Tle Mathématiques Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilitéFiche de révision : Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité
Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪
Fonction $x \mapsto \ln{(x)}$
Fonction $x \mapsto \ln{(x)}$
- La fonction $x \mapsto \ln{(x)}$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $] 0\ ;+\infty[$.
- Sa dérivée est $x\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \dfrac{1}{x}$.
Fonction logarithme népérien
- Pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$, $\frac 1x>0$, et $\ln^{\prime} {(x)}>0$.
- La fonction $\ln$ est effectivement strictement croissante sur $]0\ ;\,+\infty[$.
- Les limites suivantes sont à connaître :
| $\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} =-\infty$ | |
| $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln{(x)} =+\infty$ | |
| $\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}= 0$ | |
| $\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x^n\ln{(x)}= 0$ | $n>0$ entier naturel |
| $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x}=0$ | |
| $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x^n}=0$ | $n>0$ entier naturel |
Fonctions de la forme $\ln{(u)}$
Fonctions de la forme $\ln{(u)}$
- $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
- $\ln{(u)}$ n’est définie que lorsque $u$ est strictement positive.
- La fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :
$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$