Fonction exponentielle : Résumé et révision - Mathématiques

Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que : $f'=f$ et $f(0)=1$.
$\exp'=\exp$
$\exp(0)=1$
On utilise une notation moins lourde :
$\exp(x)=\text{e}^x$

Pour tous les nombres réels $x$ et $y$, et les entiers naturels $n$, on a :
$\text{e}^0=1$ et $\text{e}^1=\text{e}\approx2,718$
$\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^y$
$\text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^y}$
$\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}$
$\text{e}^{nx}={(\text{e}^x)}^n$
$x<y\Leftrightarrow\text{e}^{x}<\text{e}^y$
$x=y\Leftrightarrow\text{e}^{x}=\text{e}^y$
La fonction exponentielle :
ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ : pour tout nombre réel $x$, $\text{e}^x\neq0$ ;
est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.

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$\text{e}^0=1$
$\text{e}^1=\text{e}\approx2,718$.
La dérivée de $x\mapsto \text{e}^x$ est $x\mapsto \text{e}^x$ : la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$. Elle est représentée en vert ici.
Cette tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est toujours située au-dessous de la courbe représentative de la fonction exponentielle.

Pour tout réel $a$, la suite $(\text{e}^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est une suite géométrique :
de raison $\text{e}^a$ ;
de premier terme $\text{e}^0 = 1$.
Fonctions $t\mapsto\text{e}^{kt}$ :
$k>0$ un nombre réel fixé, la fonction est définie, strictement croissante et positive sur l'ensemble des nombres réels ;
l'image de $0$ par ces fonctions $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est toujours $1$ ;
plus $k$ est grand, plus la croissance de cette fonction $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est rapide ;
une situation modélisée par une fonction de ce type est dite à croissance exponentielle.
Fonctions $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ :
$k>0$ un nombre réel fixé, la fonction est définie, strictement décroissante et positive sur l'ensemble des nombres réels ;
l'image de $0$ par ces fonctions $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ est toujours $1$ ;
plus $k$ est grand, plus la décroissance de cette fonction $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ est rapide ;
une situation modélisée par une fonction de ce type est dite à décroissance exponentielle.