Équations de droites : Résumé et révision - Mathématiques

Équations de droites

Déterminer l’équation d’une droite

Il existe 3 types de droites.

Les droites verticales d’équations $x=k$ avec $k$ réel. Ces droites ne représentent pas une fonction.
Les droites horizontales d’équations $y=k$ avec $k$ réel. Ces droites ont pour coefficient directeur $0$ et pour ordonnée à l’origine $k$. Ces droites sont les représentations graphiques des fonctions constantes $f(x)=k$.
Les droites obliques d’équations $y=ax+b$ avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. Ces droites sont les représentations graphiques des fonctions affines $f(x)=ax+b$.

Trouver le coefficient directeur d’une droite

Pour trouver le coefficient directeur d’une droite, on a besoin de connaître 2 points $A(x_A\ ; y_A )$et $B(x_B\ ;y_B)$ qui appartiennent à la droite.

On applique la formule ci-dessous : $$a=\dfrac {y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Pour trouver l’ordonnée à l’origine, on utilise à nouveau l’un des 2 points, par exemple le point $A(x_A\ ; y_A )$

Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l’équation :

$$y_A=a\times x_A+b$$

On trouve $b$ en résolvant l’équation.

Résolution de système d’équations

Définitions :

Les nombres $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels avec $a\neq 0$, $b\neq 0$, $a'\neq 0$ et $b'\neq 0$.

Résoudre le système :

$$\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c'\\ \end{array} \right.$$

revient à déterminer le couple de réels $(x\ ;y)$ vérifiant simultanément les deux équations.

On remarque que ces 2 équations sont en fait des équations de droites.

$ax+by=c$ revient à écrire $y=-\dfrac {a}{b} x+\dfrac {c}{b}$ ce qui est l’équation réduite d’une droite oblique avec $-\dfrac {a}{b}$ le coefficient directeur et $\dfrac {c}{b}$ l’ordonnée à l’origine.

D’où la deuxième définition :

Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d’intersection des droites d’équation $ax+by=c$ et $a' x+b' y=c'$

Il faut tout de même vérifier à ce que les droites ne soient pas parallèles.

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

Méthode par substitution

Cette méthode est utilisée lorsqu’une des inconnues a pour coefficient $1$.

Par exemple :

$\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} 3x+5y&=&2\\ 6x+y&=&13\\ \end{array} \right.\end{aligned}$

À l’aide de l’une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l’autre. On reporte cette expression dans la seconde équation qui ne comporte plus qu’une inconnue, équation que l’on sait résoudre. Il suffit ensuite de calculer la seconde inconnue.

Méthode par combinaison

Cette méthode est utilisée lorsqu’aucune des inconnues n’a pour coefficient $1$.