)$ deux points appartenant à la droite $d$.
Le coefficient directeur de $d$ est $a=\dfrac{4-5}{3-2}=-1$
Le point $A(2\ ;5)\in d$ donc :
$\begin{aligned} y_A&=a\times x_A+b\\ 5&=-1\times2+b\\ b&=5+2\\ b&=7 \end{aligned}$
Donc la droite $d$ a pour équation réduite $y=-x+7$
Représentation graphique d'une droite
Représentation graphique d'une droite
Droites verticales
Droites verticales
- Tracer la droite $d_1$ d'équation $x=-2$
Astuce
On sait que $d_1$ est une droite verticale car son équation est de la forme $x=k$ avec $k$ réel.
On place donc le point de coordonnées $(-2\ ;0)$ et on trace une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par ce point.
La droite d'équation x = -2
Droites horizontales
Droites horizontales
- Tracer la droite $d_2$ d'équation $y=5$
Astuce
On sait que $d_2$ est une droite horizontale car son équation est de la forme $y=k$ avec $k$ réel.
On place donc le point de coordonnées $(0\ ;5)$ et on trace une droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par ce point.
La droite d'équation y = 5
À retenir
- Cette droite est la représentation graphique de la fonction constante $f(x)=5$.
- Cette droite est une droite oblique qui a pour coefficient directeur $0$ et pour ordonnée à l'origine $5$.
Droites obliques
Droites obliques
- Tracer la droite $d_3$ d'équation $y=3x+1$
Astuce
Il faut trouver deux points qui appartiennent à cette droite, puis tracer la droite qui passe par ces deux points. Pour cela, on donne à $x$ deux valeurs particulières et on calcule les valeurs de $y$ correspondantes.
- Si $x=0$, alors $y=3\times0+1=1$
- Si $x=1$, alors $y=3\times1+1=4$
Donc la droite $d_3$ passe par les points $(0\ ;1)$ et $(1\ ;4)$.
La droite d'équation y = 3x + 1
À retenir
- Cette droite est la représentation graphique de la fonction affine $f(x)=3x+1$.
- Cette droite est une droite oblique qui a pour coefficient directeur $3$ et ordonnée à l'origine $1$.
Résolution de système d'équations
Résolution de système d'équations
Définition
Résolution d'un système :
Les nombres $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels avec $a\neq0$, $b\neq0$, $a'\neq0$ et $b'\neq0$.
Soit le système $\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c'\\ \end{array} \right.\end{aligned}$
Résoudre le système revient à déterminer le couple de réels $(x\ ;y)$ vérifiant simultanément les deux équations.
On remarque que ces 2 équations sont en fait des équations de droites.
$ax+by=c$ revient à écrire $y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$ ce qui est l'équation réduite d'une droite oblique avec $-\dfrac{a}{b}$ le coefficient directeur et $\dfrac{c}{b}$ l'ordonnée à l'origine.
Définition
Résolution graphique d'un système :
Soit le système $\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c'\\ \end{array} \right.\end{aligned}$
Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d'intersection des droites d'équation $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'.$
Attention
Pour qu'un système de deux équations ait une solution, il faut que les droites ne soient pas parallèles.
Propriété
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Pour résoudre un système d'équations, on peut utiliser la méthode par substitution ou la méthode par combinaison.
Méthode par substitution
Méthode par substitution
Cette méthode est utilisée lorsqu'une des inconnues a pour coefficient $1$.
Exemple
$\left\lbrace \begin{array}{lclr} 3x+5y&=&2& (1)\\ 6x+y&=&13&(2)\\ \end{array} \right.$
- On choisit l'une des deux équations du système dans laquelle on exprime une inconnue en fonction de l'autre :
$(2) \ 6x+y=13\ \Leftrightarrow\ y=-6x+13$
- On choisit de nouveau l'une des deux équations du système et on remplace l'inconnue par l'expression que l'on vient de déterminer :
$\begin{aligned} 3x+5(-6x+13)&=2\\ 3x-30x+65-2&=0\\ -27x+63&=0\\ x&=\dfrac{-63}{-27}\\ x&=\dfrac{7}{3}\\ \end{aligned} $
- Maintenant qu'on a déterminé la valeur d'une inconnue, on peut trouver la valeur de l'autre inconnue :
- On remplace $x$ par $\dfrac{7}{3}$ dans $(1)$
$\begin{aligned}\\ 3(\dfrac{7}{3})+5y&=2\\ 7-2+5y&=0\\ 5y&=-5\\ y&=-1 \end{aligned}$
- Ou on remplace $x$ par $\dfrac{7}{3}$ dans $(2)$
$\begin{aligned}\\ 6(\dfrac{7}{3})+y&=13\\ \dfrac{42}{3}+y&=13\\ 14+y&=13\\ y&=-1 \end{aligned}$
Astuce
Faire le calcul dans les deux équations permet de s'assurer que l'on n'a pas commis d'erreur.
- Le système $\left\lbrace \begin{array}{lclr} 3x+5y&=&2&\\ 6x+y&=&13&\\ \end{array} \right.$ admet pour solution les valeurs $x=\dfrac{7}{3}$ et $y=-1$, ce que permet de vérifier la représentation graphique.
À retenir
À l'aide de l'une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre. On reporte cette expression dans la seconde équation qui ne comporte plus qu'une inconnue, équation que l'on sait résoudre. Il suffit ensuite de calculer la seconde inconnue.
Méthode par combinaison
Méthode par combinaison
Cette méthode est utilisée lorsqu'aucune des inconnues n'a pour coefficient $1$.
Exemple
$\left\lbrace \begin{array}{lclr} 2x+7y&=&4&(1)\\ 5x+8y&=&3&(2)\\ \end{array} \right.$
- On multiplie chacune des deux équations par un réel judicieusement choisi afin d'éliminer une inconnue en additionnant les deux équations :
$\left\lbrace \begin{array}{rclrl} 2x+7y&=4\times-8&(1)\\ 5x+8y&=3\times7&(2)\\ \end{array} \right.$
$\left\lbrace \begin{array}{rclr} -16x-56y&=-32&(1)\\ 35x+56y&=21&(2)\\ \end{array} \right.$
$\left\lbrace \begin{array}{rclr} -16x-56y+32&=0&(1)\\ 35x+56y-21&=0&(2)\end{array} \right.$
- Donc en additionnant les deux équations, on obtient :
$\begin{aligned}&\Rightarrow 35x-16x+56y-56y+32-21=0\\ &\Rightarrow 19x+11=0\\ &\Rightarrow x=-\dfrac{11}{19} \end{aligned}$
- Une fois trouvée la valeur d'une inconnue, on peut trouver la valeur de l'autre :
$\begin{aligned}\\ 2(-\dfrac{11}{19})+7y&=4\\ 7y&=4+\dfrac{22}{19}\\ 7y&=\dfrac{98}{19}\\ y&=\dfrac{98}{19}\times\dfrac{1}{7}\\ y&=\dfrac{14}{19} \end{aligned}$
- Le système $\left\lbrace \begin{array}{lcl} 2x+7y&=&4\\ 5x+8y&=&3\\ \end{array} \right.$ admet donc pour solution les valeurs $x =-\dfrac{11}{19}$ et $y =\dfrac{14}{19}$.
À retenir
On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu'en additionnant les deux nouvelles équations, l'une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l'autre inconnue et résoudre le système.