Étudier des grandeurs quotients
Introduction :
Dans le cours consacré à la notion de grandeur, nous avons défini les grandeurs produits et les grandeurs quotients.
Nous allons ici traiter de manière plus approfondie deux grandeurs quotients usuelles : la vitesse moyenne et le débit volumique. Cela nous permettra notamment de voir, par l’exemple, comment convertir les unités de ces grandeurs.
Vitesse moyenne
Vitesse moyenne
Nous connaissons la notion de vitesse moyenne. Nous allons ici donner la formule qui permet de la calculer.
Définition
Vitesse moyenne :
La vitesse moyenne d’un corps indique la distance parcourue par ce corps pendant une unité de temps.
- Si le corps parcourt une distance $d$ pendant une durée $t$, la vitesse moyenne $v$ se calcule avec la formule :
$$v=\dfrac dt$$
- On a donc aussi :
$$\begin{aligned} d&=v\times t \\ t&=\dfrac dv \end{aligned}$$
À retenir
- Si la distance est exprimée en mètre ($\text{m}$) et la durée en seconde ($\text{s}$), la vitesse s’exprimera en mètre par seconde ($\text{m/s}$).
- C’est l’unité privilégiée en physique.
- Si la distance est exprimée en kilomètre ($\text{km}$) et la durée en heure ($\text{h}$), la vitesse s’exprimera en kilomètre par heure ($\text{km/h}$).
- C’est l’unité privilégiée au quotidien.
Exemple
Un automobiliste a parcouru une distance de $216$ kilomètres en deux heures et demie. On cherche à déterminer sa vitesse moyenne.
La distance parcourue $d$ est exprimée en kilomètre :
$$d=216\ \text{km}$$
La durée du parcours $t$ est exprimée en heure :
$$t=2,5\ \text{h}$$
- La vitesse moyenne s’exprime donc ici en kilomètre par heure, et elle est égale, en utilisant la formule de la définition, à :
$$\begin{aligned} v&=\dfrac dt \\ &=\dfrac {216\ \text{km}}{2,5\ \text{h}} \\ &=86,4\ \text{km/h} \end{aligned}$$
Astuce
Le résultat de cet exemple signifie que, à la vitesse constante de $86,4\ \text{km/h}$, $86,4$ kilomètres sont parcourus chaque heure.
À vitesse constante, la distance parcourue est alors proportionnelle à la durée du parcours. Le tableau suivant est donc un tableau de proportionnalité, dont le coefficient de proportionnalité est la valeur de la vitesse moyenne :
Tableau de proportionnalité
Regardons maintenant comment convertir l’unité d’une grandeur quotient comme la vitesse moyenne.
Exemple
En physique, l’unité de vitesse privilégiée est le mètre par seconde. Exprimons donc la vitesse de $86,4\ \text{km/h}$ en $\text{m/s}$.
Pour cela, nous allons convertir les kilomètres en mètres et les heures en secondes :
$$\begin{aligned} v&=\dfrac {86,4\ \text{km}}{1\ \text{h}} \\ &=\dfrac {86\,400\ \text{m}}{1\ \text{h}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $1\ \text{km}=1\,000\ \text{m}$]}}}\\ &=\dfrac {86\,400\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $1\ \text{h}=3\,600\ \text{s}$]}}} \\ \end{aligned}$$
Nous avons ainsi des mètres au numérateur et des secondes au dénominateur, comme nous le souhaitions. Nous effectuons alors l’opération, pour trouver :
$$v=24\ \text{m/s}$$
Prenons cette fois un exemple pour montrer comment calculer une distance.
Exemple
Lors d’un orage, on entend le tonnerre $3$ secondes après avoir vu l’éclair, alors que les deux phénomènes se produisent simultanément.
On peut alors estimer la distance $d$ de l’orage.
En effet, on connaît la vitesse du son dans l’air :
$$v_\text{son}\approx 340\ \text{m/s}$$
Et on considère que la vitesse de la lumière est telle que l’éclair nous apparaît instantanément. Il a donc fallu une durée $t=3\ \text{s}$ pour que le son du tonnerre nous parvienne.
- En utilisant la formule que nous avons vue plus haut :
$$\begin{aligned} d&=v_\text{son}\times t \\ &\approx 340 \times 3 \\ &\approx 1\,020 \end{aligned}$$
- L’orage est donc à une distance d’environ $1\,020\ \text{m}$, soit $1,020\ \text{km}$.
Terminons cette partie sur la vitesse avec un dernier exemple de conversion d’unité.
Exemple
On a dit que la vitesse du son était d’environ $340\ \text{m/s}$.
Exprimons cette vitesse en $\text{km/h}$, pour mieux nous la représenter – on rappelle que $1\ \text{s}=\frac 1{3\,600}\ \text{h}$ :
$$\begin{aligned} 340\ \text{m/s}&=\dfrac {340\ \text{m}}{1\ \text{s}} \\ &=\dfrac {0,340\ \text{km}}{\frac 1{3\,600}\ \text h} \end{aligned}$$
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
Or, l’inverse de $\frac 1{3\,600}$, c’est $3\,600$ :
$$\dfrac {0,340}{\frac1{3\,600}}=0,340\times 3\,600=1\,224$$
- On trouve ainsi :
$$340\ \text{m/s}=1\,224\ \text{km/h}$$
Débit volumique
Débit volumique
Le débit volumique $D_\text{V}$, par exemple d’un robinet, donne le volume de liquide qui s’écoule durant une unité de durée. Si $V$ est le volume écoulé pendant une durée $t$ :
$$D_\text{v}=\dfrac Vt$$
L’unité du débit volumique dépendra des unités dans lesquelles sont exprimés le volume et la durée.
- En physique, le débit volumique s’exprime généralement en mètre cube par seconde ($\text{m}^3/\text{s}$), avec donc le volume écoulé exprimé en mètre cube et la durée en seconde.
Exemple
À certaines périodes, les chutes du Niagara voient, chaque minute, $168\,000\ \text{m}^3$ d’eau « chuter ». On considère que, durant la période concernée, ce débit reste constant.
- À combien de litres par seconde cela correspond-il ?
Si on traduit l’énoncé, on a un débit volumique égal à :
$$D_\text{v}=168\,000\ \text{m}^3/\text{min}=\dfrac{168\,000\ \text{m}^3}{1\ \text{min}}$$
On rappelle la correspondance entre unités de volume et unités de contenance : $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$, et $1\ \text{m}^3=1\,000\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{L}$.
Nous convertissons ainsi les unités pour obtenir celles qui nous sont demandées :
$$\begin{aligned} D_\text{v}&=\dfrac{168\,000\ \text{m}^3}{1\ \text{min}} \\ &=\dfrac{168\,000\,000\ \text{L}}{1\ \text{min}} \\ &=\dfrac{168\,000\,000\ \text{L}}{60\ \text{s}} \\ &=2\,800\,000\ \text{L/s} \\ \end{aligned}$$
On peut interpréter ce résultat ainsi : chaque seconde, ce sont près de trois millions de litres qui s’écoulent à travers les chutes du Niagara !
- Un touriste s’est laissé bercer pendant $t=1\ \text{h}\ 15\ \text{min}$ par le fracas de l’eau.
Quel volume $V_1$ d’eau, en mètres cubes, s’est écoulé durant son écoute ?
Nous avons :
$$\begin{aligned} D_\text{v}&=\dfrac Vt \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }}V&=D_\text{v}\times t \end{aligned}$$
Au vu des unités de l’énoncé, nous choisissons d’utiliser l’expression du débit volumique, en $\text{m}^3/\text{min}$, avec $ t=1\ \text{h}\ 20\ \text{min}=80\ \text{min}$ :
$$\begin{aligned} V&=168\,000 \times 80 \\ &=13\,440\,000 \\ \end{aligned}$$
Durant l’écoute du touriste, il s’est ainsi écoulé $13\,440\,000\ \text{m}^3$ d’eau, soit plus de $13$ millions de mètres cubes !