Cours : Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité

Étude de la fonction $x \mapsto \ln{(x)}$

Continuité, dérivabilité et sens de dérivation

Pour toute fonction, il est indispensable de connaître ses domaines de définition et de dérivabilité.

Propriété

La fonction $x \mapsto \ln{(x)}$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $] 0\ ;+\infty[$.

• Sa dérivée est $x\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \dfrac{1}{x}$.

Démonstration

Démontrons que, pour tout réel $x > 0$, $\ln^{\prime}{(x)} = \dfrac{1}{x}$.

D’après les compléments sur la dérivation que nous avons vus dans un cours précédent, pour une fonction $u\,:\,I \to J$ et une fonction $f\,:\,J \to \mathbb{R}$, où $I$ et $J$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$, si $u$ est dérivable sur $I$ et que $f$ est dérivable sur $J$, alors :

• la fonction $x \mapsto f\big(u(x)\big) = (f\circ u)(x)$ est dérivable sur $I$ ;
• elle a pour dérivée la fonction $x \mapsto (f\circ u)^{\prime} (x) = u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)$.
• On peut noter : $(f\circ u)^{\prime} = u^{\prime} \times f^{\prime} \circ u$.
• On admet que la fonction logarithme népérien, qui est définie et continue sur l’intervalle $]0\ ;\,+\infty[$, est aussi dérivable sur cet intervalle.
• Nous posons :
• $u = \ln$, qui est dérivable sur l’intervalle $]0\ ;\,+\infty[$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$,
• $f = \exp$, qui est dérivable sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
• Pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$, la fonction $(f\circ u)$ est dérivable et :

$$\begin{aligned} (f\circ u)^{\prime} (x) &= u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big) \\ &= \ln^{\prime} {(x)} \times \exp^{\prime} \big(\ln{(x)}\big) \\ &= \ln^{\prime} {(x)} \times \exp\big(\ln{(x)}\big) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }\exp^\prime=\exp]}} \\ &= \ln^{\prime} {(x)} \times x \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car }\exp\big(\ln{(x)\big)=x \text{ sur cet intervalle}}]}} \end{aligned}$$

• Mais on a aussi, pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$ :

$$\begin{aligned} (f\circ u)(x) &= \exp\big(\ln{(x)}\big) \\ &= x \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ : }} (f\circ u)^{\prime} (x) &= 1 \end{aligned}$$

• On en déduit, pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$ :

$$\begin{aligned} (f\circ u)^{\prime} (x) = \ln^{\prime} {(x)} \times x &= 1 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Puis\ : }} \ln^{\prime} {(x)} &= \dfrac{1}{x} \end{aligned}$$

• En résumé, pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$ :

$$\ln^{\prime} (x) = \frac{1}{x}$$

Nous remarquons que, pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$, $\frac 1x>0$, et donc que $\ln^{\prime} {(x)}>0$.

• La fonction $\ln$ est effectivement strictement croissante sur $]0\ ;\,+\infty[$.

Limites

Maintenant que nous connaissons les variations de la fonction logarithme népérien, nous allons nous intéresser aux limites aux bornes de l’ensemble de définition de cette fonction.

Propriété

• Limites aux bornes de la fonction $\ln$

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}$$

• Limites par croissances comparées :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}&= 0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x}&=0 \end{aligned}$$

• Ces limites se généralisent pour tout entier naturel $n$ non nul.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x^n\ln{(x)}&= 0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x^n}&=0 \end{aligned}$$

Astuce

Pour mémoriser ces propriétés, on peut dire que $x$ l’« emporte » sur $\ln{(x)}$ au voisinage de $+\infty$ et au voisinage de $0$.

Démonstration

Démontrons que $\lim\limits _{x\to 0\atop x>0} \ln{(x)} = -\infty$.

• Montrons tout d’abord que $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln{(x)} = +\infty$.

Soit $A$ un réel strictement positif fixé.
Dire que $\ln{(x)}$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ signifie que l’on peut rendre $\ln{(x)}$ aussi grand que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment grand.

• On cherche donc une valeur $B > 0$ telle que $x > B \Rightarrow \ln{(x)} > A$.

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont strictement croissantes sur ${\mathbb{R}}^{*+}$. Nous avons donc :

$$\begin{aligned} \ln{(x)} > A &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}} > \text{e}^A \\ &\Leftrightarrow x > \text{e}^A \end{aligned}$$

• En posant $B = \text{e}^A$, on a bien $\ln{(x)} > A$.

Pour toutes les valeurs $A > 0$, il existe une valeur $B > 0$ à partir de laquelle $\ln{(x)}$ est supérieure à $A$.

• Par définition, on a :

$$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln{(x)} = +\infty$$

• Montrons ensuite que $\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} \ln{(x)} = -\infty$ à l’aide d’un changement de variable.

Pour tout réel $x > 0$, on pose $X=\frac 1x$.

• On a donc : $x=\frac 1X$.

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, $X=\frac 1x$ tend vers $+\infty$.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)}&= \lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(\dfrac 1X\right) \\ &= \lim\limits_{x \to +\infty} -\ln{(X)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln\left(\frac 1X\right)=-\ln{(X)}$]}}} \\ &=-\lim\limits_{x \to +\infty} \ln{(X)} \\ &=-\infty \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln{(X)}=+\infty$]}}} \end{aligned}$$

• Finalement, nous obtenons :

$$\lim\limits_{x\to 0 \atop x>0} \ln{(x)} = -\infty$$

Étude complète

Exemple

Étudions la fonction $f$ définie sur $] 0\ ;\,+\infty[$ par $f(x)=x\ln{(x)}-2x$.

• Calcul de la dérivée

La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $] 0\ ;\,+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

Soit $x\in ]0\ ;\,+\infty[$.
L’expression $x\ln{(x)}$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec :

• $u(x)=x$ ;
• $v(x)=\ln{(x)}$.
• On connaît donc sa dérivée avec la formule :

$$(u \times v)^{\prime} (x) =u^{\prime} (x) \times v(x)+v^{\prime} (x) \times u(x)$$

Ainsi, nous calculons la dérivée de la fonction $x\mapsto x\ln{(x)}$ :

$$\begin{aligned} \big(x\mapsto x\ln{(x)}\big)^{\prime} (x) &= 1\times \ln{(x)} + \dfrac{1}{x} \times x \\ &= \ln{(x)}+1 \end{aligned}$$

• Nous en déduisons la dérivée de $f$, pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime} (x)&=\ln{(x)}+1-2 \\ &=\ln{(x)}-1 \end{aligned}$$

• Étude des variations de la fonction

Commençons par chercher les valeurs pour lesquelles $f^{\prime}$ s’annule.

$$\begin{aligned} f^{\prime} (x)=0 &\Leftrightarrow \ln{(x)}-1=0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)}=1 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}}=\text{e}^1\\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car la fonction exponentielle est strictement croissante sur }\mathbb R}} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ et $\ln$ est strictement croissante sur }\mathbb R^{*+}]}} \\ &\Leftrightarrow x=\text{e} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }\text{e}^{\ln{(x)}}=x]}} \end{aligned}$$

• $f^{\prime} $ s’annule en $x=\text{e}$.

Étudions maintenant le signe de la dérivée.

$$\begin{aligned} f^{\prime} (x)> 0 &\Leftrightarrow \ln{(x)}-1>0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)}>1 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}} > \text{e}^1 \\ &\Leftrightarrow x> \text{e} \\ \\ f^{\prime} (x)< 0 &\Leftrightarrow \ln{(x)}-1<0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)}<1 \\ &\Leftrightarrow x< \text{e} \end{aligned}$$

• $f^{\prime}$ est strictement positive sur $]\text{e}\ ;\,+\infty[$.
• $f$ est strictement croissante sur $]\text{e}\ ;\,+\infty[$.
• $f^{\prime}$ est strictement négative sur $]0\ ;\,\text{e}[$.
• $f$ est strictement décroissante sur $]0\ ;\,\text{e}[$.
• Calcul de la valeur de $f$ en $x=\text{e}$ et des limites aux bornes de l’ensemble de définition
• Nous commençons par calculer $f(\text{e})$.

$$\begin{aligned} f(\text{e}) &= \text{e}\ln{(\text{e})}-2 \text{e} \\ &=\boxed{- \text{e}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \ln{(\text{e})}=1]}} \end{aligned}$$

• Nous calculons maintenant la limite en $0$, évidemment par valeurs supérieures.

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ :}} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}&=0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [comme nous l’avons vu plus haut]}}} \\ \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}-2x&=0 \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Alors\ :}} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}f(x)&=\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}+ \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}-2x \\ &=\boxed 0 \end{aligned}$$

• Enfin, nous calculons la limite en $+\infty$.

Nous remarquons rapidement qu’il s’agit d’une forme indéterminée du type $+\infty -\infty$. Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par $x$.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to +\infty} x\big(\ln {(x)} - 2\big) \\ &=\boxed{+\infty} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \lim\limits_{x \to +\infty}\ln {(x)} - 2=+\infty]}} \end{aligned}$$

• Nous pouvons finalement établir le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe représentative $\mathscr C_f$.

Étude des fonctions de la forme $\ln{(u)}$

Définition et dérivabilité de $\ln{(u)}$

Dans cette partie, on appelle $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.

À retenir

$\ln{(u)}$ n’est définie que lorsque $u$ est strictement positive.

Exemple

La fonction $x\mapsto \ln{(2x+6)}$ n’est définie que lorsque $2x+6 > 0$ , c’est-à-dire lorsque $x > -3$.

• Le domaine de définition est donc : $I=] -3\ ;\,+\infty[$.

Propriété

La fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$

Cette formule se déduit de la formule de dérivation d’une composée :

$$(v\circ u)^{\prime} (x) =u^{\prime} (x)\times v^{\prime}\big(u(x)\big)$$

• En posant $v(x)=\ln{(x)}$, on obtient le résultat.

Exemple d’étude complète

Exemple

Étudions la fonction $f\,:\,x\mapsto \ln{(2x+6)}$ sur $I=] -3\ ;\,+\infty[$.

Nous allons suivre la même démarche que dans la partie précédente.

• Calcul de la dérivée

La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout $x\in I$, on a, en posant $u(x)=2x+6$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime} (x)&=\dfrac{2}{2x+6} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $f=\ln{(u)}$ et $f^{\prime} =\frac {u^{\prime}}u$]}}} \\ &=\dfrac{1}{x+3} \end{aligned}$$

• Étude des variations de la fonction

$f^{\prime}$ ne s’annule par sur $I$.
Nous nous intéressons maintenant à son signe.

Nous voyons que, pour tout $x\in I$ :

$$\begin{aligned} x+3 > 0 &\Leftrightarrow \dfrac 1{x+3}> 0 \\ &\Leftrightarrow f^{\prime} (x)> 0 \end{aligned}$$

$f^{\prime}$ est strictement positive sur $I=] -3\ ;\,+\infty[$.

• $f$ est donc strictement croissante sur $I$.
• Calcul des limites aux bornes de l’ensemble de définition
• Nous calculons la limite de $f$ en $-3$, par valeurs supérieures.

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ :}} \lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3}2x+6&=0^+ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Or\ :}} \lim\limits_{x \to 0\atop x>0}\ln{(x)}&=-\infty \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :}} \lim\limits_{x \to -3\atop x>-3}f(x)&=\lim\limits_{x \to -3\atop x>-3}\ln{(2x+6)} \\ &=\boxed{-\infty} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par limite d’une composée]}}} \end{aligned}$$

• Puis nous calculons la limite de $f$ en $+\infty$.

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ :}} \lim\limits_{x \to +\infty}2x+6&=+\infty \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Or\ :}} \lim\limits_{x \to +\infty}\ln{(x)}&=+\infty \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :}} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)&=\lim\limits_{x \to +\infty}\ln{(2x+6)} \\ &=\boxed{+\infty} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par limite d’une composée]}}} \end{aligned}$$

• Nous pouvons finalement établir le tableau de variations de $f$.